離子交換樹脂

[拼音]：lianxutong jiashe

[英文]：continuum hypothesis

G.（F.P.）康托爾在1878年提出的關於連續統的勢（即基數）的一個假設。通常稱實數集（直線上點的集合）為連續統，而把連續統的勢記作C。遠在亞里士多德時期，即已認為沒有一個無窮集比另一個無窮集大，這一觀點在歷史上延續兩千年之久，迄至1847年G.（F.P.）康托爾證明了:任一集合A的冪集P(A)的勢都大於A的勢，才指明上述觀點是錯誤的。康托爾還同時證明了：連續統的勢與自然數集之冪集的勢是相等的。所謂連續統問題是指：是否存在其勢大於自然數集的勢而又小於實數集的勢的集合。G.康托爾猜測：實數集的子集除了有窮子集，可數無窮子集以及與實數集本身等勢的子集外，再沒有別樣的子集。也就是說，康托爾猜測，實數集的一切無窮子集或者與自然數集等勢或者與連續統等勢。康托爾的這個猜測就稱連續統假設。在有選擇公理的條件下，每一個無窮集的勢都是某個阿列夫，自然數集的勢是堗0，連續統的勢

。因此，連續統假設可以等價地表為

，

並簡記為CH。

把上式等式推廣到任意的勢，即得所謂廣義連續統假設：

（1）對任一序數

；或者，

（2）對任二無窮勢k，λ，若k≤λ≤2H，則

λ=k 或者 λ=2H，

（1）與②是等價的，均簡記為GCH。

在數學研究的許多領域中，CH是不可或缺的，例如，在討論實數子集的測度性質和拓撲性質時，其中的一個基本問題“與R不等勢的子集是否測度為零?是否屬於第一範疇（或第一綱）？”在沒有CH的情況下，不能回答。所以，在從事這一方面的研究時，常常要附加CH作為前提。實際上CH等價於下述命題K和l的合取。

K：每一X吇R，｜X｜<

，X是第一範疇集。

l：存在一l吇R，｜l｜=

且l和每一無處稠密集的交都是至多可數的。

CH 也等價於命題M和S的合取。

M：每一勢比

小的實數子集測度為零。

S：存在一S吇R，|S|=

且S和每一零測度集的交都是至多可數的。

此外，以下的每一命題都等價於CH。

P

1: 實平面可以分成兩個集合X，Y，X 和每一水平線只有可數交，Y和每一垂直線只有可數交。

P

2：實平面是可數多條曲線的並。

關於實數集上的實函式論，在假定了CH的前提下，就有

C

1：存在一個從R到 R的函式ƒ，它在任一不可數的

P

吇R上都不連續；

C

2：存在一個ƒ:R→R，和一個

P

吇R，｜

P

｜=

，ƒ在

P

上連續，但在

P

的任一不可數子集上，ƒ都不一致連續。

儘管CH在數學研究的許多領域中作用顯著，但在純粹的集合論研究中卻作用不大。例如對於勢的冪運算的簡化， CH就難以為力。所以人們才又進一步考慮了GCH，利用GCH可以將勢的冪運算簡化如下：

連續統問題在D.希爾伯特1900年提出的《數學問題》中位居第一（見希爾伯特數學問題）。包括希爾伯特在內的許多名家都曾致力於這一著名難題的研究，雖歷經艱苦奮鬥，但在相當長的一段時期內，沒有進展。因而促使人們懷疑這一問題在數學的現狀下是無法解決的。

直到1938年，K.哥德爾證得了GCH（因而CH）相對於ZF系統的協調性，即：若ZF系統是協調的，則在ZFC系統中，GCH的否定是不可證明的。1963年，P.J.科恩又證明了CH（因而GCH）相對於ZF系統的獨立性，即：若ZF系統是協調的，則在ZFC系統中，CH是不可證明的。綜上所述，即得：在ZF系統中，CH是不可判定的。（見集合論公理系統）

哥德爾和科恩的成果被譽為20世紀數學基礎研究中的兩個重大成就。科恩創立的力迫方法已在集合論中得到廣泛的應用。運用這一方法，人們已經證明了一大批數學命題的獨立性。

由於ZFC系統無法決定連續統問題，甚至附加直觀上可靠的大基數公理（例如可測基數存在公理）仍然無法推出CH，因而包括哥德爾在內的一些數學家認為CH不可信，想用一代新的公理來取代CH。在這一方面，由D.A.馬丁等人在1970年提出的馬丁公理是最佳的選擇，它與力迫法相輔相成，結合著發展，最後得到一條馬丁極大原理，它有著廣泛的應用，目前尚在進一步的研究中。

參考書目

Seirpinski，H yhothese Du Continu，2nd ed.，Chelsea， New York， 1956.