高中數學基礎知識點歸納
第一部分 集合
***1***含n個元素的集合的子集數為2^n,真子集數為2^n-1;非空真子集的數為2^n-2;
***2*** 注意：討論的時候不要遺忘了 的情況。
***3***
第二部分 函式與導數
1.對映：注意 ①第一個集合中的元素必須有象;②一對一，或多對一。
2.函式值域的求法：①分析法 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函式單調性 ;
⑤換元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用數形結合或幾何意義***斜率、距離、絕對值的意義等***;⑧利用函式有界性*** 、 、 等***;⑨導數法
3.複合函式的有關問題
***1***複合函式定義域求法：
① 若f***x***的定義域為〔a，b〕,則複合函式f[g***x***]的定義域由不等式a≤g***x***≤b解出② 若f[g***x***]的定義域為[a,b],求 f***x***的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g***x***的值域。
***2***複合函式單調性的判定：
①首先將原函式 分解為基本函式：內函式 與外函式 ;
②分別研究內、外函式在各自定義域內的單調性;
③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函式在其定義域內的單調性。
注意：外函式 的定義域是內函式 的值域。
4.分段函式：值域***最值***、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
5.函式的奇偶性
⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件;
⑵ 是奇函式 ;
⑶ 是偶函式 ;
⑷奇函式 在原點有定義，則 ;
⑸在關於原點對稱的單調區間內：奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性;
***6***若所給函式的解析式較為複雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性;
6.函式的單調性
⑴單調性的定義：
① 在區間 上是增函式 當 時有 ;
② 在區間 上是減函式 當 時有 ;
⑵單調性的判定
1 定義法：
注意：一般要將式子 化為幾個因式作積或作商的形式，以利於判斷符號;
②導數法***見導數部分***;
③複合函式法***見2 ***2******;
④影象法。
注：證明單調性主要用定義法和導數法。
7.函式的週期性
***1***週期性的定義：
對定義域內的任意 ，若有 ***其中 為非零常數***，則稱函式 為周期函式， 為它的一個週期。
所有正週期中最小的稱為函式的最小正週期。如沒有特別說明，遇到的週期都指最小正週期。
***2***三角函式的週期
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
⑶函數週期的判定
①定義法***試值*** ②影象法 ③公式法***利用***2***中結論***
⑷與週期有關的結論
① 或 的週期為 ;
② 的圖象關於點 中心對稱 週期為2 ;
③ 的圖象關於直線 軸對稱 週期為2 ;
④ 的圖象關於點 中心對稱，直線 軸對稱 週期為4 ;
8.基本初等函式的影象與性質
⑴冪函式： *** ;⑵指數函式： ;
⑶對數函式: ;⑷正弦函式: ;
⑸餘弦函式： ;***6***正切函式： ;⑺一元二次函式： ;
⑻其它常用函式：
1 正比例函式： ;②反比例函式： ;特別的
2 函式 ;
9.二次函式：
⑴解析式：
①一般式： ;②頂點式： ， 為頂點;
③零點式： 。
⑵二次函式問題解決需考慮的因素：
①開口方向;②對稱軸;③端點值;④與座標軸交點;⑤判別式;⑥兩根符號。
⑶二次函式問題解決方法：①數形結合;②分類討論。
10.函式圖象：
⑴圖象作法 ：①描點法 ***特別注意三角函式的五點作圖***②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換：
1 平移變換：ⅰ ，2 ———“正左負右”
ⅱ ———“正上負下”;
3 伸縮變換：
ⅰ ， *** ———縱座標不變，橫座標伸長為原來的 倍;
ⅱ ， *** ———橫座標不變，縱座標伸長為原來的 倍;
4 對稱變換：ⅰ ;ⅱ ;
ⅲ ; ⅳ ;
5 翻轉變換：
ⅰ ———右不動，右向左翻*** 在 左側圖象去掉***;
ⅱ ———上不動，下向上翻***| |在 下面無圖象***;
11.函式圖象***曲線***對稱性的證明
***1***證明函式 影象的對稱性，即證明影象上任意點關於對稱中心***對稱軸***的對稱點仍在影象上;
***2***證明函式 與 圖象的對稱性，即證明 圖象上任意點關於對稱中心***對稱軸***的對稱點在 的圖象上，反之亦然;
注：
①曲線;
②曲線, y***=0;
③曲線C1：f***x,y***=0,關於y=x+a***或y=-x+a***的對稱曲線C2的方程為f***y-a,x+a***=0***或f***-y+a,-x+a***=0***;
④f***a+x***=f***b-x*** ***x∈R*** y=f***x***影象關於直線x= 對稱;
特別地：f***a+x***=f***a-x*** ***x∈R*** y=f***x***影象關於直線x=a對稱;
⑤函式y=f***x-a***與y=f***b-x***的影象關於直線x= 對稱;
12.函式零點的求法：
⑴直接法***求 的根***;⑵圖象法;⑶二分法.
13.導數
⑴導數定義：f***x***在點x0處的導數記作 ;
⑵常見函式的導數公式: ① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;
⑧ 。
⑶導數的四則運演算法則：
⑷***理科***複合函式的導數：
⑸導數的應用：
①利用導數求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過”該點的切線?
②利用導數判斷函式單調性：
ⅰ 是增函式;ⅱ 為減函式;
ⅲ 為常數;
③利用導數求極值：ⅰ求導數 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得極值。
④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值;ⅱ求區間端點值***如果有***;ⅲ得最值。
14.***理科***定積分
⑴定積分的定義：
⑵定積分的性質：① *** 常數***;
② ;
③ ***其中 。
⑶微積分基本定理***牛頓—萊布尼茲公式***：
⑷定積分的應用：①求曲邊梯形的面積： ;
3 求變速直線運動的路程： ;③求變力做功： 。
第三部分 三角函式、三角恆等變換與解三角形
1.⑴角度制與弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧長公式： ;扇形面積公式： 。
2.三角函式定義：角 中邊上任意一點 為 ，設 則：
3.三角函式符號規律：一全正，二正弦，三兩切，四餘弦;
4.誘導公式記憶規律：“函式名不***改***變，符號看象限”;
5.⑴ 對稱軸： ;對稱中心： ;
⑵ 對稱軸： ;對稱中心： ;
6.同角三角函式的基本關係： ;
7.兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式：①
② ③ 。
8.二倍角公式：① ;
② ;③ 。
9.正、餘弦定理：
⑴正弦定理： *** 是 外接圓直徑 ***
注：① ;② ;③ 。
⑵餘弦定理： 等三個;注： 等三個。
10。幾個公式:
⑴三角形面積公式： ;
⑵內切圓半徑r= ;外接圓直徑2R=
11.已知 時三角形解的個數的判定：
第四部分 立體幾何
1.三檢視與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為 。
2.表***側***面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積：S=S側+2S底;②側面積：S側= ;③體積：V=S底h
⑵錐體：①表面積：S=S側+S底;②側面積：S側= ;③體積：V= S底h：
⑶臺體：①表面積：S=S側+S上底S下底;②側面積：S側= ;③體積：V= ***S+ ***h;
⑷球體：①表面積：S= ;②體積：V= 。
3.位置關係的證明***主要方法***：
⑴直線與直線平行：①公理4;②線面平行的性質定理;③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理;②面面平行 線面平行。
⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論;②垂直於同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。
注：理科還可用向量法。
4.求角：***步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角***
⑴異面直線所成角的求法：
1 平移法：平移直線，2 構造三角形;
3 ②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，4 發現兩條異面直線間的關係。
注：理科還可用向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角。
⑵直線與平面所成的角：
①直接法***利用線面角定義***;②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin 。
注：理科還可用向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。
⑶二面角的求法：
①定義法：在二面角的稜上取一點***特殊點***，作出平面角，再求解;
②三垂線法：由一個半面內一點作***或找***到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;
③射影法：利用面積射影公式： ,其中 為平面角的大小;
注：對於沒有給出稜的二面角，應先作出稜，然後再選用上述方法;
理科還可用向量法，轉化為兩個班平面法向量的夾角。
5.求距離：***步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離***
⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算;
⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解;
⑶點到平面的距離：
①垂面法：藉助面面垂直的性質作垂線段***確定已知面的垂面是關鍵***，再求解;
5 等體積法;
理科還可用向量法： 。
⑷球面距離：***步驟***
***Ⅰ***求線段AB的長;***Ⅱ***求球心角∠AOB的弧度數;***Ⅲ***求劣弧AB的長。
6.結論：
⑴從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;
⑵立平斜公式***最小角定理公式***：
⑶正稜錐的各側面與底面所成的角相等，記為 ，則S側cos =S底;
⑷長方體的性質
①長方體體對角線與過同一頂點的三條稜所成的角分別為 則：cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為 則有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面體的性質：設稜長為 ，則正四面體的：
1 高： ;②對稜間距離： ;③相鄰兩面所成角餘弦值： ;④內切2 球半徑： ;外接球半徑： ;
第五部分 直線與圓
1.直線方程
⑴點斜式： ;⑵斜截式： ;⑶截距式： ;
⑷兩點式： ;⑸一般式： ，***A，B不全為0***。
***直線的方向向量：*** ，法向量***
2.求解線性規劃問題的步驟是：
***1***列約束條件;***2***作可行域，寫目標函式;***3***確定目標函式的最優解。
3.兩條直線的位置關係：
4.直線系
5.幾個公式
⑴設A***x1,y1***、B***x2,y2***、C***x3,y3***，⊿ABC的重心G：*** ***;
⑵點P***x0,y0***到直線Ax+By+C=0的距離： ;
⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是 ;
6.圓的方程：
⑴標準方程：① ;② 。
⑵一般方程： ***
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
7.圓的方程的求法：⑴待定係數法;⑵幾何法;⑶圓系法。
8.圓系：
⑴ ;
注：當 時表示兩圓交線。
⑵ 。
9.點、直線與圓的位置關係：***主要掌握幾何法***
⑴點與圓的位置關係：*** 表示點到圓心的距離***
① 點在圓上;② 點在圓內;③ 點在圓外。
⑵直線與圓的位置關係：*** 表示圓心到直線的距離***
① 相切;② 相交;③ 相離。
⑶圓與圓的位置關係：*** 表示圓心距， 表示兩圓半徑，且 ***
① 相離;② 外切;③ 相交;
④ 內切;⑤ 內含。
10.與圓有關的結論：
⑴過圓x2+y2=r2上的點M***x0,y0***的切線方程為：x0x+y0y=r2;
過圓***x-a***2+***y-b***2=r2上的點M***x0,y0***的切線方程為：***x0-a******x-a***+***y0-b******y-b***=r2;
⑵以A***x1，y2***、B***x2,y2***為直徑的圓的方程：***x-x1******x-x2***+***y-y1******y-y2***=0。
第六部分 圓錐曲線
1.定義：⑴橢圓： ;
⑵雙曲線： ;⑶拋物線：略
2.結論
⑴焦半徑：①橢圓： ***e為離心率***; ***左“+”右“-”***;
②拋物線：
⑵弦長公式：
;
注：***Ⅰ***焦點弦長：①橢圓： ;②拋物線： =x1+x2+p= ;***Ⅱ***通徑***最短弦***：①橢圓、雙曲線： ;②拋物線：2p。
⑶過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為： *** 同時大於0時表示橢圓， 時表示雙曲線***;
⑷橢圓中的結論：
①內接矩形最大面積 ：2ab;
②P，Q為橢圓上任意兩點，且OP 0Q，則 ;
③橢圓焦點三角形：<Ⅰ>. ，*** ***;<Ⅱ>.點 是 內心， 交 於點 ，則 ;
④當點 與橢圓短軸頂點重合時 最大;
⑸雙曲線中的結論：
①雙曲線 ***a>0,b>0***的漸近線： ;
②共漸進線 的雙曲線標準方程為 為引數， ≠0***;
③雙曲線焦點三角形：<Ⅰ>. ，*** ***;<Ⅱ>.P是雙曲線 - =1***a>0，b>0***的左***右***支上一點，F1、F2分別為左、右焦點，則△PF1F2的內切圓的圓心橫座標為 ;
④雙曲線為等軸雙曲線 漸近線為 漸近線互相垂直;
***6***拋物線中的結論：
①拋物線y2=2px***p>0***的焦點弦AB性質：<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
<Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB為直徑的圓與準線相切;<Ⅳ>.以AF***或BF***為直徑的圓與 軸相切;<Ⅴ>. 。
②拋物線y2=2px***p>0***內結直角三角形OAB的性質：
<Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恆過定點 ;
<Ⅲ>. 中點軌跡方程： ;<Ⅳ>. ，則 軌跡方程為： ;<Ⅴ>. 。
③拋物線y2=2px***p>0***，對稱軸上一定點 ，則：
<Ⅰ>.當 時，頂點到點A距離最小，最小值為 ;<Ⅱ>.當 時，拋物線上有關於 軸對稱的兩點到點A距離最小，最小值為 。
3.直線與圓錐曲線問題解法：
⑴直接法***通法***：聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。
注意以下問題：
①聯立的關於“ ”還是關於“ ”的一元二次方程?
②直線斜率不存在時考慮了嗎?
③判別式驗證了嗎?
⑵設而不求***代點相減法***：--------處理弦中點問題
步驟如下：①設點A***x1，y1***、B***x2,y2***;②作差得 ;③解決問題。
4.求軌跡的常用方法：***1***定義法：利用圓錐曲線的定義; ***2***直接法***列等式***;***3***代入法***相關點法或轉移法***;⑷待定係數法;***5***引數法;***6***交軌法。
第七部分 平面向量
⑴設a=***x1,y1***,b=***x2,y2***，則： ① a‖b***b≠0*** a= b *** x1y2-x2y1=0;
② a⊥b***a、b≠0*** a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2;
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
6 a•b的幾何意義：a•b等於|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。
⑶cos= ;
⑷三點共線的充要條件：P，A，B三點共線 ;
附：***理科***P，A，B，C四點共面 。
第八部分 數列
1.定義：
⑴等差數列 ;
⑵等比數列
;
2.等差、等比數列性質
等差數列 等比數列
通項公式
前n項和
性質 ①an=am+ ***n-m***d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q時am+an=ap+aq ②m+n=p+q時aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差數列特有性質：
1 項數為2n時：S2n=n***an+an+1***=n***a1+a2n***; ; ;
2 項數為2n-1時：S2n-1=***2n-1*** ; ; ;
3 若 ;若 ;
若 。
3.數列通項的求法：
⑴分析法;⑵定義法***利用AP,GP的定義***;⑶公式法：累加法*** ;
⑷疊乘法*** 型***;⑸構造法*** 型***;***6***迭代法;
⑺間接法***例如： ***;⑻作商法*** 型***;⑼待定係數法;⑽***理科***數學歸納法。
注：當遇到 時，要分奇數項偶數項討論，結果是分段形式。
4.前 項和的求法：
⑴拆、並、裂項法;⑵倒序相加法;⑶錯位相減法。
5.等差數列前n項和最值的求法：
⑴ ;⑵利用二次函式的圖象與性質。
第九部分 不等式
1.均值不等式：
注意：①一正二定三相等;②變形， 。
2.絕對值不等式：
3.不等式的性質：
⑴ ;⑵ ;⑶ ;
;⑷ ; ;
;⑸ ;***6***
。
4.不等式等證明***主要***方法：
⑴比較法：作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。
第十部分 複數
1.概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 ***a,b∈R*** z= z2≥0;
⑵z=a+bi是虛數 b≠0***a,b∈R***;
⑶z=a+bi是純虛數 a=0且b≠0***a,b∈R*** z+ =0***z≠0*** z2<0;
⑷a+bi=c+di a=c且c=d***a,b,c,d∈R***;
2.複數的代數形式及其運算：設z1= a + bi , z2 = c + di ***a,b,c,d∈R***，則：
***1*** z 1± z2 = ***a + b*** ± ***c + d***i;⑵ z1.z2 = ***a+bi***•***c+di***=***ac-bd***+ ***ad+bc***i;⑶z1÷z2 = ***z2≠0*** ;
3.幾個重要的結論：
;⑶ ;⑷
⑸ 性質：T=4; ;
***6*** 以3為週期，且 ; =0;
***7*** 。
4.運算律：***1***
5.共軛的性質：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。
6.模的性質：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;
第十一部分 概率
1.事件的關係：
⑴事件B包含事件A：事件A發生，事件B一定發生，記作 ;
⑵事件A與事件B相等：若 ，則事件A與B相等，記作A=B;
⑶並***和***事件：某事件發生，當且僅當事件A發生或B發生，記作 ***或 ***;
⑷並***積***事件：某事件發生，當且僅當事件A發生且B發生，記作 ***或 *** ;
⑸事件A與事件B互斥：若 為不可能事件*** ***，則事件A與互斥;
***6***對立事件： 為不可能事件， 為必然事件，則A與B互為對立事件。
2.概率公式：
⑴互斥事件***有一個發生***概率公式：P***A+B***=P***A***+P***B***;
⑵古典概型： ;
⑶幾何概型： ;
第十二部分 統計與統計案例
1.抽樣方法
⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。
注：①每個個體被抽到的概率為 ;
②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽籤法;隨機數法。
⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然後按照預先制定的
規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。
注：步驟：①編號;②分段;③在第一段採用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號 ;
④按預先制定的規則抽取樣本。
⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然後按照各部分佔總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。
注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數
2.總體特徵數的估計：
⑴樣本平均數 ;
⑵樣本方差 ;
⑶樣本標準差 = ;
3.相關係數***判定兩個變數線性相關性***：
注：⑴ >0時，變數 正相關; <0時，變數 負相關;
⑵① 越接近於1，兩個變數的線性相關性越強;② 接近於0時，兩個變數之間幾乎不存線上性相關關係。
4.迴歸分析中迴歸效果的判定：
⑴總偏差平方和： ⑵殘差： ;⑶殘差平方和： ;⑷迴歸平方和： - ;⑸相關指數 。
注：① 得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好;
② 越接近於1，，則迴歸效果越好。
5.獨立性檢驗***分類變數關係***：
隨機變數 越大，說明兩個分類變數，關係越強，反之，越弱。
第十四部分 常用邏輯用語與推理證明
1. 四種命題：
⑴原命題：若p則q; ⑵逆命題：若q則p;
⑶否命題：若 p則 q;⑷逆否命題：若 q則 p
注：原命題與逆否命題等價;逆命題與否命題等價。
2.充要條件的判斷：
***1***定義法----正、反方向推理;
***2***利用集合間的包含關係：例如：若 ，則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件;
3.邏輯連線詞：
⑴且***and*** ：命題形式 p q; p q p q p q p
⑵或***or***：命題形式 p q; 真 真 真 真 假
⑶非***not***：命題形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用 表示;
全稱命題p： ;
全稱命題p的否定 p： 。
⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用 表示;
特稱命題p： ;
特稱命題p的否定 p： ;
第十五部分 推理與證明
1.推理：
⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想，在進行歸納、類比，然後提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。
①歸納推理：由某類食物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。
注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。
②類比推理：由兩類物件具有類似和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理，稱為類比推理，簡稱類比。
注：類比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演繹推理：從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。
注：演繹推理是由一般到特殊的推理。
“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般結論;
⑵小前提---------所研究的特殊情況;
⑶結 論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。
二.證明
⒈直接證明
⑴綜合法
一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最後推匯出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。
⑵分析法
一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件***已知條件、定義、定理、公理等***，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執果索因法。
2.間接證明------反證法
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。
附：數學歸納法***僅限理科***
一般的證明一個與正整數 有關的一個命題，可按以下步驟進行：
⑴證明當 取第一個值 是命題成立;
⑵假設當 命題成立，證明當 時命題也成立。
那麼由⑴⑵就可以判定命題對從 開始所有的正整數都成立。
這種證明方法叫數學歸納法。
注：①數學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行;
3 的取值視題目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。
第十六部分 理科選修部分
1. 排列、組合和二項式定理
⑴排列數公式: =n***n-1******n-2***…***n-m+1***= ***m≤n,m、n∈N****,當m=n時為全排列 =n***n-1******n-2***…3.2.1=n!;
⑵組合數公式： ***m≤n***, ;
⑶組合數性質： ;
⑷二項式定理：
①通項： ②注意二項式係數與係數的區別;
⑸二項式係數的性質：
①與首末兩端等距離的二項式係數相等;②若n為偶數，中間一項***第 +1項***二項式係數最大;若n為奇數，中間兩項***第 和 +1項***二項式係數最大;
③
***6***求二項展開式各項係數和或奇***偶***數項係數和時，注意運用賦值法。
2. 概率與統計
⑴隨機變數的分佈列：
①隨機變數分佈列的性質：pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;
②離散型隨機變數：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX= ;
注： ;
③兩點分佈：
X 0 1 期望：EX=p;方差：DX=p***1-p***.
P 1-p p
4 超幾何分佈：
一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則 其中， 。
稱分佈列
X 0 1 … m
P …
為超幾何分佈列， 稱X服從超幾何分佈。
⑤二項分佈***獨立重複試驗***：
若X～B***n,p***,則EX=np, DX=np***1- p***;注： 。
⑵條件概率：稱 為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率。
注：①0 P***B|A*** 1;②P***B∪C|A***=P***B|A***+P***C|A***。
⑶獨立事件同時發生的概率：P***AB***=P***A***P***B***。
⑷正態總體的概率密度函式： 式中 是引數，分別表示總體的平均數***期望值***與標準差;
***6***正態曲線的性質：
①曲線位於x軸上方，與x軸不相交;②曲線是單峰的，關於直線x= 對稱;
③曲線在x= 處達到峰值 ;④曲線與x軸之間的面積為1;
5 當 一定時，6 曲線隨 質的變化沿x軸平移;
7 當 一定時，8 曲線形狀由 確定： 越大，9 曲線越“矮胖”，10 表示總體分佈越集中;
越小，曲線越“高瘦”，表示總體分佈越分散。
注：P =0.6826;P =0.9544
P =0.9974