朔望

[拼音]:changlun

[英文]:theory of fields

向量分析在數學、物理各分支中的一種非常有用的理論。

數量場與向量場

定義在空間某確定範圍內每一點處的某種物理量稱為一個場。用數學術語講,就是在該範圍內定義了一個點函式。不過這種量(函式值)可以是數量(如溫度、電位等),也可以是向量(如速度、引力等)。前者稱為數量場,後者稱為向量場,分別記為u(P)與a(P),這裡P是定義範圍內的動點。

在空間引進一直角座標系Oxyz,P點就有座標(x,y,z),於是數量場u=u(P)就可寫成

(1)

向量場A=A(P)就可寫成

A=A(x,y,z)

={Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)}。(2)

它們分別就成為三個變數的數量函式與向量函式。引進座標系,是為了便於對它們進行運算和數學處理,而場本身的性質是與座標系的選取無關的。

下面恆假定以上所遇到的函式在場內都有連續偏導數,這種場也稱為光滑場。

梯度

已給一數量場(1),定義一個向量函式

(3)

稱為u的梯度,式中i、j、k分別為沿x軸、y軸、z軸正向的單位向量。這向量的方向指向u(P)增長最快的方向,其模(大小)就是這一最大增長率。所以向量函式(3)雖以座標形式給出,但它本身卻與座標系的選擇無關。以向量函式(3)構成的向量場,稱為梯度場(grad是gradient的縮寫,是“傾斜”的意思)。

引進一個形式向量的記號

則(3)就可簡寫成

一個向量場A, 如果它是某數量場 u的梯度場 A=grad u,則稱a是一位勢場,而u稱為其位勢。

散量

已給一向量場(2),引進一數量函式

(4)

稱為A的散量(或散度)。在場內任取一立體區域V,其邊界為一光滑曲面S,S上任意點的外法線單位向量記為n,則多元微積分中的奧斯特羅格拉茨基公式可以寫成向量形式

如果把A 看成是場中流體穩定流動的速度,則此式右邊表示流體通過曲面S流出去的流量,因此divA表示流體在場中各點發散的密度。前者是與座標選擇無關的,所以後者也是如此。因此,divA構成一個數量場,稱為a的散量場(div是divergence的縮寫,是“發散”的意思)。在某點P 處divA>0,表明流體在該處有一源(有流體噴射到場內);divA<0,則表明流體在該處有一匯(有流體滲漏出場外)。

如果diva呏0,則稱A為一管量場。

旋度

已知一向量場(2),定義一向量函式

(5)

稱為A的旋度。在場中取一光滑曲面片S,其邊界為一光滑封閉曲線L 。取定S的一側作為正側,正側法線的單位向量記為n;由此誘導L的一正向,正向切線的單位向量記為t,則斯托克斯公式可改寫為

如前把A理解為流體速度,則此式左邊刻畫著流體沿L轉動的程度,是與座標無關的。由此也可證明rotA也與座標選擇無關:其方向表明流體在一點附近繞怎樣的軸旋轉,其模則刻畫著旋轉的(角)速率之半。這就是說 rotA也是一個向量場,稱作A的旋度場(rot是rotor的縮寫,是“轉動”的意思),也可記作curlA(curl是“鬈曲”的意思)。

如果rota呏0,則稱a為一無旋場。

可以證明,無旋場與位勢場這兩概念是等價的。

如果不用直角座標系,而改用別的正交座標系,則梯度、散量、旋度也有相應的表達公式,不過一般比較複雜。

參考文章

親善市場論的理論來源經濟百科什麼是親善市場論經濟百科