六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題
六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題
和、差與倍數的應用題
做應用題是一種很好的思維鍛鍊.做應用題不但要會算，而且要多思考，善於發現題目中的數量關係，可以說做應用題是運用數學的開始.
加、減、乘是最基本的運算，和、差、倍數是兩數之間最簡單的數量關係.應用題的訓練，就從這
一、和差問題
說到“和差問題”，小學高年級的同學，人人都會說：“我會!”和差問題的計算太簡單了.是的，知道兩個數的和與差，求兩數，有計算公式：
大數=(和+差)÷2
小數=(和-差)÷2
會算，還要會靈活運用，要把某些應用題轉化成和差問題來算.
先看幾個簡單的例子.
例1張明在期末考試時，語文、數學兩門功課的平均得分是95分，數學比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分?
解：95乘以2，就是數學與語文兩門得分之和，又知道數學與語文得分之差是8.因此
數學得分=(95×2+8)÷2=99.
語文得分=(95×2-8)÷2=91.
答：張明數學得99分，語文得91分.
注：也可以從95×2-99=91求出語文得分.
例2有A，B，C三個數，A加B等於252，B加C等於197，C加A等於149，求這三個數.
解：從B+C=197與A+C=149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此
B=(252+197-149)÷2=150，
A=252-150=102，
C=149-102=47.
答：A，B，C三數分別是102，150，47.
注：還有一種更簡單的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子說明，三數相加再除以2，就是三數之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47，
B=299-149=150，
A=299-197=102.
例3甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐裡，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克?
解：畫一張簡單的示意圖，
就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多
5+7+5=17(千克)
因此，甲、乙兩數之和是75，差為17.
甲筐蘋果數=(75+17)÷2=46(千克).
乙筐蘋果數=75-46=29(千克).
答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.
例4張強用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強買這雙鞋花多少錢?
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是270元，差是210元.
外衣和鞋價之和=(270+210)÷2=240(元).
外衣價與鞋價之差是140，因此
鞋價=(240-140)÷2=50(元).
答：買這雙鞋花50元.
再舉出三個較複雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那麼就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運用了.
例5李叔叔要在下午3點鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋裡看鐘，可是鍾早在12點10分就停了.他開足發條卻忘了撥指標，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘.夜裡11點下班，李叔叔馬上離廠回到家裡，一看鐘才9點整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那麼他家的鐘停了多少時間(上發條所用時間忽略不計)?
解：到廠時看鐘是2點50分，離家看鐘是12點10分，相差2小時40分，這是停鐘的時間和路上走的時間加在一起產生的.就有
鐘停的時間+路上用的時間=160(分鐘).
晚上下班時，廠裡鍾是11點，到家看鐘是9點，相差2小時.這是由於鐘停的時間中，有一部分時間，被回家路上所用時間抵消了.
因此
鐘停的時間-路上用的時間=120(分鐘).
現在已把問題轉化成標準的和差問題了.
鐘停的時間=(160+120)÷2=140(分鐘).
路上用的時間=160-140=20(分鐘).
答：李叔叔的鐘停了2小時20分.
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：
以李叔叔家的鐘計算，他在12點10分出門，晚上9點到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以
上班路上所用時間=(8小時50分鐘-8小時-10分鐘)÷2=20(分鐘).
鐘停時間=2小時40分鐘-20分鐘
=2小時20分鐘.
例6小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數算作乙卡張數，把乙卡張數算作甲卡張數，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張?
解：甲卡與乙卡每張相差1.5-0.7=0.8(元)，售貨員錯找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(張).
現在已有兩種卡張數之差，只要求出兩種卡張數之和問題就解決了.如何求呢?請注意
1.5×甲卡張數+0.7×乙卡張數=21.4.
1.5×乙卡張數+0.7×甲卡張數=21.4-3.2.
從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數之和是
[21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+0.7)=18(張).
因此，甲卡張數是
(18+4)÷2=11(張).
乙卡張數是18-11=7(張).
答：小明買甲卡11張、乙卡7張.
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講.
例7有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形(A)的周長是240釐米，大長形(B)的周長是258釐米，求原長方形的長與寬各為多少釐米?
解：大長方形(A)的周長是原長方形的
長×2+寬×4.
大長方形(B)的周長是原長方形的
長×4+寬×2.
因此，240+258是原長方形的
長×6+寬×6.
原長方形的長與寬之和是
(240+258)÷6=83(釐米).
原長方形的長與寬之差是
(258-240)÷2=9(釐米).
因此，原長方形的長與寬是
長：(83+9)÷2=46(釐米).
寬：(83-9)÷2=37(釐米).
答：原長方形的長是46釐米、寬是37釐米
二、倍數問題
當知道了兩個數的和或者差，又知道這兩個數之間的倍數關係，就能立即求出這兩個數.小學算術中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個基礎性的例子.
例8有兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個.那麼從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數是第一堆的3倍.
解：兩堆棋子共有87+69=156(個).
為了使第二堆棋子數是第一堆的3倍，就要把156個棋子分成1+3=4(份)，即每份有棋子
156÷(1+3)=39(個).
第一堆應留下棋子39個，其餘棋子都應拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數是
87-39=48(個).
答：應從第一堆拿48個棋子到第二堆去.
例9有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書後，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書?
解：我們畫出下列示意圖：
我們把第一層(拿走38本後)餘下的書算作1“份”，那麼第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即
173-38-6=129(本)
恰好是3份，每一份是
129÷3=43(本).
因此，第二層的書共有
43×2+6=92(本).
答：書架的第二層有92本書.
說明：我們先設立“1份”，使計算有了很方便的計算單位.這是解應用題常用的方法，特別對倍數問題極為有效.把份數表示在示意圖上，更是一目瞭然.
例10某小學有學生975人.全校男生人數是六年級學生人數的4倍少23人，全校女生人數是六年級學生人數的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人?
解：設六年級學生人數是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人數=141×4-23=541(人).
女生人數=975-541=434(人).
答：有男生541人、女生434人.
例9與例10是一個型別的問題，但稍有差別.請讀者想一想，“差別”在哪裡?
70雙皮鞋.此時皮鞋數恰好是旅遊鞋數的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙?
解：為了計算方便，把原來旅遊鞋算作4份，售出1份，還有3份.那麼原有皮鞋增加70雙後將是3×2=6(份).400+70將是3+1+6=10(份).每份是
(400+70)÷10=47(雙).
原有旅遊鞋47×4=188(雙).
原有皮鞋47×6-70=212(雙).
答：原有旅遊鞋188雙，皮鞋212雙.
設整數的份數，使計算簡單方便.小學算術中小數、分數儘可能整數化，使思考、計算都較簡捷.因此，“儘可能整數化”將會貫穿在以後的章節中.
下面例子將是本節的主要內容──年齡問題.
年齡問題是小學算術中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數”這一條件.解年齡問題最關鍵的一點是：兩個人的年齡差總保持不變.
例12父親現年50歲，女兒現年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍?
解：父女相差36歲，這個差是不變的.幾年前還是相差36歲.當父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的(5-1)倍.
36÷(5-1)=9.
當時女兒是9歲，14-9=5，也就是5年前.
答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.
例13有大、小兩個水池，大水池裡已有水300立方米.小水池裡已有水70立方米.現在往兩個水池裡注入同樣多的水後，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個水池注入了多少立方米的水.
解：畫出下面示意圖：
我們把小水池注入水後的水量算作1份，大水池注入水後的水量就是3份.從圖上可以看出，因為注入兩個水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是
(300-70)÷2=115(立方米).
要注入的水量是
115-70=45(立方米)?
答：每個水池要注入45立方米的水.
例13與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當於年齡問題中的“幾年後”.
例14今年哥倆的歲數加起來是55歲.曾經有一年，哥哥的歲數與今年弟弟的歲數相同，那時哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的兩倍.哥哥今年幾歲?
解：當哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍時，我們設那時弟弟的歲數是1份，哥哥的'歲數是2份，那麼哥哥與弟弟的歲數之差是1份.兩人的歲數之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份.
題目又告訴我們，那時哥哥歲數，與今年弟弟的歲數相同，因此今年弟弟的歲數也是2份，而哥哥今年的歲數應是2+1=3(份).
今年，哥弟倆年齡之和是
3+2=5(份).
每份是55÷5=11(歲).
哥哥今年的歲數是11×3=33(歲).
答：哥哥今年33歲.
作為本節最後一個例子，我們將年齡問題進行一點變化.
例15父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.
問多少年後，父母年齡之和是兒子年齡的4倍?
解：現在父母年齡之和是
38+36=74.
現在兒子年齡的4倍是11×4=44.相差
74-44=30.
從4倍來考慮，以後每年長1×4=4，而父母年齡之和每年長1+1=2.
為追上相差的30，要
30÷(4-2)=15(年)?
答：15年後，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.
請讀者用例15的解題思路，解習題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.
請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣?各有什麼特點?
我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：
(14×5-50)÷(5-1)=5(年).
不過要注意14×5比50多，因此是5年前.
三、盈不足問題
在我國古代的算書中，《九章算術》是內容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現代的語言來敘述，就是下面的例題.
例16有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元;每人出7元，就少了4元。那麼有多少人?物價是多少?
解：“多3元”與“少4元”兩者相差
3+4=7(元).
每個人要多出8-7=1(元).
因此就知道，共有7÷1=7(人)，物價是
8×7-3=53(元).
答：共有7個人一起買，物價是53元.
上面的3+4可以說是兩個總數的相差數.而8-7是每份的相差數.計算公式是
總數相差數÷每份相差數=份數
這樣的問題在內容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請再看一些例子.
例17把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完;如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒?
解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3=30(粒)，分給其餘小朋友，每人就可以增加16-10=6(粒)，因此其餘小朋友有
10×3÷(16-10)=5(人).
再加上這3位小朋友，共有小朋友5+3=8(人).這袋糖有
10×(5+3)=80(粒).
解二：如果我們再增加16×3粒糖，每人都可以增加(1-10)粒，因此共有小朋友
16×3÷(16-10)=8(人)?
這袋糖有80粒.
答：這袋糖有80粒.
這裡，16×3是總差，(16-10)是每份差，8是份數.
例18有一個班的同學去划船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人;如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個班共有多少名同學?
解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現在有6個人無船坐;如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個人坐船.可以坐船的人數，兩者相差6+9=15(人).
這是由於每條船多坐(9-6)人產生的，因此共有船
(6+9)÷(9-6)=5(條)?
這個班的同學有6×5+6=36(人).
答：這個班有36人.
例19小明從家去學校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那麼小明的家到學校的路程有多遠?
解一：以小明從家出發到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學校的距離進行比較：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6(米);如果每分鐘走50米，就要少走50×3(米).請看如下示意圖：
因此我們可以求出，小明從家出發到上課這段時間是
(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分鐘).
家至學校距離是
800×(21-6)=1200(米)?
或50×(21+3)=1200(米).
答：小明家到學校的路程是1200米.
解二：以每分鐘80米走完家到學校這段路程所需時間，作為思考的出發點.
用每分鐘50米速度，就要多用6+3=9(分種).這9分鐘所走的50×9(米)，恰好補上前面少走的.因此每分鐘80米所需時間是
50×(6+3)÷(80-50)=15(分鐘)?
再看兩個稍複雜的例子.
例20一些桔子分給若干個人，每人5個還多餘10個桔子.如果人數增加到3倍還少5個人，那麼每人分2個桔子還缺少8個，問有桔子多少個?
解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉化這一條件.
假設還有10個桔子，10=2×5，就可以多有5個人，把“少5人”這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍人數，也相當於按原人數每人給2×3=6(個).
每人給5個與給6個，總數相差
10+10+8=28(個).
所以原有人數28÷(6-5)=28(人).
桔子總數是5×28+10=150(個).
答：有桔子150個.
例21有一些蘋果和梨.如果按每1個蘋果2個梨分堆，梨分完時還剩5個蘋果，如果按每3個蘋果5個梨分堆，蘋果分完了還剩5個梨.問蘋果和梨各多少?
解一：我們設想再有10個梨，與剩下5個蘋果一起，按“1個蘋果、2個梨”前一種分堆，都分完.以後一種“3個蘋果、5個梨”分堆來看，蘋果總數能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆併成一大堆，每堆有3個蘋果，2×3=6(個)梨.與後一種分堆比較：
每堆蘋果都是3個.而梨多1個(6-5=1).梨的總數相差
設想增加10個+剩下5個=15個.
(10+5)÷(6-5)=15.
就知有15個大堆，蘋果總數是
15×3=45(個).
梨的總數是(45-5)×2=80(個).
答：有蘋果45個、梨80個.
解二：用圖解法.
前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個來表示.
後一種分堆，只要添上3個蘋果，就可與剩的5個梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.
將上、下兩圖對照比較，就可看出，5+3=8(個)是下圖中“半份”，即1份是16.梨是5份，共有16×5=80(個).蘋果有16×2.5+5=45(個).