端曲面齒輪副複合運動的受力狀況與運動規律論文

端曲面齒輪副複合運動的受力狀況與運動規律論文

　　0引言

　　常見的組合機構有實現預定軌跡要求的聯動凸輪組合機構、凸輪-連桿組合機構、實現任意停歇或複雜運動規律要求的凸輪-齒輪組合機構、實現多種運動規律及軌跡要求的齒輪-連桿組合機構和齒輪與液壓的組合機構等[1-6].這些機構能夠實現特定要求的運動軌跡或複合運動，但是結構較為複雜，體積和重量比較大，並不適用於結構尺寸受限、運動規律過於複雜的場合。

　　複合運動機構中獨特且結構較為簡單的一種是複合運動齒輪副，它依靠齒輪副的節曲線形狀變化實現旋轉/直動複合運動。複合運動齒輪副包含正交複合運動錐齒輪副[7]、正交複合運動端曲面齒輪副[8]、複合運動面齒輪副[9]、複合運動非圓齒輪副和非圓齒輪齒條運動副。其中端曲面齒輪複合運動機構是在端曲面齒輪基礎上提出的結合了凸輪機構、齒輪機構和非圓齒輪機構特點的一種新型的齒輪傳動[10].這種運動副相比傳統的組合機構結構更簡單、可靠性更高，可以取代一些傳統的組合機構，對於裝備輕量化、簡化機械結構意義重大。缺點是現階段設計難度高，加工製造困難。針對端曲面齒輪的研究已經比較詳盡，而端曲面齒輪副複合運動的研究卻比較少，集中在齒面求解、運動規律的計算和應用方面[7,10].

　　本文對端曲面齒輪副複合運動的運動規律進行了模擬和試驗驗證，並計算了其齧合過程中的壓力角和受力狀況，為其設計和應用提供進一步的指導。

　　1運動規律

　　1.1齒輪副傳動模型

　　如圖1所示，齒輪1為普通直齒圓柱齒輪，其節曲線半徑為r;齒輪2為端曲面齒輪，其節曲線半徑為R;齒輪3為非圓柱齒輪，其節曲線為二階橢圓，節曲線半徑為r3（θ3）。端曲面齒輪是一種用於相交軸間 傳遞變傳動比運動和動力的齒輪。端曲面齒輪的節曲線方程為：

　　式中：θ2為端曲面齒輪的轉角；θ3為非圓齒輪的轉角。

　　當非圓柱齒輪3旋轉軸固定並作為主動輪，端曲面齒輪2作為從動輪，其輸出為變傳動比的旋轉運動，此時即為端曲面齒輪副；當以端曲面齒輪2作為主動輪，圓柱齒輪1作為從動輪，其輸出為圓柱齒輪的旋轉運動與圓柱齒輪的徑向運動的複合運動；當以圓柱齒輪1為主動輪，以端曲面齒輪2為從動輪，其輸出為端曲面齒輪的旋轉運動和端曲面齒輪的軸向移動的複合運動。透過修改端曲面齒輪的節曲線可以相應改變輸出端的運動規律，從而滿足所要求的工作場合。本文以直齒圓柱齒輪1作為主動輪分析端曲面齒輪副複合運動的特性。

　　1.2運動規律

　　當以直齒圓柱齒輪為主動輪時，輸出端軸向位移的運動規律為[8]:

　　根據齒輪齧合原理，齒輪齧合過程中齧合點的瞬時速度相等，即v→1=v→2,v→1、v→2分別為圓柱齒輪、端曲面齒輪上齧合點的速度。對於從動輪（端曲面齒輪）有：v→2=v→t+v→a,對於主動輪（直齒圓柱齒輪）有：v→1=r→1ω→1,則端曲面齒輪切向速度

　　式中：v→t為切向速度；v→a為軸向速度。根據以上計算方法，複合運動端曲面齒輪副採用如下引數時：圓柱齒輪齒數Z1=12;齒輪副模數m=2mm;端曲面齒輪齒數Z2=36;偏心率k=0.1;節曲線半徑R=35.91mm;端曲面齒輪階數n2=2;主動輪轉速N1=150r/min.可得端曲面齒輪副複合運動的運動規律如圖2所示。

　　從圖2可以看出，該端曲面齒輪副輸出旋轉/移動的複合運動，而且端曲面齒輪的旋轉和軸向移動規律均呈現出一定週期性，當軸向運動的位移最大時，軸向運動速度為零，端曲面齒輪的轉速也最大。

　　將端曲面齒輪複合運動的模型匯入ADAMS模擬軟體，施加相應的約束、載荷及驅動，如圖3所示。模擬得到輸出端端曲面齒輪的運動規律，將其與理論值對比，如圖4所示。

　　從圖4可以看出，端曲面齒輪副的位移的模擬結果隨著主動輪轉角的變化週期性變化，而且因為有誤差和干擾的存在，模擬值與理論值存在一定的偏差，但二者的變化範圍都基本相同，這驗證了理論計算結果的正確性。

　　2受力分析

　　2.1受力分析

　　齒輪副齧合過程中的受力狀況直接影響傳動系統的設計和校核。複合運動端曲面齒輪副齧合過程中的受力狀況如圖5所示，圖中1為主動輪；1′為隨動輪，主要用於防止端曲面齒輪出現嚴重的偏載；2為從動輪。

　　當以直齒圓柱齒輪作為主動輪時：

　　式中：T1、T2分別為直齒圓柱齒輪和端曲面齒輪的轉矩；i12為齒輪副複合運動的傳動比；α為齒輪副壓力角。

　　2.2壓力角計算

　　對於端曲面齒輪副複合運動，其齧合過程中的壓力角與標準漸開線齒輪副不同。漸開線上任意一點法向壓力的方向線與該點速度方向之間的夾角為該點的 壓 力角。對 於端曲面 齒 輪複合運動，其壓力角即為圓柱齒輪的切向力F→n與端曲面齒輪的齧合點的速度v→2之間的夾角。如圖6所示，複合運動端曲面齒輪副的壓力角α等於圓柱齒輪的齒形角α0加上切向速度vt與合速度v2之間的夾角β。

　　圖6中ω1、ω2分別為圓柱齒輪和端曲面齒輪的轉速；Fa、Ft、Fn分別為該齒輪副中端曲面齒輪所受的軸向力、切向力和法向力；v→t、v→a、v→2為端曲面齒輪節曲線上一點的切向速度、軸向速度和合速度；β為切向速度v→t與合速度v→2之間的夾角；α為複合運動端曲面齒輪副的壓力角：

　　α=α0+β（10）式中：

　　β=arctan（v→a/v→t）；α0為直齒圓柱齒輪壓力角，本文取20°。

　　當齒輪副壓力角增大時，齒輪副傳遞相同的扭矩需要的作用力也越大，甚至可能出現自鎖現象，通常要求齒輪副壓力角最大不能大於65°，因此有必要對該復 合運動齒輪副的壓力角進行分析。刀具壓力角為20°，從動輪負載T2=10N·m,分別取直齒圓柱齒輪的齒數為Z1= 12,13,14,15,其他引數採用1.2節中引數時，其壓力角變化情況和圓柱齒輪的轉矩如圖7所示。可以看出，複合運動端曲面齒輪副的壓力角成周期性變化，但圓柱齒輪齒數對壓力角的影響並不明顯，其最大值為36°，最小值為20°，處於合理的範圍內。

　　主動輪的轉矩變化影響到齒輪副的齧合力，進而影響對主動輪軸承的設計和校核。由於端曲面齒輪轉速並不恆定，其角加速度的變化對齧合力的影響不可忽視。分別取主動輪轉速n1=5、10r/s,其他引數相同的情況下，主動輪轉矩變化如圖7所示。可以看出，當主動輪轉速增加時，圓柱齒輪轉矩的波動範圍更大，其最小值更小，最大值也更大，這一定程度上決定了複合運動端曲面齒輪副只能用於中低速的場合。而其週期性地改變與轉速的增加是等比例的，因而其隨轉角變化的週期性並不受轉速的影響。

　　圓柱齒輪的切向力與圓柱齒輪轉矩是等比例關係，而圓柱齒輪徑向力還與壓力角的變化相關。從圖8可以看出，受壓力角變化的影響，圓柱齒輪徑向力的變化規律不同於切向力，而且其受轉速變化的影響相對較小。

　　3試驗驗證及對比

　　針對這一新型齒輪傳動副，搭建了用於驗證其規律的試驗平臺。由鋁型材作為支座，其餘零件除標準件外由樹脂材料經工業級3D列印裝置加工，加工出的'齒輪實物見圖9.

　　試驗方案如圖10所示，可調速的減速電機透過梅花聯軸器連線主動軸，齒輪副齧合帶動端曲面齒輪的旋轉/直動運動，從動軸由箱式光軸軸承支撐，由彈簧提供從動軸往返的回覆力。

　　最終搭建好 的 試 驗 平 臺 實 物 如 圖11所 示。柱齒輪作為主動輪連線電機，端曲面齒輪作為從動輪，調速器用於控制電機轉速，鐳射位移感測器LH-050透過內部的CMOS元件感應並測量輸出軸的位移，控制器用於接受和處理測量資料，直流電源為控制器和感測器提供24V直流電源。

　　透過配套軟體LK-Navigator 2控制並觀察感測器的資料。調節電機的轉速為10r/min,試驗檯平穩執行，測量輸出端的位移。電機最高轉速為100r/min,調節電機轉速，依次增加20r/min,測量其輸出軸軸向運動位移。

　　轉速調節至100r/min時齒輪副依然可以平穩運轉。電機轉速為10~90r/min時，輸出軸的最大位移分 別 為3.517、3.532、3.483、3.532、3.492mm,理 論 最 大 位 移 為3.58 mm,最 大 誤 差 為0.097mm,誤差為2.7%,在誤差允許的範圍內。複合運動軸向運動的位移測量值如圖12所示，理論值與測量值的對比如圖13所示，圖中主動輪轉速為30r/min.從圖13可以看出，端曲面齒輪副的位移隨著主動輪轉角的變化週期性變化，測量曲線與理論曲線的變化趨勢基本相同。但是因為有製造、安裝誤差的存在，試驗值與理論值存在一定的偏差。

　　根據式（2）~（5），根據測量的位移規律以及已知的轉速和齒輪副引數，反算出端曲面齒輪的轉速，並與理論值對比，如圖14所示。可以看出由試驗得出的結果與理論值存在一定的偏差，但變化趨勢基本相同。以上分析表明試驗測得的資料是有效的，也驗證了理論計算結果的正確性。

　　4結論

　　（1）採用模擬方法驗證了端曲面齒輪副複合運動的規律；設計並搭建了端曲面齒輪複合運動驗證試驗平臺，驗證了其輸出軸的複合運動規律，並與理論值對比，驗證了其正確性。

　　（2）分析並計算了端曲面齒輪副複合運動的壓力角變化規律以及齒輪副齧合力變化規律。齒輪副的壓力角受齒輪副齒數的影響比較小，而齒輪副的齧合力受齒輪副轉速的影響，決定了該齒輪副適用於中、低速的場合，為該齒輪系統的設計和校核奠定了基礎。

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