高中數學集合知識總結

  集合語言是現代數學的基本語言,使用集合語言可以簡潔、準確地表達數學的一些相關內容.以下小編蒐集整合了高中數學集合知識,希望可以幫助大家更好的學習這些知識。

  如下:

  一、集合間的關係

  1.子集:如果集合A中所有元素都是集合B中的元素,則稱集合A為集合B的子集。

  2.真子集:如果集合A⊆B,但存在元素a∈B,且a不屬於A,則稱集合A是集合B的真子集。

  3.集合相等:集合A與集合B中元素相同那麼就說集合A與集合B相等。

  子集:一般地,對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們就說集合A包含於集合B,或集合B包含集合A,記作:A⊆B***或B⊇A***,讀作“A包含於B”***或“B包含A”***,這時我們說集合是集合的子集,更多集合關係的知識點見集合間的基本關係

  二、集合的運算

  1.並集

  並集:以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並***集***,記作A∪B***或B∪A***,讀作“A並B”***或“B並A”***,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

  2.交集

  交集: 以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交***集***,記作A∩B***或B∩A***,讀作“A交B”***或“B交A”***,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

  3.補集

  三、高中數學集合知識歸納:

  1.集合的有關概念。

  1***集合***集***:某些指定的物件集在一起就成為一個集合***集***.其中每一個物件叫元素

  注意:①集合與集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

  ②集合中的元素具有確定性***a?A和a?A,二者必居其一***、互異性***若a?A,b?A,則a≠b***和無序性***{a,b}與{b,a}表示同一個集合***。

  ③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的物件都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

  2***集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法

  3***集合的分類:有限集,無限集,空集。

  4***常用數集:N,Z,Q,R,N*

  2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。

  1***子集:若對x∈A都有x∈B,則A B***或A B***;

  2***真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;記為A B***或 ,且 ***

  3***交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}

  4***並集:A∪B={x| x∈A或x∈B}

  5***補集:CUA={x| x A但x∈U}

  注意:①? A,若A≠?,則? A ;

  ②若 , ,則 ;

  ③若 且 ,則A=B***等集***

  3.弄清集合與元素、集合與集合的關係,掌握有關的術語和符號,特別要注意以下的符號:***1*** 與 、?的區別;***2*** 與 的區別;***3*** 與 的區別。

  4.有關子集的幾個等價關係

  ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

  ④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

  5.交、並集運算的性質

  ①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;

  ③Cu ***A∪B***= CuA∩CuB,Cu ***A∩B***= CuA∪CuB;

  6.有限子集的個數:設集合A的元素個數是n,則A有2n個子集,2n-1個非空子集,2n-2個非空真子集。

  四、數學集合例題講解:

  【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},則M,N,P滿足關係

  A*** M=N P B*** M N=P C*** M N P D*** N P M

  分析一:從判斷元素的共性與區別入手。

  解答一:對於集合M:{x|x= ,m∈Z};對於集合N:{x|x= ,n∈Z}

  對於集合P:{x|x= ,p∈Z},由於3***n-1***+1和3p+1都表示被3除餘1的數,而6m+1表示被6除餘1的數,所以M N=P,故選B。

  分析二:簡單列舉集合中的元素。

  解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},這時不要急於判斷三個集合間的關係,應分析各集合中不同的元素。

  = ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,

  = P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以選B。

  點評:由於思路二隻是停留在最初的歸納假設,沒有從理論上解決問題,因此提倡思路一,但思路二易人手。

  變式:設集合 , ,則*** B ***

  A.M=N B.M N C.N M D.

  解:

  當 時,2k+1是奇數,k+2是整數,選B

  【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},則A*B的子集個數為

  A***1 B***2 C***3 D***4

  分析:確定集合A*B子集的個數,首先要確定元素的個數,然後再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n個來求解。

  解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有兩個元素,故A*B的子集共有22個。選D。

  變式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,則6?a∈M,那麼集合M的個數為

  A***5個 B***6個 C***7個 D***8個

  變式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

  解:由已知,集合中必須含有元素a,b.

  集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

  評析 本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數,所以共有 個 .

  【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

  解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

  ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

  ∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1,

  ∴ ∴

  變式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求實數b,c,m的值.

  解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

  ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

  又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-***2+2***=4,c=2×2=4

  ∴b=-4,c=4,m=-5

  【例4】已知集合A={x|***x-1******x+1******x+2***>0},集合B滿足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1

  分析:先化簡集合A,然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B,哪些元素不屬於B。

  解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而***-∞,-2***∩B=ф。

  綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

  變式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。***答案:a=-2,b=0***

  點評:在解有關不等式解集一類集合問題,應注意用數形結合的方法,作出數軸來解之。

  變式2:設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有滿足條件的a的集合。

  解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

  ①當 時,ax-1=0無解,∴a=0 ②

  綜①②得:所求集合為{-1,0, }

  【例5】已知集合 ,函式y=log2***ax2-2x+2***的定義域為Q,若P∩Q≠Φ,求實數a的取值範圍。

  分析:先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用引數分離求解。

  解答:***1***若 , 在 內有有解

  令 當 時,

  所以a>-4,所以a的取值範圍是

  變式:若關於x的方程 有實根,求實數a的取值範圍。

  解答:

  點評:解決含引數問題的題目,一般要進行分類討論,但並不是所有的問題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。