許渾

[拼音]：mingti luoji

[英文]：propositional logic

現代邏輯較簡單、較基本的組成部分，它不考慮把命題分析成個體詞、謂詞和量詞等非命題成分的組合，只研究由命題和命題聯結詞構成的複合命題、特別是研究命題聯結詞的邏輯性質和推理規律。命題邏輯分為經典命題邏輯和非經典命題邏輯，後者如構造邏輯、模態邏輯等邏輯系統中的命題邏輯部分。歷史上最早研究命題邏輯的是古希臘斯多阿學派的哲學家。現代對命題邏輯的研究始於19世紀中葉的G.布林。G.弗雷格則於1879年建立了第一個經典命題邏輯的演算系統。

語法和語義

研究命題邏輯需要使用公式表示複合命題的形式，並反映複合命題的邏輯特徵，組成這種公式的一組符號和規定怎樣由符號構成公式的一組規則，合在一起便構成一個人工符號語言。當把符號和公式看作是沒有意義的具體物件，只研究公式之間的關係時，這種研究稱為語法的；當對符號和公式予以解釋，例如把一部分符號解釋為命題聯結詞，把某些符號解釋成取真假二值為值的變元，並在這種解釋下研究公式的意義時，便稱這種研究為語義的。命題邏輯在描述和研究符號語言、即物件語言時，還要使用另一種語言，即元語言。元語言通常由某種自然語言並加上若干專門符號構成。關於整個命題邏輯系統的性質和系統特徵的研究，稱為元邏輯的研究。由元邏輯研究得到的關於整個邏輯系統的定理稱為元定理。

命題形式

用特定的語詞把命題連線起來可以構成複合命題；從中起連線作用的語詞稱為命題聯結詞；構成複合命題的命題稱為支命題，支命題本身也可以是複合命題。命題邏輯研究複合命題的邏輯形式、推理形式和公理系統。傳統邏輯關於假言推理、選言推理和二難推理等的理論，都屬於命題邏輯的範圍。複合命題的形式可以公式明晰地表示。在經典命題邏輯裡，這種公式通常由以下 3種符號組成：

（1）表示任意命題的命題變元，它們是 p，q，r，p1 ，q1 ，...；

（2）5個基本的命題聯結詞，即塡、∧、∨、→、凮；

（3）用來顯示公式的結構層次的括弧(，)。5個基本的命題聯結詞依次稱為否定詞、合取詞、析取詞、蘊涵詞和等值詞；在漢語中，它們通常分別用語詞“並非”、“並且”、“或者（可兼的）”、“如果...則”以及“當且僅當”表達，在這5個聯結詞中，否定詞屬一元聯結詞，其餘 4個都是連線兩個命題以構成複合命題，稱為二元聯結詞。複合命題的形式都可以用這3類符號構成的公式表示。如塡p表示否定命題的形式，p∧q、p∨q、p→q、p凮q，分別依次表示合取、析取、蘊涵和等值命題的形式。它們是和 5個基本的聯結詞相應的5個基本的複合命題形式。

命題聯結詞的解釋和真值函項

經典命題邏輯把命題看成或者真的或者假的，認為複合命題的真假可唯一地由其支命題的真假決定。命題的真和假叫做命題的真值。命題變元是取真值（真或假）為值的變元，也就是以真值組成的集合為變域的變元。聯結詞是施於命題以形成命題的運算元，特別是從命題的真值得出命題真值的運算元。命題形式是一種真值函項，即以真值集為變元的定義域，並以真值集為值域的函項。這種真值函項可以用真值表定義。5個基本命題形式的真值表為:這個真值表規定了其中聯結詞的意義。其中的1代表真，0代表假。從表中可以看出這 5個基本命題形式的值怎樣由其中變元的值決定。例如，最左邊的表表示，塡p 的值由p的值決定，當p的值為 1時，塡p的值為0；當p的值為0時，塡p的值為1。這也就是對塡的解釋。

聯結詞可以相互定義，例如，∨可用塡和→定義，即把p∨q定義為塡p→q。事實上，所有聯結詞都可以用某些基本聯結詞定義出來。例如，所有聯結詞都可以歸結到塡和→，或者塡和∧，或者塡和∨。

常真式

常真式或稱重言式是經典命題邏輯的一個公式，稱為常真的。如果其中的命題變元不論賦予真值1或0，該公式的值常為 1；如果對命題變元的每一組真值賦值一公式的值常為 0，此公式便稱為常假式或矛盾式。命題邏輯的公式可以分為常真的、常假的、以及對命題變元的某些組賦值取值1而對其它賦值取值0的公式3種類型。常真式表達著命題邏輯的定律（規律），具有特殊的意義。

例如p∨塡p、p∧(p→q)→q，都是常真式。前者表示排中律，後者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。一個公式是不是常真的，可以用真值表方法確定，即由依據 5個基本命題形式的真值表所逐步構造出的真值表確定。下表可以說明怎樣用真值表確定一個公式的真值，確定一個公式是否常真。表中最後一橫行圈內的數碼錶示逐步求值的次序，縱列⑦是要確定其是否常真的公式的真值，因其全部是1，從而表明該公式常真，是一常真式。我們用元語言符號Ａ 、Ｂ等表示任一公式，用喺Ａ表示Ａ是一常真式。還用Ａ喺Ｂ表示對於Ａ和Ｂ中出現的命題變元的每一組賦值，當Ａ的值為1時，Ｂ的值必定也是1。喺與公理系統所用到的儱不同，前者是語義符號，而後者是語法方面的符號，它表示在系統中可以證明。按照常真式的定義，顯然有：一公式 A常真，當且僅當它的否定塡Ａ常假。

公理系統

經典命題邏輯的常真式為數無窮，它們在一定意義上都表達邏輯定律。為了系統地研究和掌握這些邏輯定律，需要對它們作整體的考慮，將全部常真式都包括在一個系統之中。為此，可用公理方法將命題邏輯的全部定律系統化，從而得到一種形式系統，即稱為命題演算的公理系統。在一個形式系統中，其語法部分，包括作為出發點的初始符號、形成規則、公理和變形規則。以下陳述的是經20世紀波蘭邏輯學家J.盧卡西維茨簡化過的弗雷格的系統。該系統的初始符號為：

（1）邏輯常項，即命題聯結詞，用塡、→表示；

（2）命題變元，以p、q、r、p1 、p2 ，...表示；

（3）括弧，即(，)。該系統的形成規則，在於規定怎樣組合起來的有窮長的符號序列是系統中的合式公式。這個系統的形成規則有 4條：

（1）單獨一個命題變元ｘ 是一合式公式； ②如果符號序列Ｘ是合式公式，則塡Ｘ是合式公式；

（3）如果符號序列Ｘ，Ｙ是合式公式，則(Ｘ→Ｙ)是合式公式。

（4）只有適合以上 3條的是合式公式。這個系統的公理共有 3條，即：

（1）儱p →(q →p)；

（2）儱(p →(q →r))→((p→q)→(p →r))；

（3）儱(塡p →塡q)→(q →p)。

變形規則也稱推理規則。變形規則有兩條：

（1）代入規則是將一公式 A中出現的命題變元π處處代以公式 B，得到公式

， 稱為代入，以“如果儱Ａ，則儱

”表示。

（2）分離規則為“如果儱Ａ→Ｂ並且儱Ａ，則儱Ｂ”。

命題聯結詞∧、∨和凮可以通過定義引入，把

(Ａ∧Ｂ)定義為塡(Ａ→塡Ｂ)；

(Ａ∨Ｂ)定義為(塡Ａ→Ｂ)；

(Ａ凮Ｂ)定義為(Ａ→Ｂ)∧(Ｂ→Ａ)。

在上述規則、定義中出現的符號 ｘ，X，Y，Ａ，Ｂ等，是元語言符號。ｘ表示任意命題變元；X， Y 表示任意的符號序列；Ａ，Ｂ表示任一合式公式；儱是語法符號，表示緊跟在儱後面的公式是系統中的定理。

公式的有窮序列 Ａ1，Ａ2，...，Ａn稱為是一個證明，如果其中每一Ａi(i=1，2，...，n)或者是公理，或者由在先的一個公式應用規則R1而得，或者由在先的兩個公式應用規則R2而得。一個證明 Ａ1，Ａ1，...，Ａn也說是它的最後一個公式Ａn的證明。

一個公式Ｂ是系統中的定理，如果它有一個證明，即存在一個證明 Ａ1，Ａ1，...，Ａn，而Ａn即是 B。根據定理的定義，每一公理都是定理。一個公式是定理，當且僅當它是可證明的。

定理和可證明性都是語法概念。

這個系統的語義，即對符號和公式的解釋，就是前面對於命題聯結詞和公式所作的解釋，這個解釋稱為標準語義。此外還可作其他非標準的解釋。在標準解釋下，所有公理都是常真式，並且變形規則保持常真性，即把變形規則應用於常真公式而得到的公式也是常真式。由此表明，所有定理都是常真式， 也就是“如果儱Ａ，則喺Ａ”。這是關於這個演算系統的一個重要的元定理，稱為可靠性定理。它的另一個重要的元定理是完全性定理，即凡常真式都是定理，可表示為“如果儱Ａ，則儱Ａ”。該系統還有一個重要的性質，即：在這個系統中不可能同時證明一個公式Ａ及其否定塡Ａ。這個性質稱為一致性。

自然推理系統

命題邏輯也可以用另一種形式實現系統化，即構造自然推理系統。自然推理系統是一種邏輯演算。它與公理系統相比，是在自然推理系統中，並不給出公理而只給出一組適當的初始推演規則。這些推演規則規定從什麼前提能推出什麼結論，或者規定在某個推理關係成立的條件下，另一個推理關係也成立。一個與簡化過的弗雷格公理系統相應的自然推理系統，它的初始符號和形成規則和前者相同。這個系統共有 5條初始推演規則：

（1）Ａ1，Ａ1，...，Ａn儱Ａi（i=1，2，...，n），肯定前提規則；

（2）г儱Δ儱Ａ（Δ不空），演繹推理傳遞規則；

（3）如果г，塡Ａ儱Ｂ，並且г，塡Ａ儱塡Ｂ，則г儱Ａ，否定詞消去規則，或稱反證律；

（4）A→Ｂ，Ａ儱Ｂ，蘊涵詞消去規則；

（5）如果г，Ａ儱Ｂ，則г儱Ａ→Ｂ，蘊涵詞引入規則。

在這5條規則中，Ａ、Ｂ表示任一公式，г、Δ表示公式序列，儱表示前提和結論之間的推理關係。規則②表示從г能推出Δ，而從Δ能推出 A，則從г能推出 A，表明推理關係是傳遞的。在這一自然推理系統中，聯結詞∧、∨和凮也可以通過定義引入，並且從初始推演規則匯出關於∧、∨和凮的推演規則。該系統對每一常真公式Ａ，都有儱Ａ，也就是說，凡常真式，都能不需前提而用推演規則推出；並且，如果儱Ａ成立，則Ａ為常真式。這個自然推理系統與簡化過的弗雷格的系統有如下關係，即一個公式 A是公理系統中定理，在自然推理系統中就有儱Ａ；反之，如果儱Ａ成立，則Ａ是公理系統中的定理。同時，這個自然推理系統也具有一致性、可靠性和完全性這幾個重要的元邏輯性質。