反比例函式的教學設計

反比例函式的教學設計

　　知識技能目標

　　1.理解反比例函式的圖象是雙曲線,利用描點法畫出反比例函式的圖象,說出它的性質;

　　2.利用反比例函式的圖象解決有關問題.

　　過程性目標

　　1.經歷對反比例函式圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質;

　　2.探索反比例函式的圖象的性質,體會用數形結合思想解數學問題.

　　教學過程

　　一、創設情境

　　上節的練習中，我們畫出了問題1中函式的圖象，發現它並不是直線.那麼它是怎麼樣的曲線呢?本節課，我們就來討論一般的反比例函式(k是常數，k≠0)的圖象，探究它有什麼性質.

　　二、探究歸納

　　1.畫出函式的圖象.

　　分析畫出函式圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函式中自變數x≠0.

　　解1.列表：這個函式中自變數x的取值範圍是不等於零的一切實數，列出x與y的對應值：

　　2.描點：用表裡各組對應值作為點的座標，在直角座標系中描出在京各點點(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.

　　3.連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支;用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩個分支合起來，就是反比例函式的圖象.

　　上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola).

　　提問這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎?為什麼?

　　學生試一試：畫出反比例函式的圖象(學生動手畫反比函式圖象，進一步掌握畫函式圖象的.步驟).

　　學生討論、交流以下問題，並將討論、交流的結果回答問題.

　　1.這個函式的圖象在哪兩個象限?和函式的圖象有什麼不同?

　　2.反比例函式(k≠0)的圖象在哪兩個象限內?由什麼確定?

　　3.聯絡一次函式的性質，你能否總結出反比例函式中隨著自變數x的增加，函式y將怎樣變化?有什麼規律?

　　反比例函式有下列性質：

　　(1)當k>0時，函式的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少;

　　(2)當k<0時，函式的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加.

　　注1.雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點;

　　2.雙曲線的兩個分支關於原點成中心對稱.

　　以上兩點性質在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義?

　　在問題1中反映了汽車比腳踏車的速度快，小華乘汽車比騎腳踏車到鎮上的時間少.

　　在問題2中反映了在面積一定的情況下,飼養場的一邊越長,另一邊越小.

　　三、實踐應用

　　例1若反比例函式的圖象在第二、四象限，求m的值.

　　分析由反比例函式的定義可知：,又由於圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個條件可解出m的值.

　　解由題意，得解得.

　　例2已知反比例函式(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，求一次函式y=kx-k的圖象經過的象限.

　　分析由於反比例函式(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，因此k<0，而一次函式y=kx-k中，k<0，可知，圖象過二、四象限，又-k>0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方.

　　解因為反比例函式(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，所以k<0，所以一次函式y=kx-k的圖象經過一、二、四象限.

　　例3已知反比例函式的圖象過點(1,-2).

　　(1)求這個函式的解析式，並畫出圖象;

　　(2)若點A(-5,m)在圖象上，則點A關於兩座標軸和原點的對稱點是否還在圖象上?

　　分析(1)反比例函式的圖象過點(1,-2)，即當x=1時，y=-2.由待定係數法可求出反比例函式解析式;再根據解析式，透過列表、描點、連線可畫出反比例函式的圖象;

　　(2)由點A在反比例函式的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關於兩座標軸和原點的對稱點是否在圖象上.

　　解(1)設：反比例函式的解析式為：(k≠0).

　　而反比例函式的圖象過點(1,-2)，即當x=1時，y=-2.

　　所以，k=-2.

　　即反比例函式的解析式為：.

　　(2)點A(-5,m)在反比例函式圖象上，所以，

　　點A的座標為.

　　點A關於x軸的對稱點不在這個圖象上;

　　點A關於y軸的對稱點不在這個圖象上;

　　點A關於原點的對稱點在這個圖象上;

　　例4已知函式為反比例函式.

　　(1)求m的值;

　　(2)它的圖象在第幾象限內?在各象限內，y隨x的增大如何變化?

　　(3)當-3≤x≤時，求此函式的最大值和最小值.

　　解(1)由反比例函式的定義可知：解得，m=-2.

　　(2)因為-2<0，所以反比例函式的圖象在第二、四象限內，在各象限內，y隨x的增大而增大.

　　(3)因為在第個象限內，y隨x的增大而增大，

　　所以當x=時，y最大值=;

　　當x=-3時，y最小值=.

　　所以當-3≤x≤時，此函式的最大值為8，最小值為.

　　例5一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y釐米，寬是5釐米，高是x釐米.

　　(1)寫出用高表示長的函式關係式;

　　(2)寫出自變數x的取值範圍;

　　(3)畫出函式的圖象.

　　解(1)因為100=5xy,所以.

　　(2)x>0.

　　(3)圖象如下：

　　說明由於自變數x>0,所以畫出的反比例函式的圖象只是位於第一象限內的一個分支.

　　四、交流反思

　　本節課學習了畫反比例函式的圖象和探討了反比例函式的性質.

　　1.反比例函式的圖象是雙曲線(hyperbola).

　　2.反比例函式有如下性質：

　　(1)當k>0時，函式的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少;

　　(2)當k<0時，函式的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加.

　　五、檢測反饋

　　1.在同一直角座標系中畫出下列函式的圖象：

　　(1);(2).

　　2.已知y是x的反比例函式，且當x=3時，y=8,求：

　　(1)y和x的函式關係式;

　　(2)當時，y的值;

　　(3)當x取何值時，?

　　3.若反比例函式的圖象在所在象限內，y隨x的增大而增大，求n的值.

　　4.已知反比例函式經過點A(2,-m)和B(n,2n)，求：

　　(1)m和n的值;

　　(2)若圖象上有兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1<0<x2，試比較y1和y2的大小.