光萼苔屬

[拼音]：lanchesite fangcheng

[英文]：Lanchester’s equation

又稱蘭徹斯特戰鬥理論或戰鬥動態理論，是應用數學方法研究敵對雙方在戰鬥中的武器、兵力消滅過程的運籌學分支。1915年，英國工程師F.W.蘭徹斯特在《戰鬥中的飛機》一文中，首先提出用常微分方程組描述敵對雙方兵力消滅過程，定性地說明了集中兵力的原理。1945年，J.H.恩格爾撰文肯定了蘭徹斯特定律的實踐意義。他曾經根據在第二次世界大戰中美軍攻佔日軍防守的琉璜島之役的作戰資料，計算了各方的消滅率係數，且用這兩個係數結合美軍的兵力增補率構成一個特殊的蘭徹斯特方程。它的數值解相當準確地與該次作戰中的實際兵力變化程序相吻合。從此，這門理論得到不斷髮展。它主要研究兩類問題：一是作戰對抗過程的描述，即根據典型的對抗態勢和火力條件建立兵力消滅過程的微分方程組及其解法，藉以預測作戰程序和獲勝條件；二是戰術策略的優化，即尋找投入兵力、分配火力和支援保障行動等的最優策略序列。

蘭徹斯特方程

假設甲、乙兩方在 t時擁有的現存實力（或者比率，即現存的與初始的實力之比）分別為x、y，且在單位時間內被對方一個實力單位所消滅的實力單位分別為α、b，稱作消滅率。雙方實力單位不能同時被消滅，而且從已被消滅的實力單位向現存實力單位轉移火力的時間為零。於是，假設單位時間內火力對抗次數為G(t)，則雙方的實力變化可表述為：

初始條件為 x(0)=x0，y(0)=y0。這就是蘭徹斯特方程。在引入甲方對乙方的損失比E=α/b後，由

，立刻解得

。這個等式稱為蘭徹斯特平方律。顯然，x≥0，y=0表示甲方獲勝，且由平方律可知，甲方獲勝條件為：

。類似的，可寫出乙方獲勝條件。1940年，B.O.庫普曼求得上述微分方程的顯式表示式：

，

式中

；chτ，shτ是τ的雙曲函式。

推廣型蘭徹斯特方程

為適應其他形式的對抗態勢和火力條件，又發展了蘭徹斯特方程的幾種推廣型式(初始條件一般不變)。

含自然損失與兵力補充率的蘭徹斯特方程

它可表述為

式中 α、β 分別表示由於自然環境(包括敵方破壞的)條件引起甲、乙方每一實力單位的損失率，p，q分別表示各方實力的補充率。P.M.莫爾斯在《運籌學方法》一書中給出了常係數時的方程的解。

大威力消滅率的蘭徹斯特方程

現代武器不但殺傷力大，而且它給對方造成的實力遞減率既和投入的武器數量成正比，也和對方現存實力成正比（如化學武器）。這種方程可表述為

這裡x、y是現存實力比率，從而初始條件為x(0)=y(0)=1，其解為

如果在方程的右端增添自然損失、補充實力和消滅率諸項，就得到了更一般的推廣。

這三類方程都是確定型的，或者說是平均性質的。

概率型蘭徹斯特方程

它是為分析作戰程序的狀態概率而建立的一類方程。一般形式是：假設甲方實力為x，乙方實力為y時，甲方獲勝的概率為p(x，y)，從而，乙方獲勝的概率為1-p(x，y);又實力單位損失屬於甲、乙方的概率分別為α(x，y)，b(x，y)，且雙方不可能同時損失，即α(x，y)+b(x，y)=1。於是，可建立遞推式

p(x，y)=α(x，y)p(x-1，y)+b(x，y)p(x，y-1)，

顯然，x>0時，p(x，0)=1;y>0時，p(0，y)=0。特別地，若令α(x，y)=α，b(x，y)=b，以 pt(x，y)表示雙方損失之和為t(t≥0)時，甲方損失x，乙方損失y=t-x的損失狀態概率，則在用pt(x，y)代替p(x，y)後，對於x≤x0，y≤y0，上面的遞推式依然成立，其中x0、y0分別為雙方的初始實力。以上概率型方程經過均值關係的變換，可以推出確定型方程。

優化型蘭徹斯特方程

它是為選擇最優戰術決策提出的方程，比較典型的有火力分配問題。在最簡單的情況下，假設甲方擁有兩種實力，分別為y1、y2個單位，對乙方的消滅率各為b1、b2；乙方擁有實力單位x個，需要組成兩群按照φ、1-φ的比例分別對甲方的兩種y1、y2單位進行攻擊，消滅率各為α1、α2。問題是如何選擇分配率φ（它是時間序列），在雙方實力消滅過程滿足