拋物線的定義及其標準方程教學設計案例
拋物線的定義及其標準方程教學設計案例
拋物線的定義及其標準方程教學設計
1.目標和目標解析
（１）知識目標：
理解並掌握拋物線的定義及其標準方程；會求拋物線的標準方程。
（２）能力目標：
透過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動，培養學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀。並進一步感受座標法及數形結合的思想
2.教學問題診斷
座標法求拋物線的標準方程是本節課的重點和難點。透過合作交流，探究不同的建系方案，對比所得方程的異同，使學生認識到恰當建立座標系的重要性，進一步感受座標法的思想。在推導拋物線四種形式的標準方程的過程中，理解焦引數 的幾何意義；能根據條件求出拋物線的標準方程；會根據拋物線的標準方程，求出焦點座標、準線方程.根據以上教學內容及要求，擬定教學重、難點如下
（1）教學重點：拋物線的定義及其標準方程。
（2）教學難點：拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導
3.教學支援條件分析
新課程大力倡導積極主動、勇於探索的學習方式，為的是使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。透過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展學生的創新意識。在本節課中，將透過適當的問題情景，在“實驗”、“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動中，引導學生自己發現問題、提出問題、解決問題。課堂上真正以學生髮展為本，鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與；鼓勵學生髮現數學的規律和問題解決的途經，使他們經歷知識形成的過程。最大限度地讓學生在活動中學習，在主動中發展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中創新，並達成教與學的互促互動、相得益彰的良性迴圈的最優局面。
教學方法：啟導探究式
教學用具：多媒體課件
4.教學過程設計
（1）設定情景，引發探究
①課件演示：用幾何畫板設定一個直觀性問題情景，已知F是平面上一個定點， 是平面上不過點F的一條定直線，點M到定點F的距離和到定直線 的距離的比是一個常數e，改變這兩個距離大小的關係（即常數e的大小），觀察動點M的軌跡。
②學生觀察 ：兩個距離大小的變化；並追蹤：動點M得到的軌跡形狀。然後記下實驗追蹤結果。
③學生交流：當o＜e＜1時動點M得到的軌跡是橢圓；當e＞1時是雙曲線。
④引發探究：進而引發探究慾望：當e=1時，它又是什麼曲線呢？
設計意圖：數學教學需要一定問題情景的支撐，恰當的問題情景能
激起學生的情感體驗，有利於學生學習興趣的激發，也有利於學生良好數學觀的形成。因此，在教學中，應力求透過恰當問題情景的創設，讓學生產生積極的學習心態，在具體的情景中實現知識的學習。上述教學設計透過資訊科技設定一個直觀性問題情景，激發了學生探究的慾望，這時學生自然地產生了探究當動點到一定點距離與定直線距離相等（即 ）時點的軌跡到底是什麼的強烈願望。讓學生在“觀察”、“思考”、“探究”等活動中，自己發現問題、提出問題。
（2）觀察歸納，形成定義
①觀察：當e=1時，曲線上的動點滿足怎樣幾何特徵？讓學生透過獨立思考和互相討論，並交流看法。針對學生的回答進行引導，把學生的思維一步步引入發現規律的'最近區域，最終使得學生髮現：曲線上的點到定點的距離和到一條定直線的距離相等。
②歸納：拋物線的定義
要求學生用自己的語言描述什麼樣的曲線是拋物線。規範學生的語言描述，提出拋物線定義的書面文字。
定義：平面內與一個定點F和一條定直線 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線 叫做拋物線的準線。強調定義的中心句和關鍵詞（讓學生自己找出）。並與橢圓、雙曲線的定義進行比較。
③反思：在拋物線定義中，要注意定點F不在定直線 上。 若定點F在定直線 上，則動點的軌跡又是什麼圖形呢？（此時退化為過F點且與直線 垂直的一條直線）。
④欣賞：讓同學們說一說生活中有哪些圖形是拋物線。然後教師用幻燈片播放一些典型的拋物線型標誌性建築，如中國的趙州橋，世界第一大拱橋——盧浦大橋、北京奧運會主場館的拱頂、夜色下噴水池噴出的彩色水流等，讓學生欣賞審美，陶冶情操，激發興趣。
設計意圖：由上述直觀性問題情景引出了拋物線定義，順理成章。教學中處處注重師生之間的互動，注重學生觀察、比較、分析、概括能力的培養，注重反思環節的落實。透過學生親身實踐、主動思維，讓學生在實踐中得到體驗，在反思中產生感悟，使學生學會思考並養成自主學習、勇於探索的良好習慣。透過讓學生動口參與教學活動，培養了學生自然觀察的能力和數學語言的表達能力；同時透過欣賞生活中一些拋物線型建築，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。
（3）合作交流，匯出方程
①類比：類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程（用螢幕顯示圖形），讓學生認真捉摸座標系的位置特點，感悟求拋物線的方程應建立怎樣的直角座標系最好（力求使其方程形式最簡單）。也可以幫助學生回顧初中二次函式圖象的平移變化，從而感悟到要得到拋物線的最簡方程，必須使圖象過座標原點（可使常數項為零）；使圖象的對稱軸為x軸(或y軸)（可使方程中不含y(或x)的一次項）。
②合作：師生合作共同推導拋物線的標準方程
請學生將自己的感悟畫在紙板上。學生分兩人一組互相討論，老師展示幾組學生的建系方案，一一作出評價。
選擇正確的一個建系方案師生一起探究拋物線方程的建立。
如推導焦點F在x軸正半軸上的拋物線標準方程。
設焦點F在x軸的正半軸上，焦點F到準線L的垂線段FN的垂直平分線為y軸，設|FN|=p。
請學生口頭敘述焦點F的座標和準線L的方程。
師生共同推匯出拋物線方程：y2=2px（p>0）
指出這個方程叫做拋物線的標準方程。它表示焦點F 在x軸正半
軸上，頂點在原點的拋物線, 其準線為
③反思：建系方案的合理性。
在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為座標原點，對稱軸為一條座標軸建立座標系。這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便於應用。
④探究：拋物線的標準方程的其它形式
在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選取不同的座標系我們得到了不同形式的標準方程。那麼拋物線的標準方程還有哪些不同形式？
讓學生分組求出其它三種形式的標準方程，師生協作，填充拋物線標準方程的分類表格
再反思：拋物線四種形式的標準方程與圖形間的對應關係及它們之間的內在聯絡。從前面求橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的過程中，你是否深刻感悟到：求軌跡方程時，如何才能建立適當的座標系？
設計意圖：教學過程是師生互相交流、共同參與的過程。數學透過交流，才能得以深入發展，數學思想才能變得更加清晰；透過多邊合作，又可以增強學生的合作能力與群體創造意識。教學中，只有在師生密切合作、共同探索的氛圍中數學交流才能得以真正實施。上述設計在探究拋物線標準方程時，透過師生的對話交流、密切合作和資訊的互動，讓學生體驗合作交流探究的學習過程，並自覺地建構起拋物線標準方程的知識系統。
（4）練習反饋，鞏固提高
①會根據拋物線的標準方程，求出焦點座標、準線方程
例1 已知拋物線的標準方程是 , 求它的焦點座標和準線方程（教材例1之（1））。
變式：求下列拋物線的焦點座標和準線方程：
⑴； ⑵ ；
感悟：你能說明二次函式 的圖象為什麼是拋物線嗎？如何才能正確地求出它的焦點座標、準線方程？
②能根據條件求出拋物線的標準方程
例2 已知拋物線的焦點是F ，求它的標準方程（教材例1之（2）） 。
變式：已知拋物線的焦點F到準線L的距離為4。根據下列條件求此拋物線的標準方程。
（1）若焦點F在y軸正半軸上；
（2）若焦點F在y軸上；
（3）若焦點F在x軸上；
（4）若焦點F在座標軸上。
（5）焦點在直線 上（均由學生口答）
感悟：
①求給定拋物線的標準方程的基本方法是：待定係數法。關鍵是
定軸向——求p值——寫方程。（若開口方向不定，則要注意分類討論的思想。）
②在認識事物的過程中，我們不僅要善於從一些不同的事物中去發現它們的共同點，還要善於從一些相似的事物中去發現它們的不同點。
設計意圖：以課本例題為本，透過變式訓練這一環節，既讓學生鞏固和加深對拋物線及其標準方程的理解，又使學生在“練”的過程中透過反思、感悟，不斷調整自己的認識結構和經驗結構，完成人的經驗自主建構的過程。
（5）自我總結，提煉昇華
讓學生回憶並小結、提煉本節課學習內容：
①拋物線的定義（其本質屬性）；
②拋物線的標準方程（注意四種形式的異同）；
③求拋物線標準方程的基本方法：待定係數法。關鍵是：定軸向——求p值——寫方程。
設計意圖：引導學生自我反饋、自我總結，並對所學知識進行提煉昇華。讓學生學會學習，學會內化知識的方法與經驗，促進目標達成。
5.目標檢測設計
（1）書面作業：A組1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）
補充：求經過點p（4，-2）的拋物線的標準方程。（選做）
（2）課後探究：
① 的幾何意義是焦點到準線的距離，其實也是拋物線的定形條件。你能說出焦引數 對拋物線的開口大小有什麼影響嗎？
②同學們在初中學習過二次函式，為什麼二次函式 的圖象是拋物線？
設計意圖：為體現以學生髮展為本的理念，使不同學生在數學上獲得不同的發展，本作業依一定梯度進行設計，並丟擲兩個課後探究性問題，既是對本節課有關內容的延伸、拓展，回應了本節課內容，又是為下繼內容作些鋪墊、畜勢，讓學生有“意尤未盡”之感。同時形成開放性學習環境，滿足了不同學生的需要，體現了個性化的學習，目的是努力使每一位學生都能得到成功的體驗。