平行線的定義是什麼

　　幾何中，在同一平面內，不相交***也不重合***的兩條直線叫做平行線***parallel lines***。?以下是小編分享給大家的關於平行線的定義，一起來看看吧!

　　平行線的定義

　　在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

　　平行線一定要在同一平面內定義，不適用於立體幾何，比如異面直線，不相交，也不平行。

　　歐氏幾何中平行線的性質和判定

　　1.經過直線外一點，能且只能畫一條直線與已知直線平行。

　　2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。

　　3.兩條直線平行於第三條直線時，兩條直線平行。

　　4.平行線分三角形對應邊成比例。

　　這幾條命題依賴於歐氏幾何的第五公設***平行公理***，所以在非歐幾何中不成立。

　　1.在同一平面內，垂直於同一直線的兩條直線互相平行。

　　2.同位角相等，兩直線平行。

　　3.內錯角相等，兩直線平行。

　　4.同旁內角互補，兩直線平行。

　　在歐幾里得幾何原本的體系中，這幾條判定法則不依賴於第五公設***平行公理***，所以在非歐幾何中也成立。

　　平行公理

　　在歐幾里得的幾何原本中，第五公設***又稱為平行公理***是關於平行線的性質。它的陳述是：

　　“如果兩條直線被第三條直線所截，一側的同旁內角之和大於兩個直角，那麼最初的兩條直線相交於這對同旁內角的另一側。”

　　這條公理的陳述過於冗長。在1795年，蘇格蘭數學家Playfair提出了以下以下公理作為平行公理的代替，現在被人們廣泛的使用。

　　Playfair's Postulate:在同一平面內，過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線互相平行。

　　平行公理的推論：***平行線的傳遞性*** 如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。可以簡稱為：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

　　非歐幾何

　　參見：非歐幾何

　　由於平行公理陳述冗長，並且不像歐氏幾何中的其他公理那麼顯而易見，人們覺得它更像一個定理，可以從其他公理出發來證明。經歷了許多錯誤的證明，數學家們意識到這確實應作為一條公理。

　　更重要的是，在19世紀，數學家高斯，波利亞，羅巴切夫斯基等發現，如果以平行公理的否定形式來代替平行公理，那麼可以演繹出一套和歐氏幾何完全不同，卻沒有內在矛盾的公理體系。這個大膽的觀點最初很難被人接受，但在邏輯上卻沒有任何問題。這個觀點成為人們對空間和幾何的認識的重大轉折點，包括愛因斯坦的廣義相對論，本質上都受到了這種觀點的影響。

　　平行線定義的拓展

　　在高等數學中的平行線的定義是相交於無限遠的兩條直線為平行線，因為理論上是沒有絕對的平行的。

　　在歐氏幾何中，在兩條平行線中做一條直線AB，以直線AB為半徑以逆時針方向做圓，然後以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓，從兩個圓的交點做垂線CD垂直於直線AB，若CD與AB的角的角度是90度，則說明兩條平行線不會相交。

　　但歐幾里得不敢思考當兩條平行線無限長時的情況.....

　　於是包括羅素、黎曼在內的科學家假設當兩條平行線無限長時，他們會在無窮遠處相交。***例如：在地球的球面上，就會發現，相互垂直於赤道的經線會相交於北極點和南極點。***後來，非歐幾何和黎曼空間就誕生了，該成果給了愛因斯坦很大的啟發.

　　平行線公理就是區分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區別。