導數練習題及答案

導數練習題及答案

  導數是微積分的初步知識,是研究函式,解決實際問題的有力工具。以下是導數練習題及答案,歡迎閱讀。

  一、選擇題

  1.函式在某一點的導數是(  )

  A.在該點的函式值的增量與自變數的增量的比

  B.一個函式

  C.一個常數,不是變數

  D.函式在這一點到它附近一點之間的平均變化率

  [答案] C

  [解析] 由定義,f′(x0)是當Δx無限趨近於0時,ΔyΔx無限趨近的常數,故應選C.

  2.如果質點A按照規律s=3t2運動,則在t0=3時的瞬時速度為(  )

  A.6        B.18

  C.54        D.81

  [答案] B

  [解析] ∵s(t)=3t2,t0=3,

  ∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-332

  =18Δt+3(Δt)2∴ΔsΔt=18+3Δt.

  當Δt→0時,ΔsΔt→18,故應選B.

  3.y=x2在x=1處的導數為(  )

  A.2x           B.2

  C.2+Δx       D.1

  [答案] B

  [解析] ∵f(x)=x2,x=1,

  ∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2

  ∴ΔyΔx=2+Δx

  當Δx→0時,ΔyΔx→2

  ∴f′(1)=2,故應選B.

  4.一質點做直線運動,若它所經過的路程與時間的關係為s(t)=4t2-3(s(t)的單位:m,t的單位:s),則t=5時的`瞬時速度為(  )

  A.37        B.38

  C.39        D.40

  [答案] D

  [解析] ∵ΔsΔt=4(5+Δt)2-3-4×52+3Δt=40+4Δt,

  ∴s′(5)=limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 (40+4Δt)=40.故應選D.

  5.已知函式y=f(x),那麼下列說法錯誤的是(  )

  A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函式值的增量

  B.ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函式在x0到x0+Δx之間的平均變化率

  C.f(x)在x0處的導數記為y′

  D.f(x)在x0處的導數記為f′(x0)

  [答案] C

  [解析] 由導數的定義可知C錯誤.故應選C.

  6.函式f(x)在x=x0處的導數可表示為y′|x=x0,即(  )

  A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)

  B.f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]

  C.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)Δx

  D.f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

  [答案] D

  [解析] 由導數的定義知D正確.故應選D.

  7.函式y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數)在x=2時的瞬時變化率等於(  )

  A.4a        B.2a+b

  C.b        D.4a+b

  [答案] D

  [解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)2+b(2+Δx)+c-4a-2b-cΔx

  =4a+b+aΔx,

  ∴y′|x=2=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (4a+b+aΔx)=4a+b.故應選D.

  8.如果一個函式的瞬時變化率處處為0,則這個函式的圖象是(  )

  A.圓        B.拋物線

  C.橢圓       D.直線

  [答案] D

  [解析] 當f(x)=b時,f′(x)=0,所以f(x)的圖象為一條直線,故應選D.

  9.一物體作直線運動,其位移s與時間t的關係是s=3t-t2,則物體的初速度為(  )

  A.0        B.3

  C.-2       D.3-2t

  [答案] B

  [解析] ∵ΔsΔt=3(0+Δt)-(0+Δt)2Δt=3-Δt,

  ∴s′(0)=limΔt→0 ΔsΔt=3.故應選B.

  10.設f(x)=1x,則limx→a f(x)-f(a)x-a等於(  )

  A.-1a       B.2a

  C.-1a2       D.1a2

  [答案] C

  [解析] limx→a f(x)-f(a)x-a=limx→a 1x-1ax-a

  =limx→a a-x(x-a)xa=-limx→a 1ax=-1a2.

  二、填空題

  11.已知函式y=f(x)在x=x0處的導數為11,則

  limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=________;

  limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

  [答案] -11,-112

  [解析] limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)Δx

  =-limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=-f′(x0)=-11;

  limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

  =-12f′(x0)=-112.

  12.函式y=x+1x在x=1處的導數是________.

  [答案] 0

  [解析] ∵Δy=1+Δx+11+Δx-1+11

  =Δx-1+1Δx+1=(Δx)2Δx+1,

  ∴ΔyΔx=ΔxΔx+1.∴y′|x=1=limΔx→0 ΔxΔx+1=0.

  13.已知函式f(x)=ax+4,若f′(2)=2,則a等於______.

  [答案] 2

  [解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)+4-2a-4Δx=a,

  ∴f′(1)=limΔx→0 ΔyΔx=a.∴a=2.

  14.已知f′(x0)=limx→x0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f′(3)=-2,則limx→3 2x-3f(x)x-3的值是________.

  [答案] 8

  [解析] limx→3 2x-3f(x)x-3=limx→3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

  =limx→3 2x-3f(3)x-3+limx→3 3(f(3)-f(x))x-3.

  由於f(3)=2,上式可化為

  limx→3 2(x-3)x-3-3limx→3 f(x)-f(3)x-3=2-3×(-2)=8.

  三、解答題

  15.設f(x)=x2,求f′(x0),f′(-1),f′(2).

  [解析] 由導數定義有f′(x0)

  =limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

  =limΔx→0 (x0+Δx)2-x20Δx=limΔx→0 Δx(2x0+Δx)Δx=2x0,

  16.槍彈在槍筒中運動可以看做勻加速運動,如果它的加速度是5.0×105m/s2,槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10-3s,求槍彈射出槍口時的瞬時速度.

  [解析] 位移公式為s=12at2

  ∵Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2

  ∴ΔsΔt=at0+12aΔt,

  ∴limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 at0+12aΔt=at0,

  已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,

  ∴at0=800m/s.

  所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.

  17.在曲線y=f(x)=x2+3的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1+Δx,4+Δy),求(1)ΔyΔx (2)f′(1).

  [解析] (1)ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx

  =(1+Δx)2+3-12-3Δx=2+Δx.

  (2)f′(1)=limΔx→0 f(1+Δx)-f(1)Δx

  =limΔx→0 (2+Δx)=2.

  18.函式f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數?若有,求出來,若沒有,說明理由.

  [解析] f(x)=x+x2  (x≥0)-x-x2 (x<0)

  Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx)

  =Δx+(Δx)2  (Δx>0)-Δx-(Δx)2 (Δx<0)

  ∴limx→0+ ΔyΔx=limΔx→0+ (1+Δx)=1,

  limΔx→0- ΔyΔx=limΔx→0- (-1-Δx)=-1,

  ∵limΔx→0- ΔyΔx≠limΔx→0+ ΔyΔx,∴Δx→0時,ΔyΔx無極限.

  ∴函式f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數,即不可導.(x→0+表示x從大於0的一邊無限趨近於0,即x>0且x趨近於0)

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