小學五年級“分數的意義”教學結構研究論文
小學五年級“分數的意義”教學結構研究論文
分數，分數單位，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。表示這樣的一份的數叫分數單位。下面是小編為你帶來的 小學五年級“分數的意義”教學結構研究論文，歡迎閱讀。
分數是個複雜的概念，其獲得過程需要解決許多認知上的矛盾，即便在教學條件下，小學生掌握它也需要相當長的時間。因此，分數相關知識是小學數學學習的難點之一。小學數學教材通常以螺旋遞增模式編排這部分內容，在低段開始接觸“平均”分物，中段初步認識分數（包括分子、分母、分數線概念以及分數的讀寫），到了高段則進一步認識分數意義，從將一個物體平均分發展到把一群物體平均分。分數意義的教學也因此成為小學數學的一個重要研究論題。
一、對“分數的意義”教學現實的追問
筆者聽過多節五年級“分數的意義”的課，有常態課，也有觀摩課，儘管這些課上教師行為、學生課堂表現有較大差別，但是他們的課堂教學結構卻大同小異。筆者新近對某小學五年級數學教師的教學計劃決策和課堂互動決策作質性研究，以其中的一節“分數的意義”為例，該教師的課堂情況可以大致歸納如下：學生動手操作學具→用語言（或具體分數）表示結果。即在課堂上，每個學生都有一副學具，有糖果、棋子、圓形紙片和方形紙片等。學生任意“操作”一個分數，教師再抽查學生用語言表述自己分物的過程和具體分數，比如“我有八個棋子，把它們平均分成4份，其中的1份佔這個整體的四之一，用表示。”
類似這樣的教學過程可以圖示如下：
圖1 “分數的意義”現實教學過程圖
在課前和課後的及時訪談中我們瞭解到，教師之所以作出這樣的教學決策主要基於對教材的認識和解讀。教材（人教版）提供了四條資訊（圖2）：（1）言語“你能舉例說明的含義嗎？”（2）圓紙片、方紙片和線段圖；（3）香蕉和麵包，並附“每根是這把香蕉的”“每份是這盤面包的”的示範語言；（4）分數意義和單位“1”含義的描述語言。教師由資訊（1）（3）（4）決策課堂活動的主要形式是學生動手操作並言語表述；由資訊（2）和（3）決策學生的操作活動是“分實物”。也就是說，教師從上述資訊中作出了兩個推理和決策，一是視紙片和麵包為起到等同作用的實物；二是視言語表述為分數意義學習的唯一路徑。於是，便產生了圖1所示的教學過程。
基於這種現實教學中並不鮮見的現象，透過對教材資源進行深度挖掘，並對資訊的意義及資訊之間的關係進行深度剖析，我們不禁要追問：紙片與麵包完全等同嗎？分數意義學習只有“分實物→言語表述”的單一走向嗎？
二、分數意義教學中的紙片：由實物走向模式
對問題“紙片與麵包是否完全等同”，在瞭解關於分數及其意義的一些基本原理後便可明確作答。
（一）表達“部分與整體關係”意義的模式
我們知道，分數的重要意義之一就是表示了“部分與整體的關係”，這個看似簡單的命題，我們的孩子實際上很難達成認識和理解。除了分數本身比較抽象外，更主要的原因在於教師沒有明確引導學生建立一些能更形象、更全面說明分數意義的模式。
關於“部分與整體關係”意義的模式有四個渠道可以建立：範圍、長度、集合和麵積。範圍模式對兒童來說是最具體也最容易操作的，整體（單位“1”）是一個範圍，而部分是大小與形狀的疊合。教師們通常採用這個模式進行分數學習的後續講解，教師們最常用到的範圍模式有圓形和矩形，其實三角形也是一個不錯的選擇：
圖3 “部分與整體關係”之範圍模式圖例
但是，它們各自有些特點需要注意。圓形模式便於兒童發現整體卻對部分較難理解，矩形模式易於兒童理解部分卻難於理解整體，而三角形模式兩方面都比較困難。
集合模式則用一個集合作為整體，如圖4所示：
圖4 “部分與整體關係”之集合模式圖例
集合模式對於兒童理解分數有一定困難，因為他們連分實物都會產生一些困難，何況這種抽象的模式。不過，教師可以透過操作實物滲透集合均分的思想，也可以滲透一個整體中可以包含不同類別的物體的意義，比如教師可以在提供的學具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教師不準備這樣做，自己也應該很清楚這一點，因為教師對分數意義全面、完整的理解對學生建構分數的意義具有重要作用。
線段圖屬於長度模式，小學生比較熟悉，也比較容易理解。面積模式包含了範圍模式所涉及的情況，這個模式適合於較大兒童（四年級及其以上），圖5可以幫助孩子更好地理解這類模式。
圖5 “部分與整體關係”之面積模式圖例
由上可知，分數表達了“部分與整體的關係”，而範圍、長度、集合和麵積則把這種關係和意義模式化，使孩子們對分數意義的理解更直觀、漸進和全面。進一步地，如果能夠意識、找到並恰當運用這些模式，我們的教學也許會更有效。
(二)教材中具有“模式”功能的資訊源
那麼，教材中是哪些資訊在提示我們要構建並運用模式作為學生認識和理解分數意義的橋樑呢?
我們回到圖2，結合上述的分析便不難理解，教材中呈現的線段圖、圓紙片和方紙片，特別是紙片，除了是實物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。線段圖屬於長度模式，圓紙片和方紙片既屬於範圍模式也屬於面積模式。如此的話，教材中的資訊源除了“分實物”“言語表述”和“符號”外，又多了一個元素，即“模式”。
相對於以往對教材中紙片的認識，透過今天的討論，紙片便“返璞歸真”，兼具實物與模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教學的意蘊。透過對“分數的意義”教材的重新解讀，紙片實現了由實物走向模式的角色轉換，並將因此給“分數的意義”的教學帶來新的生機和活力。
三、構建“模式主導，雙向多維”的教學結構
(一)模式的核心地位
在教材所呈現的四個元素，即實物、模式、言語和符號中，模式是聯結其餘三個元素的橋樑。
首先，紙片是麵包、香蕉等實物平均分的模式化。模式是實物操作的數學轉化，從實物走向模式是學生經歷數學思維抽象、歸納並建立邏輯關係結構的`過程，是數學化的過程，即模式化的過程就是數學化的過程。弗賴登塔爾說“沒有數學化就沒有數學”，真正的數學知識應當是關於抽象的數學物件的研究，而並非對於真實事物或現象量性屬性的直接研究。所謂數學是模式的科學，由實物操作走向模式走出了數學味。
其次，模式與符號和言語之間分別建立了雙向邏輯關係，即模式?圮符號、模式?圮言語、符號?圮言語(經模式表象)。這樣的關係可圖示如下：
在上述圖形中，模式元處於中心地位。模式由實物運算元學化而來，形成“分數意義”抽象的研究物件，併為分數意義的學習提供直觀材料和意義建構的載體。例如，平均分香蕉為4份(實物操作)，將該過程模式化為平均分成4份的長方形紙片，該模式與符號、言語“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整體的四分之一”形成雙向邏輯關係，而符號與言語之間經由長方形紙片模式建立了雙向邏輯關係。這裡提到的雙向邏輯關係在後面的探討中，將更詳細地予以解釋。
據此，透過分析教材、提取資訊→解讀資訊背後的含義→建構資訊之間的關係等步驟，紙片的“模式”功能在上述關係圖中的核心地位凸顯出來，它不僅能使分數意義的教學活動的數學味更加顯現，也能使該教學過程顯得立體多元。
(二)“模式主導，雙向多維”教學結構的操作要義
如果把上面對模式、符號、言語、實物之間的關係的分析和探討相應地進行教學過程化，那麼，“模式主導，雙向多維”的教學結構便水到渠成。如圖6：
圖6“分數意義”之“模式主導，雙向多維”教學結構示意圖
把這樣的雙向關係轉化為相應的分數意義的學習活動，則至少有六種路徑：
(1)由模式寫符號；(2)由符號選模式；(3)根據符號進行言語表述(藉助模式表象)；(4)由表述寫符號(藉助模式表象)；(5)根據模式進行言語表達分實物的過程(結合符號)；(6)言語表達分實物過程後再選模式或畫模式。
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其中，(1)與(2)，(3)與(4)，(5)與(6)，是三組互逆的學習過程，能夠培養學生的逆向思維，進而使傳統教育中所忽視的發散思維能力得到很好的培養，從而促進學生創造性思維的養成。而實物操作到模式的數學化過程則是分數意義學習的邏輯起點。
以上解析了分數意義的學習過程，對於教師而言，“模式主導，雙向多維”教學結構的操作要義如下。
要義一：(1)創設情境，引導學生經歷由實物操作走向模式的數學化過程；(2)給模式寫符號，同時給符號選模式；(3)藉助模式表象，給符號進行言語表述，同時給表述寫符號；(4)給模式，兒童言語表達分實物的過程，同時兒童言語表達分實物的過程後再選模式或畫模式。
要義二：(1)分實物後引導學生經歷實物操作到模式的數學化過程，然後寫出分數符號；同時，先給出符號由學生選模式，然後再表述分實物的過程；(2)給符號後要求學生言語表達(或畫)模式，再依此描述分實物的過程；同時，言語表述模式後，描述分實物的過程，再寫出符號。
前者將實物操作到模式的數學化過程相對獨立化，後者則將該過程糅合於各個雙向的邏輯關係之中。
(三)兩種教學結構的比較
圖1和圖6分別基於教學現實和理論分析勾勒出兩類小學五年級“分數的意義”的教學結構，即“分數的意義”現實教學過程和“模式主導，雙向多維”的教學過程。前者呈現斷裂性和單向性的特點，學生學習分數意義的活動斷裂進行(分實物→言語表述符號或分實物→言語表述分物過程)，跨越了“實物到模式”的數學化的過程，並構建了“實物到言語”的單向學習活動，使整個學習活動顯得單一和斷裂，不利於學生全面、深刻地理解分數的意義，不利於學生體悟和積累數學化的數學經驗，其根本是不利於學生數學思維的發展。逆向思維是發散思維的一種重要形式，發散思維又是創造性思維的基礎。所以歸根結底是不利於學生創造性思維的培養。
後者呈現多維性和雙向性的特點，模式元素是整個結構的核心，各個元素之間的關係是雙向互動的關係，從多個維度(實物→模式?圮符號、實物→模式?圮言語或實物→模式、模式?圮符號?圮言語等維度)實現學生對分數意義的全面理解，有利於學生積累豐富的數學活動經驗，更有利於學生數學思維、創造性思維的良好發展，為學生未來的數學學習生活注入活力。
調研中有教師說，在一次小學數學畢業會考中，有一道題目是要求學生根據給出的分數在給出的方格圖中用陰影表示出來(即給出符號選擇模式)，絕大多數學生沒有做出來。這實際上就是在教學中沒有注意到“模式主導，雙向多維”的教學模式所致。
四、“模式主導，雙向多維”教學結構的教學意義
我們歸結分數意義的教學結構，並非僅僅追求外在教學形式的簡單改變，意在深入挖掘其內蘊的教學意義，使教學形式的改變由內至外而發生，而非外力強加的、缺乏靈魂的生硬動作。
“模式主導，雙向多維”的分數意義的教學，其內涵的意義至少有以下兩點。(1)數學化是數學學習的邏輯起點。數學的研究物件是從現實事件中抽象出來的模式，而不是現實事件本身。從現實事件抽象出模式的過程，是數學化的過程。(2)數學學習過程是各路徑雙向互動、多路徑融會貫通的有機整體。數學學習過程是多路徑交錯的動態過程，各路徑相對獨立，又整體關聯，相互依存。獨立的路徑雙向互動，並非單一走向；關聯的路徑融會貫通，以一定的模式相互整合，構成數學知識意義生成的有機載體。
上述教學意義的提煉，期望有助於教師更有效地教學“分數的意義”，進一步地，能把這些教學意義合理遷移到其他的數學教學領域。