維多利亞

[拼音]：erci qumian

[英文]：surface of second degree

在歐氏三維空間裡座標x，y，z之間的二次方程

（係數為實數，且二次項係數不全為零）所表示的曲面。一般說來，直線與二次曲面相交於兩個點；如果相交於三個點以上，那麼此直線全部在曲面上。這時稱此直線為曲面的母線。如果二次曲面被平行平面所截，其截線是二次曲線。

二次曲面的方程可以寫為

這裡

。曲面F(x，y，z)=0上適合

的點(x0，y0，z0)稱為奇異點或奇點，其中，

其他點稱為尋常點。過曲面的尋常點所作的切線構成一個平面，稱為該點的切面。通過該點且與切面垂直的直線稱為法線。F(x，y，z)=0於尋常點 (x0，y0，z0)處的切面與法線方程分別是

與

分類

二次曲面上不在同一母線上任何兩點所聯的線段稱為弦，對於二次曲面F(x，y，z)=0，如果一條直線的方向餘弦l，m，n，適合

則此直線所對應的方向稱為曲面的奇異方向，否則稱為尋常方向。二次曲面的一組具有尋常方向的平行弦中點在同一平面上。這個平面稱為該方向的徑平面。此方向稱為徑平面的共軛方向。F(x，y，z)=0的以方向餘弦l，m，n為共軛方向的徑平面方程為

。

關於徑平面，當方向餘弦l，m，n變動時，無數多的徑平面形成一個平面族，方程是l(αx+hy+gz+u)+m(hx+by+ƒz+υ)+n(gx+ƒy+сz+w)=0。方程組

的解稱為一般二次曲面F(x，y，z)=0的中心。如果中心位於二次曲面上，則稱為頂點。中心的幾何意義是：二次曲面的通過中心的任何弦都以中心為中點。

二次曲面有如x2+y2+z2+1=0這樣的空集情況，對於非空集情況，如果選取適當的直角座標系，則二次曲面方程(1)可以化為以下形式之一：

， (2)

， (3)

， (4)

， (5)

， (6)

， (7)

， (8)

， (9)

， (10)

， (11)

， (12)

。 (13)

方程形如(2)、(3)、(4)、(5)、(6)的曲面，分別稱為橢圓面，單葉雙曲面，雙葉雙曲面，橢圓柱面或橢圓柱，雙曲柱面或雙曲柱；若方程為(7)的情況，則曲面成為兩個平行平面。對於(2)、(3)、(4)、(5)當α=b時，這些曲面是以z軸為旋轉軸的旋轉曲面，把它們分別稱為旋轉橢圓面，旋轉單葉雙曲面，旋轉雙葉雙曲面，圓柱面或圓柱。對於旋轉橢圓面，當α=b=с時，曲面成為以α為半徑的球面。在方程(8)，(9)，(10)的情況，曲面分別稱為橢圓拋物面，雙曲拋物面，拋物柱面或拋物柱；對於(8)，當α=b時，曲面成為以z軸為旋轉軸的旋轉橢圓拋物面（見彩圖）。

方程(11)的曲面是二階錐面，當A、B、C異號時，可以認為A>0，B>0，C=-1，曲面稱為實錐面，且當A=B時，曲面稱為直圓錐面，它是以z軸為旋轉軸的旋轉曲面；在方程(11)當A、B、C同號時，曲面變成點O，也稱為虛錐面；在方程(12)的情況，曲面成為一對相交平面，在方程(13)的情況，曲面成為一對重合平面，對於雙曲面(3)、(4)，二次錐面

， (3′)

。 (4′)

分別稱為(3)、(4)的漸近錐面。 (2)、(3)、…、(13)稱為這些曲面方程的標準型(標準型的α，b，с與(1)中的α，b，с不同)。此外還有二次曲面的空集情況與另一個特殊情況，它們的標準方程是：

， (14)

， (15)

， (16)

， (17)

(14)、(15)所表示的曲面分別稱為虛橢圓面、虛橢圓柱面；對於(16)，曲面成為一對相交虛平面（交線為實直線）；對於(17)，曲面成為一對平行虛平面。因此共有17種情況。這17種情況，可以根據方程組(*)的係數矩陣

與增廣矩陣

的秩數 rankM 與 rank

分類，由於rank M≤3，

≤3，rankM≤rank

，故知僅有五種情況(表1

)。

對於曲面(2)，(3)，(4)來說，平面x=0，y=0，z=0;以及對於曲面(8)，(9)來說，平面x=0，y=0，分別稱為曲面的主平面，主平面的交線稱為主軸。對於旋轉曲面來說，主平面及主軸的位置是不定的。標準方程中的α，b，с稱為半主軸的長度或半主軸。

在單葉雙曲面或雙曲拋物面上分別存在兩族母線，同族的二母線不相交（也不平行），不同族的二母線必相交，即對於(3)，其上有以λ及μ為引數的母線族

對於(9)，其上有母線族

能用直線生成的曲面稱為直紋曲面，二次曲面中只有單葉雙曲面和雙曲拋物面是具有兩族母線的直紋曲面。二次柱面和二次錐面是具有一族母線的直紋曲面。而旋轉單葉雙曲面、圓柱面和直圓錐面既是直紋曲面又是旋轉曲面。

二次曲面的不變數

可以用二次曲面方程(1)的係數的一些函式來描述二次曲面。經過座標變換後（見座標系），方程的係數有所改變，但這些函式的值不變，這些函式稱為二次曲面(1)的不變數。用到的不變數有

，

其中I1、I2、I3、I4 是座標軸的平移與旋轉的不變數；K1、K2是座標軸的旋轉不變數，且當矩陣

的秩是1時，K1是平移不變數；

的秩是2時，K2是平移不變數。根據這六個不變數，就可以判定二次曲面(1)的形狀(表2

)。因此稱這六個不變數組成二次曲面的不變數完全系統。I1、I2、I3、I4 稱為基本不變數，K1、K2稱為條件不變數。

又稱I4≠0的二次曲面為常態二次曲面， I4=0的二次曲面為變態二次曲面。單葉雙曲面和雙曲拋物面是二次常態直紋曲面，而錐面、柱面和平面是二次變態直紋曲面。具有惟一中心的二次曲面成為變態的充要條件是它有惟一奇異點。

表2中“型別”一欄說明二次曲面中心的存在情況。第一種情況(I3≠0)，二次曲面有唯一中心，稱為中心型二次曲面，其他情況的二次曲面或多中心或無中心，統稱為非中心型二次曲面。

利用不變數雖然確定了二次曲面的形狀，但不能確定曲面在空間裡的位置。通過座標變換可以確定二次曲面的位置。關於二次曲面的標準型方程，可以通過座標變換得到，也可以通過不變數的完全系統而得到。

圓形截線

在二次曲面裡，橢圓面、雙曲面、錐面、橢圓拋物面以及橢圓柱面都具有圓形截線。如果某一個平面截二次曲面於一個圓周，則所有平行於它的平面也截該曲面於一個圓周。所以一般來說，二次曲面由兩族平行平面可以截出圓截線。與其平行的切平面的切點是二次曲面的臍點（或圓點）。

二級曲面與二階曲面

平面

的係數u1，u2，u3，u4稱為該平面的座標。用平面座標u1，u2，u3，u4 的二次齊次方程所表示的曲面稱為二級曲面，而且它可以分解為圓錐曲線或兩個點。一般來說，通過任何直線有兩個平面屬於一個二級曲面。上述作為點集合的二次曲面也稱為二階曲面。關於二級曲面有與二階曲面類似的理論。

二次超曲面

在歐氏n維空間裡，座標（x1，x2，…，xn）之間的二次方程

，(18)

式中αik，bi，с都是實數，且不失一般性，可設矩陣A=(αik)為對稱矩陣;A為非零矩陣所表示的點集稱為n維歐氏空間裡的二次超曲面，或簡稱二次曲面。當n=2時，它成為二次曲線。當 n=3時成為二次曲面。上述關於二次曲面的分類等理論，可以推廣到n維的情況，即可以根據n維歐氏空間的座標變換，將方程(18)化為標準型，由於n+1階方陣