初三數學函式對稱性的探究課件
初三數學函式對稱性的探究課件
一、 函式自身的對稱性探究
定理1.函式 y = f (x)的影象關於點A (a ,b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a-x) = 2b
證明：(必要性)設點P(x ,y)是y = f (x)影象上任一點，∵點P( x ,y)關於點A (a ,b)的對稱點P(2a-x，2b-y)也在y = f (x)影象上， 2b-y = f (2a-x)
即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得證。
(充分性)設點P(x0,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x) =2bf (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。
故點P(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 影象上，而點P與點P關於點A (a ,b)對稱，充分性得徵。
推論：函式 y = f (x)的影象關於原點O對稱的充要條件是f (x) + f (-x) = 0
定理2.函式 y = f (x)的影象關於直線x = a對稱的充要條件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (證明留給讀者)
推論：函式 y = f (x)的影象關於y軸對稱的充要條件是f (x) = f (-x)
定理3. ①若函式y = f (x) 影象同時關於點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱(ab)，則y = f (x)是週期函式，且2| a-b|是其一個週期。
②若函式y = f (x) 影象同時關於直線x = a 和直線x = b成軸對稱(ab)，則y = f (x)是週期函式，且2| a-b|是其一個週期。
③若函式y = f (x)影象既關於點A (a ,c) 成中心對稱又關於直線x =b成軸對稱(ab)，則y = f (x)是週期函式，且4| a-b|是其一個週期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函式y = f (x)影象既關於點A (a ,c) 成中心對稱，
f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c(*)
又∵函式y = f (x)影象直線x =b成軸對稱，
f (2b-x) = f (x)代入(*)得：
f (x) = 2c-f [2(a-b) + x](**)，用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是週期函式，且4| a-b|是其一個週期。
二、 不同函式對稱性的探究
定理4.函式y = f (x)與y = 2b-f (2a-x)的影象關於點A (a ,b)成中心對稱。
定理5.①函式y = f (x)與y = f (2a-x)的影象關於直線x = a成軸對稱。
②函式y = f (x)與a-x = f (a-y)的影象關於直線x +y = a成軸對稱。
③函式y = f (x)與x-a = f (y + a)的影象關於直線x-y = a成軸對稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③
設點P(x0 ,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關於直線x-y = a的軸對稱點為P(x1， y1)，則x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) 點P(x1， y1)在函式x-a = f (
(y + a)的影象上。
同理可證：函式x-a = f (y + a)的影象上任一點關於直線x-y = a的軸對稱點也在函式y = f (x)的影象上。故定理5中的③成立。
推論：函式y = f (x)的影象與x = f (y)的.影象關於直線x = y 成軸對稱。
三、 三角函式影象的對稱性列表
函 數
對稱中心座標
對稱軸方程
y = sin x
( k, 0 )
x = k/2
y = cos x
( k/2 ,0 )
x = k
y = tan x
(k/2 ,0 )
無
注：①上表中kZ
②y = tan x的所有對稱中心座標應該是(k/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊(下)及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案(修訂版)中都認為y = tan x的所有對稱中心座標是( k, 0 )，這明顯是錯的。
四、 函式對稱性應用舉例
例1：定義在R上的非常數函式滿足：f (10+x)為偶函式，且f (5-x) = f (5+x),則f (x)一定是( )(第十二屆希望杯高二第二試題)
(A)是偶函式，也是週期函式 (B)是偶函式，但不是週期函式
(C)是奇函式，也是週期函式 (D)是奇函式，但不是週期函式
解：∵f (10+x)為偶函式，f (10+x) = f (10-x).
f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個週期的週期函式，x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函式。
故選(A)
例2：設定義域為R的函式y = f (x)、y = g(x)都有反函式，並且f(x-1)和g-1(x-2)函式的影象關於直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那麼f(4)=( )。
(A) 1999; (B)2000; (C)2001;(D)2002。
解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函式的影象關於直線y = x對稱，
y = g-1(x-2) 反函式是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函式是:y = 2 + g(x), f(x-1) = 2 + g(x), 有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,應選(C)
例3.設f(x)是定義在R上的偶函式，且f(1+x)= f(1-x),當-10時，
f (x) = - x，則f (8.6 ) = _________ (第八屆希望杯高二第一試題)
解：∵f(x)是定義在R上的偶函式x = 0是y = f(x)對稱軸;
又∵f(1+x)= f(1-x) x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為週期的週期函式，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4.函式 y = sin (2x + )的影象的一條對稱軸的方程是( )(92全國高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =
解：函式 y = sin (2x + )的影象的所有對稱軸的方程是2x + = k+
x = - ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = - 故選(A)
例5. 設f(x)是定義在R上的奇函式，且f(x+2)= -f(x),當01時，
f (x) = x，則f (7.5 ) = ( )
(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5
解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函式，點(0，0)是其對稱中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是週期為2的週期函式。
f (7.5 )
= f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故選(B)