《邏輯學十五講》讀書筆記

　　本講主要討論的是謂詞邏輯的最基本內容，它分為四個部分來講解。一是個體詞、量詞、謂詞和公式，二是自然語言中量化命題的符號化，三是模型和賦值普遍有效式，四是非普遍有效性的解釋方法。

　　謂詞邏輯與詞項邏輯有些相似，它也要將一個簡單命題拆分成各個部分，不同的是它將命題拆分成個體詞、謂詞、量詞和聯結詞而不是像詞項邏輯一樣拆分成主項謂項等。個體詞又包括個體變項和個體常項。變項是某個範圍內不確定的項，常項同理就是某個範圍內確定的項。量詞我們高中接觸過，一般指全稱量詞和存在量詞兩種，量詞也有一定的管轄範圍，稱為轄域。如何尋找它的轄域也簡單，如果量詞後無括號，則量詞後最短的公式就是它的轄域，如果量詞後有括號，則處於該括號內的公式構成該量詞的轄域。作者認為有必要區分一個公式中所出現的變項和一個變項在一個公式中的出現，一個變項的某一次出現在一個量詞中稱為“約束出現”，否則叫做“自由出現”，一個個體變項可以既是約束變項又是自由變項。一個至少含有一個自由變項的公式叫開公式，不含任何自由變項的公式叫閉公式。

　　從書中以上講解，我們也能知道，自然語言任何複雜度的性質命題和關係命題可以符號化，變為謂詞邏輯中的公式。首先談直言命題的符號化，謂詞邏輯把直言命題形式上的主詞和謂詞都變為謂詞，然後再尋找邏輯主詞。存在六種直言命題的符號化，定域是全域。全稱的直言命題應符號化成為一個全稱的蘊含式，特稱的直言命題應該符號化為存在合取式，單稱的直言命題應符號化為原子公式。當定域為某個特定論域，則謂詞邏輯公式要簡單許多，但一般不做說明時我們都視為全域。關係命題時斷定物件之間有某種關係的命題，它至少包含兩個要素，個體詞和關係謂詞，個體詞就是兩個關係物件，有些關係命題帶有量詞，量詞就是指某些關係物件的範圍和數量，比如“有些”和“所有”。關係推理也可以符號化，把一個推理符號化就是分別把推理的前提和結論符號化，所謂關係推理就是以命題關係作前提和結論的推理，謂詞邏輯的符號表達能力是足夠強，不僅能夠表達所有的性質命題，而且能夠表達所有的關係命題，再以性質命題和關係命題結合推理。前面的謂詞邏輯的公式和符號，模型和賦值就是對符號和公式進行解釋。非普遍有效式的解釋方法，去證明一個公式具有普遍性是非常難的，相反去證明它是不普遍的就輕鬆很多，因為你只要找出一個例子它不滿足即可證明，這與謂詞邏輯的解釋相關，稱解釋方法，也稱模型方法。實際上是要求該公式找一個反模型，再對比真假。

　　在第六講中，提到了量化命題，-是謂詞邏輯的基本內容，即把命題或推理分析為個體詞、謂詞、量詞和聯結詞等部分，以便能夠刻畫關係命題及其推理，以及量詞裡面含聯結詞結構的命題及其推理。個體詞包括個體變項和個體常項，個體變項表示某個特定的範圍內的某個不確定的物件，個體常項表示某個特定範圍內的某個確定的物件，這裡的某個特地的範圍是“論域”。謂詞經過解釋之後，表示論域中個體的性質和個體之間的關係，一元謂詞符號是一個謂詞符號後跟有一個個體詞，如果跟有兩個個體詞，就是一個二元謂詞符號，以此類推，有n個個體詞的謂詞符號，就是n元謂詞符號。

　　量詞包括全稱量詞和存在量詞，加上了前面所說的原子公式，就能成立本講的題目提及的“量化公式”，全稱量詞是包括全部的，對於所有，需要全部都成立，那麼這個命題才是正確的;而存在量詞是一部分的，某一些，只需要有一個符合符合條件即可。量詞有其管轄的範圍，叫做“轄域”。在實際生活中，為了方便且通俗易懂，可以將複雜的文字轉化為符號，一個簡單的符號可以代表多個文字組成才能表達的意思，可以說他的發明是很實用了。直言命題的符號化的成立也是需要條件的，包括以下幾點：全稱的直言命題的符號化應該是一個全稱蘊含式，特稱的'直言命題的符號化是存在直取式，單稱的直言命題應該符號化為原子公式，在我看來，就是說全稱命題應該轉化成全集，特稱命題轉化為特殊的集合，單稱命題轉化為一個，從其表面的意思來看，就是物件之間具有某種關係的命題，包括個體詞和關係謂詞。關係推理的符號化，即將推理的前提和結論符號化，雖說這樣子複雜了一點，但是著實增強了學者的邏輯推理能力、語言文字表達的轉化能力以及抽象的邏輯能力。二元關係是指兩個物件之間的邏輯性質，即關係的自返性、對稱性和傳遞性。

　　謂詞邏輯的意義和真假是透過模型和賦值來實現的，說實話讀到這裡，我是看不怎麼懂的，一大堆的字母符號，和看起來差不多的文字，著實讓我頭暈。一個模型包括以下因素：個體域D、個體常項在個體域D中的值以及謂詞符號在個體域中D的解釋。當謂詞邏輯的一個閉公式只含有這些成分，當給定模型後，閉公式的意義就能確定。當一個公式含有自由變項，即本身是開公式時，他的意義和真假就尚且不能確定。謂詞邏輯的普遍有效式有一般到個別的推理、個別到存在的推理、矛盾律、排中律在謂詞邏輯的表現形式，全稱量詞和存在量詞的相互定義，全稱量詞對於蘊涵和合取的分配律，存在量詞對析取的分配律。不得不說，邏輯學真的是博大精深，不求甚解是不能深知的。