《二次函式的應用》教案設計
《二次函式的應用》教案設計
目標設計
1.知識與技能：透過本節學習，鞏固二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關係，會用頂點的性質求解最值問題。
能力訓練要求
1、能夠分析實際問題中變數之間的二次函式關係，並運用二次函式的知識求出實際問題的最大（小）值發展學生解決問題的能力， 學會用建模的思想去解決其它和函式有關應用問題。
2、透過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函式的最值問題，透過動手動腦，提高分析解決問題的能力，並體會一般與特殊的關係，培養數形結合思想，函式思想。
情感與價值觀要求
1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識，逐步養成合作交流的習慣。
2、培養學生學以致用的習慣，體會體會數學在生活中廣泛的應用價值，激發學生學習數學的興趣、增強自信心。
方法設計
由於本節課是應用問題，重在透過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，解決問題以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率，展示學生的學習效果，適當地輔以電腦多媒體技術。
教學過程
導學提綱
設計思路：最值問題又是生活中利用二次函式知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富 ，學生比較感興趣，對九年級學生來說，在學習了一次函式和二次函式圖象與性質以後，對函式的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變數超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易於理解和接受 ，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的在於讓學生透過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函式有關應用問題，此部分內容既是學習一次函式及其應用後的鞏固與延伸，又為高中乃至以後學習更多函式打下堅實的理論和思想方法基礎。
（一）前情回顧：
1.複習二次函式y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點座標、對稱軸和最值
2.（1）求函式y＝x2+ 2x－3的最值。
（2）求函式y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、拋物線在什麼位置取最值？
（二）適當點撥，自主探究
1.在創設情境中發現問題
請你畫一個周長為40釐米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學比比，發現了什麼？誰的面積最大？
2、在解決問題中找出方法
某工廠為了存放材料，需要圍一個周長40米的矩形場地，問矩形的長和寬各取多少米，才能使存放場地的面積最大？
（問題設計思路：把前面矩形的周長40釐米改為40米，變成一個實際問題， 目的在於讓學生體會其應用價值??我們要學有用的數學知識。學生在前面探究問題時，已經發現了面積不唯一，並急於找出最大的，而且要有理 論依據，這樣首先要建立函式模型，合作探究中在選取變數時學生可能會有困難，這時教師要引導學生關注哪兩個變數，就把其中的一個主要變數設為x，另一個設為y，其它變數用含x的代數式表示，找等量關係，建立函式模型，實際問題還要考慮定義域，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函式知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以後的學習奠定思想方法基礎。）
3、在鞏固與應用中提高技能
例1：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍牆，為了美化生活環境，小明的爸爸準備靠牆修建一個矩形花圃 ，他買回了32米長的不鏽鋼管準備作為花圃的圍欄（如圖所示），花圃的寬AD究竟應為多少米才能使花圃的面積最大？
（設計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件牆長10米來限制定義域，目的在於告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯解，此時教師再提醒學生透過畫函式的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與形的完美結合，透過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今後能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）
解：設垂直於牆的邊AD=x米，則AB=（32-2x） 米，設矩形面積為y米2，得到：
Y=x（32-2x）= -2x2+32x
［錯解］由頂點公式得：
x=8米時，y最大=128米2
而實際上定義域為11≤x ?16，由圖象或增減性可知x=11米時， y最大=110米2
（設計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件牆長10米來限制定義域，目的在於告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯 解，此時教師再提醒學生透過畫函式的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與 形的完美結合，透過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今後能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）
（三）總結交流：
（1）同學們經歷剛才的探究過程，想想解決此類問題的.思路是什麼？.
引導學生分析解題迴圈圖：
（2）在探究發現這些判定方法的過程中運用了什麼樣的數學方法？
（四）掌握應用：
圖中窗戶邊框的 上半部分是由四個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形。如果製作一個窗戶邊框的材料總長為15米，那麼如何設計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大(結果精確到0.01m2)?（設計思路：先出示如圖圖形，然後引伸到課本中的圖形，讓學生有一個思考遞進的空間。）
（五）我來試一試：
如圖在Rt△ABC中，點P在斜邊AB上移動，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分別為垂足，已知AC=1，AB=2，求：
（1）何時矩形PMCN的面積最大，把最大面積是多少？
（2）當AM平分∠CAB時，矩形PMCN的面積.
（六）智力闖關：
如圖，用長20cm的籬笆，一面靠牆圍成一個長方形的園子，怎樣圍才能使園子的面積最大？最 大面積是多少？
作業：課本隨堂練習 、習題1，2，3
板書設計
二次函式的應用??面積最大問題
課後反思
二次函式的應用本身是學習二次函式的圖象與性質後，檢驗學生應用所學知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標中要求學生能透過對實際問題的情境的分析確定二次函式的表示式，體會其意義，能根據圖象的性質解決簡單的實際問題。 本節課充分運用導學提綱，教師提前透過一系列問題串的設定，引導學生課前預習，在課堂上透過對一系列問題串的解決與交流， 讓學生透過掌握 求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函式有關應用問題。
教材中設計先探索最大利潤問題，對九年級學生來說，在學習了一次函式和二次函式圖象與性質以後，對函式的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變數超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易於理解和接受，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。所以在例題的處理中適當的降低了梯度，讓學生思維有一個拓展的空間，也有收穫快樂 和成就感。在訓練的過程中，透過學生的獨立思考與小組合作探究相結合，使學生的分析能力、表達能力及思維能力都得到訓練和提高。同時也注重對解題方法與解題 模式的歸納與總結，並適當地滲透轉化、化歸、數形結合等數學思想方法。