橢圓及其標準方程的教學設計
橢圓及其標準方程的教學設計
教學目標
1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程； 2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定係數法求橢圓的標準方程； 3．透過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力； 4．透過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，並滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用座標法解決幾何問題的能力； 5．透過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識．
教學建議
教材分析
1． 知識結構
2．重點難點分析
重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關鍵是掌握建立座標系與根式化簡的方法．
橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對於學生學好圓錐曲線是非常重要的．
（1）對於橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解．
另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大於 ．這樣規定是為了避免出現兩種特殊情況，即：“當常數等於 時軌跡是一條線段；當常數小於 時無軌跡”．這樣有利於集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．
（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：
①曲線的方程依賴於座標系，建立適當的座標系，是求曲線方程首先應該注意的地方．應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為座標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．
②設橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令 ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最後得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會．
③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今後在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，並使其中一側只有一項．
④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的座標都適合方程 “而沒有證明，”方程 的解為座標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．
（3）兩種標準方程的橢圓異同點
中心在原點、焦點分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， ．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有 ， ．不同點是：兩種橢圓相對於座標系的位置不同，它們的焦點座標也不同．
橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；
橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大．
另外，形如 中，只要 ， ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 ．
（4）教科書上透過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變數法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變數求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那麼這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓．
教法建議
（1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發學生的學習興趣．
為激發學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還可以啟發學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。
例如，我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的軌道——橢圓上執行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位於橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線執行．人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵循這個原理．相對於一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．
（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷
為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節約課堂時間，教學時應安排讓學生課後親自動手切割圓錐形的蘿蔔、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．
（3）對橢圓的定義的引入，要注意藉助於直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。
教師可從太陽、地球、人造地球衛星的執行軌道，談到圓蘿蔔的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的瞭解。
教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小於細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好後，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大於細線的長度），然後再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生透過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的瞭解。
（4）將提出的問題分解為若干個子問題，藉助多媒體課件來體現橢圓的定義的實質
在教學時，可以設定幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，透過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的`途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生透過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。
（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯絡
在講解橢圓的定義時，就要啟發學生注意橢圓的圖形特徵，一般學生比較容易發現橢圓的對稱性，這樣在建立座標系時，學生就比較容易選擇適當的座標系了，即使焦點在座標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）．雖然這時學生並不一定能說明白為什麼這樣選擇座標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當座標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了座標法．
（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．
推導橢圓的標準方程時，由於列出的方程為兩個跟式的和等於一個非零常數，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數高、項數多，教學時要注意化解難點，儘量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識．透過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，並使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）
（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程後，教師要啟發學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然後鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．
（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識
橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對於教材上在推出橢圓的標準方程後，並沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明並不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由於橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意並不是以後都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．
（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上儘量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神。