直線的兩點式方程教學困惑解惑與感悟教育論文

直線的兩點式方程教學困惑解惑與感悟教育論文

  一、問題提出

  在上到必修2第三章《直線與方程》時,我們學校同年級教文科的一位新教師問我“直線的兩點式方程要不要上”?對於她問這個問題的原因我可以理解,甚至有同感,教給學生幹嗎呢?理由一:既然已經學了點斜式方程,直接由直線上的兩點、求出直線的斜率,再由直線的點斜式不就把方程求出來了嘛。理由二:兩點式方程結構複雜,即使教給學生,學生也未必能記住,如果記錯了還不如不教,得不償失。理由三:兩點式方程限制條件多,垂直於座標軸的直線不能用兩點式來表示。正巧,我們學校和海鹽高階中學、平湖當湖中學期中考試時是三校聯考的,到平湖當湖中學去商討期中考試的範圍時,藉此機會我也拿這個問題請教了兩所學校的備課組長,一致認為直線的兩點式該弱化處理,學生容易算錯。種種理由顯示直線的兩點式方程似乎沒有“立足之地”了。在新課標下到底如何定位、把握直線的兩點式方程的教學呢?

  二、課前分析

  1.學情分析

  在初中,學生學了一點平面幾何的知識,那時他們還僅限於圖形的處理。到了高中從《直線與方程》、《圓與方程》到選修1-1《圓錐曲線》這三章他們開始接觸解析幾何。解析幾何的本質就是用代數方法研究圖形的幾何性質,體現了數形結合的重要數學思想。在《直線與方程》這一章中,以平面直角座標系為平臺,給直線插上方程的“翅膀”,透過直線的方程研究直線之間的位置關係:平行、垂直,以及兩條直線的交點座標,點到直線的距離公式等等。

  從幾何直觀到代數表示從代數表示到幾何直觀

  (建立直線的方程)(透過方程研究幾何性質和度量)

  直線的方程起了一個“橋樑”的作用。直線的方程重要性不言而喻了。

  2.兩點式本身的優點分析

  直線的兩點式體現了“兩點確定一條直線”這一樸素的數學理念;斜率不存在時的直線方程可用兩點式的變形寫出,向直線的一般式方程完成過渡;研究兩點式方程的目的不是說這種形式比較簡單或是好用,兩點式方程起著承上啟下的作用,它保持了知識的完整性和系統性,在思想與方法層面上,對學生分析問題解決問題的能力的培養應該有好處;兩點式方程的表示式工整,結構優美,如果設它等於一個引數,馬上可以得到直線的引數方程,為將來選修模組中的直線的引數方程做了鋪墊,這是其它方程所不能代替的。

  如果按照點斜式的程度來上這節課的話,會不會真的“上了還不如不上”呢?帶著這個困惑我決定進行一次“詳細上這堂課”的教學嘗試。

  三、上課實錄

  因為上節課學過了直線方程的點斜式,所以我上課一開始給出了一道小練習:已知直線經過兩點,求直線的方程.讓學生獨立當場完成。做完之後我統計了一下,用點斜式方法來求的佔,還有的同學是用初中學過的待定係數設求一次函式的方法。前者用時較短,後者用時較長。看到這個結果,我基本心中有數,故意不做點評我開始了新課的教學。

  師:前面我們已經探索了確定直線位置的幾何要素有哪些?

  生眾:兩點確定一條直線。

  師:對。還有嗎?

  生:已知一個點和傾斜角。

  師:很好。傾斜角和斜率都表示直線的傾斜程度,所以已知一個點和直線的斜率也可以確定一條直線。已知直線過點和它的斜率(或傾斜角)可以求出直線的方程為,我們把這個方程稱為直線的點斜式,那麼已知直線過了兩個點怎麼求直線的方程呢?比如開頭那個小練習,我們可以怎麼做呢?

  讓兩個學生起立作答。對於這兩種做法我都給予了肯定。那麼已知直線上兩點求直線方程有沒有更快捷的方法呢?我們一起探討吧。

  師:已知、,如何求直線的方程?

  生1:先求出直線的斜率,再寫出直線的點斜式方程:。

  師:能不能變形?上式的形式不便於記憶及應用,可以把上式進行變形,使它的形式比較對稱和美觀,能夠體現數學之美。你認為什麼形式更美觀些?

  生2:。

  師:這是等價變形嗎?兩邊除以時,必須。

  生3:。

  師:同理時才為等價變形。我們可以用方程

  表示過兩點、的直線方程了。這個方程形式體現了“對稱美”,突出了兩點的座標,根據直線所過的兩點的座標可以立即寫出直線的方程,所以我們就把這個形式的方程就叫做直線的兩點式方程,簡稱兩點式。

  師:注意到方程後面的兩個限制條件,兩點式方程不能表示哪些直線呢?

  生:當時,直線傾斜角是90°,當時,直線的傾斜角是0°。這兩種直線不能用兩點式方程表示。

  師:真聰明。那這兩種直線就沒有方程嗎?

  生:有的。當,直線傾斜角是90°時,直線垂直於軸,直線上的每一點橫座標都是,所以可用表示。同理當,直線的傾斜角是0°時,直線可用方程表示。

  師:非常好。直線的兩點式方程不能表示垂直於座標軸的直線,就如同直線的點斜式不能表示斜率不存在的直線一樣,有點殘缺美。但是有沒有辦法彌補這點小遺憾呢?把直線的兩點式方程怎麼變一變就能表示平面上的任意一條直線? 生4:分式化成整式,去分母。沒有分母它就沒有限制條件了。

  師:真的太棒了。對角相乘把方程化為就可以了。

  書上之所以不化成這種形式,是為了講究和諧美和對稱美。以後大家在直接使用兩點式求直線方程時,可要看清楚兩個點的座標喲,能不能用兩點式表示才是關鍵。

  (後面就是例題講解和練習的鞏固,在此省略。)

  透過課堂上學生熱烈的討論探究以及例題講解、課後練習的鞏固,我發現教學前的困惑,基本消除了。上完了《直線的一般式》之後,我觀察學生的作業,再碰到已知兩點求直線的方程時,他們用的.多的還是直線方程的兩點式。不用擔心學生會算錯,要算錯的話不管什麼方法都會算錯。結構複雜也不是問題,一節課的探究下來,對結構也是理解的比較清楚了。透過這節課的備課、教學,我發現教科書給了我們一個新觀念、新方法,也為數學教學提供了新思路。

  四、課後反思

  1、研讀課標,準確定位教學目標

  新課標準提出:“高中數學應該返璞歸真,努力揭示數學概念的發展過程和本質,使學生理解數學概念的逐步形成的過程,體會蘊含其中的思想方法;教學中要注意溝通各個部分內容之間的聯絡,透過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式,使學生體會知識之間的有機聯絡,感受數學的整體性,進一步理解數學的本質,提高解決問題的能力。”

  課程標準是教學的依據,務必認真、反覆地研讀,深刻領會、把握課程標準的精神,領悟新課改的理念。教學必須以課程標準為“綱”,孰輕孰重,清清楚楚,才能切實地貫徹新課改的精神和課標的理念。

  透過兩點式方程的教學,使學生認識到“兩點確定一條直線”這一樸素的數學文化理念;讓學生知道直線的方程有五種形式,增強了知識的系統性,擴大了學生的視野。教學中讓學生分析方程的不同,以便於學生形成批判性的思維習慣;透過分析兩點式方程的結構,讓學生體會到數學的對稱美。達成以上目標只需十幾分鍾,如果放棄這麼好的一個教學時機,對學生的終生髮展會留有遺憾。

  2、研讀教材,準確把握教學目標

  教科書是解讀課程標準的範本。它凝聚著編者對課標的準確理解的心血,蘊藏著豐富的數學教育內涵,體現著數學的科學性和編排的合理性、藝術性。作為一線教師只有研讀教科書,才能準確把握教學目標,悟出教科書的精髓,發揮教科書的教育作用。

  在人教A版中,直線的斜截式和截距式是透過兩道例題的形式給出的,在課標中明確提到“根據確定直線位置的幾何要素,探索並掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),體會斜截式與一次函式的關係。”教材的編寫者在編寫教材時的良苦用心可見一斑。我們只有不斷對教材中的每個細節深入研究,領悟教材編寫者的意圖,才是真正的“用教材”,才能提高個人的教學水平,才能真正把課堂教學落到實處。

  3、研究學法,提高效率、貫徹理念

  對於高中生來說,多進行一些學法指導,在教學時儘可能遵循方法和知識雙重走向,讓學生體驗教科書分段設計、分層推進的策略,學會自主探究、合作交流的學習方式,為後續學習提出一個模式,學生自然而然地適應高中數學的學習。

  在這節直線的兩點式教學課中,老師著眼於“引”,啟發學生“探”,把“引”和“探”有機地結合起來,採用探究、討論的教學方式,透過問題激發學生求知慾,使學生主動參與直線的兩點式方程的探索、應用活動。

  透過這一節“直線的兩點式”的教學前的課前困惑、上課解惑、課後反思。筆者深刻地感悟到:教學就是一種過程的經歷、一種過程的體驗、一種過程的感悟。

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