人教版八年級上數學期末試題

  想摘玫瑰,就要先折刺枝;想走坦途,就要斬除荊棘;想看到天明,就要勇闖夜寂;想考試高中,就要倍加努力:厚德載物,天道酬勤,祝八年級生物期末考順利!下面是小編為大家整編的,大家快來看看吧。

  人教版八年級上冊數學期末試題

  一、選擇題***每小題3分,共42分***

  1.下列“QQ表情”中屬於軸對稱圖形的是***  ***

  A. B. C. D.

  2.一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5,則它的周長為***  ***

  A.7 B.9 C.12 D.9或12

  3.某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米,用科學記數法表示為***  ***

  A.3.1×10﹣9米 B.3.1×109米 C.﹣3.1×109米 D.0.31×10﹣8米

  4.***附加題***如圖,把△ABC紙片沿DE摺疊,當點A落在四邊形BCDE內部時,則∠A與∠1,∠2之間的數量關係是***  ***

  A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2***∠1+∠2***

  5.下列計算錯誤的是***  ***

  A.5a3﹣a3=4a3 B.***a2b***3=a6b3

  C.***a﹣b***3***b﹣a***2=***a﹣b***5 D.2m•3n=6m+n

  6.下列式子中,從左到右的變形是因式分解的是***  ***

  A.***x﹣1******x﹣2***=x2﹣3x+2 B.x2﹣3x+2=***x﹣1******x﹣2***

  C.x2+4x+4=x***x﹣4***+4 D.x2+y2=***x+y******x﹣y***

  7.下列說法錯誤的是***  ***

  A.三角形的角平分線能把三角形分成面積相等的兩部分

  B.三角形的三條中線,角平分線都相交於一點

  C.直角三角形三條高交於三角形的一個頂點

  D.鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部

  8.已知x2+kxy+64y2是一個完全平方式,則k的值是***  ***

  A.8 B.±8 C.16 D.±16

  9.分式 的值為零時,則x的值為***  ***

  A.x=3 B.x=﹣3 C.x=±3 D.以上都不對

  10.若分式 ,則分式 的值等於***  ***

  A.﹣ B. C.﹣ D.

  11.如圖所示,△ABC為等邊三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB於R,PS⊥AC於S,則四個結論正確的是***  ***

  ①點P在∠A的平分線上;

  ②AS=AR;

  ③QP∥AR;

  ④△BRP≌△QSP.

  A.全部正確 B.僅①和②正確 C.僅②③正確 D.僅①和③正確

  12.某服裝加工廠計劃加工400套運動服,在加工完160套後,採用了新技術,工作效率比原計劃提高了20%,結果共用了18天完成全部任務.設原計劃每天加工x套運動服,根據題意可列方程為***  ***

  A. B.

  C. D.

  13.如圖1,在△ABC中,∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交於F,過點F作DE∥BC,交直線AB於點D,交直線AC於點E,通過上述條件,我們不難發現:BD+CE=DE;如圖2,∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交於F,過點F作DE∥BC,交直線AB於點D,交直線AC於點E,根據圖1所得的結論,試猜想BD,CE,DE之間存在什麼關係?***  ***

  A.BD﹣CE=DE B.BD+CE=DE C.CE﹣DE=BD D.無法判斷

  14.如圖,動點P從***0,3***出發,沿所示方向運動,每當碰到矩形的邊時反彈,反彈時反射角等於入射角,當點P第2015次碰到矩形的邊時,點P的座標為***  ***

  A.***3,0*** B.***7,4*** C.***8,1*** D.***1,4***

  二、填空題***每題3分,共15分***

  15.分解因式:a2b﹣b3=      .

  16.我們已經學過用面積來說明公式.如x2+2xy+y2=***x+y***2就可以用如圖甲中的面積來說明.

  請寫出圖乙的面積所說明的公式:x2+***p+q***x+pq=      .

  17.如圖,∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角,若∠A=100°,則∠1+∠2+∠3+∠4=      .

  18.在平面直角座標系中,A***4,0***,B***0,4***,D在第一象限,且DO=DB,△DOA為等腰三角形,則∠OBD的度數為      .

  19.若分式方程: 有增根,則k=      .

  三、填空題***共63分***

  20.計算.

  ***1******﹣ ***﹣2﹣***﹣ ***2012×***1.5***2013+20140

  ***2***分解因式:x﹣2xy+xy2.

  21.解方程: .

  22.先化簡,再求值: ,其中x=3.

  23.在邊長為1的小正方形組成的正方形網格中建立如圖片所示的平面直角座標系,已知格點三角形ABC***三角形的三個頂點都在小正方形上***

  ***1***畫出△ABC關於直線l:x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1;並寫出A1、B1、C1的座標.

  ***2***在直線x=﹣l上找一點D,使BD+CD最小,滿足條件的D點為      .

  提示:直線x=﹣l是過點***﹣1,0***且垂直於x軸的直線.

  24.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線AC的中點為O,過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交於點E、F,連線AF.求證:AE=AF.

  25.閱讀下面材料完成分解因式

  x2+***p+q***x+pq型式子的因式分解x2+***p+q***x+pq=x2+px+qx+pq=***x2+px***+***qx+pq***

  =x***x+p***+q***x+p***

  =***x+p******x+q***

  這樣,我們得到x2+***p+q***x+pq=***x+p******x+q***

  利用上式可以將某些二次項係數為1的二次三項式分解因式.

  例把x2+3x+2分解因式

  分析:x2+3x+2中的二次項係數為1,常數項2=1×2,一次項係數3=1+2,這是一個x2+***p+q***x+pq型式子.

  解:x2+3x+2=***x+1******x+2***

  請仿照上面的方法將下列多項式分解因式:

  ①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.

  26.問題背景:

  如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數量關係.

  小王同學探究此問題的方法是,延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是      ;

  探索延伸:

  如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF= ∠BAD,上述結論是否仍然成立,並說明理由;

  實際應用:

  如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心***O處***北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,並且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令後,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時後,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時兩艦艇之間的距離.

  參考答案

  一、選擇題***每小題3分,共42分***

  1.下列“QQ表情”中屬於軸對稱圖形的是***  ***

  A. B. C. D.

  【考點】軸對稱圖形.

  【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.

  【解答】解:A、是軸對稱圖形,故本選項正確;

  B、不是軸對稱圖形,故本選項錯誤;

  C、不是軸對稱圖形,故本選項錯誤;

  D、不是軸對稱圖形,故本選項錯誤.

  故選A.

  【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分沿對稱軸摺疊後可重合.

  2.一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5,則它的周長為***  ***

  A.7 B.9 C.12 D.9或12

  【考點】等腰三角形的性質;三角形三邊關係.

  【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進行討論,還要應用三角形的三邊關係驗證能否組成三角形.

  【解答】解:當腰為5時,周長=5+5+2=12;

  當腰長為2時,根據三角形三邊關係可知此情況不成立;

  根據三角形三邊關係可知:等腰三角形的腰長只能為5,這個三角形的周長是12.

  故選C.

  【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關係;已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進行討論,還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答,這點非常重要,也是解題的關鍵.

  3.某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米,用科學記數法表示為***  ***

  A.3.1×10﹣9米 B.3.1×109米 C.﹣3.1×109米 D.0.31×10﹣8米

  【考點】科學記數法—表示較小的數.

  【分析】絕對值小於1的正數也可以利用科學記數法表示,一般形式為a×10﹣n,與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪,指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

  【解答】解:0.0000000031=3.1×10﹣9,

  故選:A.

  【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數,一般形式為a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

  4.***附加題***如圖,把△ABC紙片沿DE摺疊,當點A落在四邊形BCDE內部時,則∠A與∠1,∠2之間的數量關係是***  ***

  A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2***∠1+∠2***

  【考點】三角形內角和定理;翻折變換***摺疊問題***.

  【分析】可連線AA′,分別在△AEA′、△ADA′中,利用三角形的外角性質表示出∠1、∠2;兩者相加聯立摺疊的性質即可得到所求的結論.

  【解答】解:連線AA′.

  則△A′ED即為摺疊前的三角形,

  由摺疊的性質知:∠DAE=∠DA′E.

  由三角形的外角性質知:

  ∠1=∠EAA′+∠EA′A,∠2=∠DAA′+∠DA′A;

  則∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE,

  即∠1+∠2=2∠A.

  故選C.

  【點評】此題主要考查的是三角形的外角性質和圖形的翻折變換,理清圖中角與角的關係是解決問題的關鍵.

  5.下列計算錯誤的是***  ***

  A.5a3﹣a3=4a3 B.***a2b***3=a6b3

  C.***a﹣b***3***b﹣a***2=***a﹣b***5 D.2m•3n=6m+n

  【考點】冪的乘方與積的乘方;合併同類項;同底數冪的乘法.

  【分析】根據冪的乘方和積的乘方的運演算法則求解.

  【解答】解:A、5a3﹣a3=4a3,計算正確,故本選項錯誤;

  B、***a2b***3=a6b3,計算正確,故本選項錯誤;

  C、***a﹣b***3***b﹣a***2=***a﹣b***5,計算正確,故本選項錯誤;

  D、2m•3n≠6m+n,計算錯誤,故本選項正確.

  故選D.

  【點評】本題考查了冪的乘方和積的乘方、合併同類項、同底數冪的乘法等知識,掌握運演算法則是解答本題的關鍵.

  6.下列式子中,從左到右的變形是因式分解的是***  ***

  A.***x﹣1******x﹣2***=x2﹣3x+2 B.x2﹣3x+2=***x﹣1******x﹣2***

  C.x2+4x+4=x***x﹣4***+4 D.x2+y2=***x+y******x﹣y***

  【考點】因式分解的意義.

  【分析】因式分解就是要將一個多項式分解為幾個整式積的形式.

  【解答】解:根據因式分解的概念,A,C答案錯誤;

  根據平方差公式:***x+y******x﹣y***=x2﹣y2所以D錯誤;

  B答案正確.

  故選B.

  【點評】注意對因式分解概念的理解.

  7.下列說法錯誤的是***  ***

  A.三角形的角平分線能把三角形分成面積相等的兩部分

  B.三角形的三條中線,角平分線都相交於一點

  C.直角三角形三條高交於三角形的一個頂點

  D.鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部

  【考點】三角形的角平分線、中線和高.

  【分析】根據三角形的面積公式以及三角形的中線、角平分線、高的概念可知.

  【解答】解:A、三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分,錯誤;

  B、三角形的三條中線,角平分線都相交於一點,正確;

  C、直角三角形三條高交於直角頂點,正確;

  D、鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部,正確.

  故選A.

  【點評】注意三角形的中線、角平分線、高的概念.以及三角形的中線、角平分線、高的交點的位置.

  8.已知x2+kxy+64y2是一個完全平方式,則k的值是***  ***

  A.8 B.±8 C.16 D.±16

  【考點】完全平方式.

  【分析】根據完全平方公式的特點求解.

  【解答】解:根據題意,原式是一個完全平方式,

  ∵64y2=***±8y***2,

  ∴原式可化成=***x±8y***2,

  展開可得x2±16xy+64y2,

  ∴kxy=±16xy,

  ∴k=±16.

  故選:D.

  【點評】本題利用了完全平方公式求解:***a±b***2=a2±2ab+b2.注意k的值有兩個,並且互為相反數.

  9.分式 的值為零時,則x的值為***  ***

  A.x=3 B.x=﹣3 C.x=±3 D.以上都不對

  【考點】分式的值為零的條件.

  【專題】計算題.

  【分析】分母不為0,分子為0.

  【解答】解:根據題意,得

  x2﹣9=0且x﹣3≠0,

  解得,x=﹣3.

  故選B.

  【點評】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零,需同時具備兩個條件:***1***分子為0;***2***分母不為0.這兩個條件缺一不可.

  10.若分式 ,則分式 的值等於***  ***

  A.﹣ B. C.﹣ D.

  【考點】分式的值.

  【分析】根據已知條件,將分式 整理為y﹣x=2xy,再代入則分式 中求值即可.

  【解答】解:整理已知條件得y﹣x=2xy;

  ∴x﹣y=﹣2xy

  將x﹣y=﹣2xy整體代入分式得

  =

  =

  =

  = .

  故答案為B.

  【點評】由題幹條件找出x﹣y之間的關係,然後將其整體代入求出答案即可.

  11.如圖所示,△ABC為等邊三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB於R,PS⊥AC於S,則四個結論正確的是***  ***

  ①點P在∠A的平分線上;

  ②AS=AR;

  ③QP∥AR;

  ④△BRP≌△QSP.

  A.全部正確 B.僅①和②正確 C.僅②③正確 D.僅①和③正確

  【考點】等邊三角形的性質.

  【分析】因為△ABC為等邊三角形,根據已知條件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP,則AR=AS,故***2***正確,∠BAP=∠CAP,所以AP是等邊三角形的頂角的平分線,故***1***正確,根據等腰三角形的三線合一的性質知,AP也是BC邊上的高和中線,即點P是BC的中點,因為AQ=PQ,所以點Q是AC的中點,所以PQ是邊AB對的中位線,有PQ∥AB,故***3***正確,又可推出△BRP≌△QSP,故***4***正確.

  【解答】解:∵PR⊥AB於R,PS⊥AC於S

  ∴∠ARP=∠ASP=90°

  ∵PR=PS,AP=AP

  ∴Rt△ARP≌Rt△ASP

  ∴AR=AS,故***2***正確,∠BAP=∠CAP

  ∴AP是等邊三角形的頂角的平分線,故***1***正確

  ∴AP是BC邊上的高和中線,即點P是BC的中點

  ∵AQ=PQ

  ∴點Q是AC的中點

  ∴PQ是邊AB對的中位線

  ∴PQ∥AB,故***3***正確

  ∵∠B=∠C=60°,∠BRP=∠CSP=90°,BP=CP

  ∴△BRP≌△QSP,故***4***正確

  ∴全部正確.

  故選A.

  【點評】本題利用了等邊三角形的性質:三線合一,全等三角形的判定和性質,中位線的性質求解.

  12.某服裝加工廠計劃加工400套運動服,在加工完160套後,採用了新技術,工作效率比原計劃提高了20%,結果共用了18天完成全部任務.設原計劃每天加工x套運動服,根據題意可列方程為***  ***

  A. B.

  C. D.

  【考點】由實際問題抽象出分式方程.

  【專題】工程問題.

  【分析】關鍵描述語為:“共用了18天完成任務”;等量關係為:採用新技術前用的時間+採用新技術後所用的時間=18.

  【解答】解:採用新技術前用的時間可表示為: 天,採用新技術後所用的時間可表示為: 天.

  方程可表示為: .

  故選:B.

  【點評】列方程解應用題的關鍵步驟在於找相等關係.找到關鍵描述語,找到等量關係是解決問題的關鍵.本題要注意採用新技術前後工作量和工作效率的變化.

  13.如圖1,在△ABC中,∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交於F,過點F作DE∥BC,交直線AB於點D,交直線AC於點E,通過上述條件,我們不難發現:BD+CE=DE;如圖2,∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交於F,過點F作DE∥BC,交直線AB於點D,交直線AC於點E,根據圖1所得的結論,試猜想BD,CE,DE之間存在什麼關係?***  ***

  A.BD﹣CE=DE B.BD+CE=DE C.CE﹣DE=BD D.無法判斷

  【考點】等腰三角形的判定與性質;平行線的性質.

  【分析】由∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交於F,過點F作DE∥BC,易證得△BDF與△CEF是等腰三角形,繼而可求得答案.

  【解答】解:如圖2,∵DE∥BC,

  ∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠1,

  ∵∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交於F,

  ∴∠DBC=∠CBF,∠1=∠2,

  ∴∠DBC=∠DFB,∠EFC=∠2,

  ∴BD=DF,EF=CE,

  ∵DF=DE+EF,

  ∴BD=DE+CE.

  即BD﹣CE=DE.

  故選A.

  【點評】此題考查了等腰三角形的性質與判定.此題難度適中,注意掌握數形結合思想的應用.

  14.如圖,動點P從***0,3***出發,沿所示方向運動,每當碰到矩形的邊時反彈,反彈時反射角等於入射角,當點P第2015次碰到矩形的邊時,點P的座標為***  ***

  A.***3,0*** B.***7,4*** C.***8,1*** D.***1,4***

  【考點】規律型:點的座標.

  【分析】根據反射角與入射角的定義作出圖形,可知每6次反彈為一個迴圈組依次迴圈,用2015除以6,根據商和餘數的情況確定所對應的點的座標即可.

  【解答】解:如圖,

  經過6次反彈後動點回到出發點***0,3***,

  ∵2015÷6=335…5,

  ∴當點P第2015次碰到矩形的邊時為第336個迴圈組的第5次反彈,

  點P的座標為***1,4***.

  故選:D.

  【點評】此題考查了對點的座標的規律變化的認識,作出圖形,觀察出每6次反彈為一個迴圈組依次迴圈是解題的關鍵.

  二、填空題***每題3分,共15分***

  15.分解因式:a2b﹣b3= b***a+b******a﹣b*** .

  【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

  【分析】先提取公因式,再利用平方差公式進行二次因式分解.平方差公式:a2﹣b2=***a+b******a﹣b***.

  【解答】解:a2b﹣b3,

  =b***a2﹣b2***,***提取公因式***

  =b***a+b******a﹣b***.***平方差公式***

  故答案為:b***a+b******a﹣b***.

  【點評】本題考查提公因式法,公式法分解因式,提取公因式後利用平方差公式進行二次分解,注意分解因式要徹底.

  16.我們已經學過用面積來說明公式.如x2+2xy+y2=***x+y***2就可以用如圖甲中的面積來說明.

  請寫出圖乙的面積所說明的公式:x2+***p+q***x+pq= ***x+p******x+q*** .

  【考點】完全平方公式的幾何背景.

  【分析】利用面積分割法可證,大長方形的面積=三個長方形的面積+小正方形的面積,用代數式表示即可.

  【解答】解:根據題意可知,

  x2+***p+q***x+pq=***x+p******x+q***.

  故答案為:***x+p******x+q***.

  【點評】本題考查了十字相乘法的幾何意義,利用了面積分割法,根據面積相等列式是解題的關鍵.

  17.如圖,∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角,若∠A=100°,則∠1+∠2+∠3+∠4= 280° .

  【考點】多邊形內角與外角.

  【分析】先根據鄰補角的定義得出與∠EAB相鄰的外角∠5的度數,再根據多邊形的外角和定理即可求解.

  【解答】解:如圖,∵∠EAB+∠5=180°,∠EAB=100°,

  ∴∠5=80°.

  ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,

  ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°

  故答案為280°.

  【點評】本題主要考查了多邊形內角與外角的關係及多邊形的外角和定理,比較簡單.

  18.在平面直角座標系中,A***4,0***,B***0,4***,D在第一象限,且DO=DB,△DOA為等腰三角形,則∠OBD的度數為 45°,60°,75°,15° .

  【考點】等腰三角形的判定;座標與圖形性質.

  【分析】根據△DOA為等腰三角形,分三種情況:①OD=AD;②OD=OA③OA=OD分別求得各邊的長度,再利用三角函式即可得出答案.

  【解答】解:如圖,

  ∵D在第一象限,且DO=DB,△DOA為等腰三角形,

  ∴點D分四種情況:①OD1=AD1;②OD2=OA;③OA=OD3;④AD4=OA

  ∴∠OBD1=45°,

  ∠OBD2=60°,

  ∠OBD3=15°+60°=75°,

  ∠OBD4=15°

  故答案為:45°,60°,75°,15°

  【點評】本題考查了等腰三角形的判定以及座標與圖形的性質,熟練利用等腰三角形的性質是解題關鍵.

  19.若分式方程: 有增根,則k= 1 .

  【考點】分式方程的增根.

  【專題】計算題.

  【分析】把k當作已知數求出x= ,根據分式方程有增根得出x﹣2=0,2﹣x=0,求出x=2,得出方程 =2,求出k的值即可.

  【解答】解:∵ ,

  去分母得:2***x﹣2***+1﹣kx=﹣1,

  整理得:***2﹣k***x=2,

  ∵分式方程 有增根,

  ∴x﹣2=0,

  解得:x=2,

  把x=2代入***2﹣k***x=2得:k=1.

  故答案為:1.

  【點評】本題考查了對分式方程的增根的理解和運用,把分式方程變成整式方程後,求出整式方程的解,若代入分式方程的分母恰好等於0,則此數是分式方程的增根,即不是分式方程的根,題目比較典型,是一道比較好的題目.

  三、填空題***共63分***

  20.計算.

  ***1******﹣ ***﹣2﹣***﹣ ***2012×***1.5***2013+20140

  ***2***分解因式:x﹣2xy+xy2.

  【考點】實數的運算;提公因式法與公式法的綜合運用;零指數冪;負整數指數冪.

  【分析】***1***分別根據0指數冪及負整數指數冪的運演算法則分別計算出各數,再根據實數混合運算的法則進行計算即可;

  ***2***先提取公因式,字啊根據完全平方公式進行分解即可.

  【解答】解:***1***原式=4﹣1.5+1

  =3.5;

  ***2***原式=x***1﹣2y+y2***

  =x***1﹣y***2.

  【點評】本題考查的是分式的化簡求值,熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.

  21.解方程: .

  【考點】解分式方程.

  【專題】計算題.

  【分析】先去分母把分式方程化為整式方程,求出整式方程中x的值,代入公分母進行檢驗即可.

  【解答】解:方程兩邊同時乘以2***3x﹣1***,得4﹣2***3x﹣1***=3,

  化簡,﹣6x=﹣3,解得x= .

  檢驗:x= 時,2***3x﹣1***=2×***3× ﹣1***≠0

  所以,x= 是原方程的解.

  【點評】本題考查的是解分式方程.在解答此類題目時要注意驗根,這是此類題目易忽略的地方.

  22.先化簡,再求值: ,其中x=3.

  【考點】分式的化簡求值.

  【分析】首先將括號裡面通分,進而因式分解化簡求出即可.

  【解答】解: ,

  =[ + ]×

  = ×

  = ,

  當x=3時,原式=2.

  【點評】此題主要考查了分式的化簡求值,正確因式分解得出是解題關鍵.

  23.在邊長為1的小正方形組成的正方形網格中建立如圖片所示的平面直角座標系,已知格點三角形ABC***三角形的三個頂點都在小正方形上***

  ***1***畫出△ABC關於直線l:x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1;並寫出A1、B1、C1的座標.

  ***2***在直線x=﹣l上找一點D,使BD+CD最小,滿足條件的D點為 ***﹣1,1*** .

  提示:直線x=﹣l是過點***﹣1,0***且垂直於x軸的直線.

  【考點】作圖-軸對稱變換;軸對稱-最短路線問題.

  【分析】***1***分別作出點A、B、C關於直線l:x=﹣1的對稱的點,然後順次連線,並寫出A1、B1、C1的座標;

  ***2***作出點B關於x=﹣1對稱的點B1,連線CB1,與x=﹣1的交點即為點D,此時BD+CD最小,寫出點D的座標.

  【解答】解:***1***所作圖形如圖所示:

  A1***3,1***,B1***0,0***,C1***1,3***;

  ***2***作出點B關於x=﹣1對稱的點B1,

  連線CB1,與x=﹣1的交點即為點D,

  此時BD+CD最小,

  點D座標為***﹣1,1***.

  故答案為:***﹣1,1***.

  【點評】本題考查了根據軸對稱變換作圖,解答本題的關鍵是根據網格結構作出對應點的位置,並順次連線.

  24.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線AC的中點為O,過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交於點E、F,連線AF.求證:AE=AF.

  【考點】線段垂直平分線的性質;等腰三角形的判定與性質.

  【專題】證明題;壓軸題.

  【分析】方法一:連線CE,由與EF是線段AC的垂直平分線,故AE=CE,再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC,故可得出△AOE≌△COF,故AE=CF,所以四邊形AFCE是平行四邊形,再根據AE=CE可知四邊形AFCE是菱形,故可得出結論.

  方法二:首先證明△AOE≌△COF,可得OE=OF,進而得到AC垂直平分EF,再根據線段垂直平分線的性質可得AE=AF.

  【解答】證明:連線CE,

  ∵EF是線段AC的垂直平分線,

  ∴AE=CE,OA=OC,

  ∵AE∥BC,

  ∴∠ACB=∠DAC,

  在△AOE與△COF中,

  ∵ ,

  ∴△AOE≌△COF,

  ∴AE=CF,

  ∴四邊形AFCE是平行四邊形,

  ∵AE=CE,

  ∴四邊形AFCE是菱形,

  ∴AE=AF.

  另法:∵AD∥BC,

  ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,

  ∵ ,

  ∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚,

  ∴OE=OF,

  ∴AC垂直平分EF,

  ∴AE=AF.

  【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質及菱形的判定定理,根據題意作出輔助線,構造出平行四邊形是解答此題的關鍵.

  25.閱讀下面材料完成分解因式

  x2+***p+q***x+pq型式子的因式分解x2+***p+q***x+pq=x2+px+qx+pq=***x2+px***+***qx+pq***

  =x***x+p***+q***x+p***

  =***x+p******x+q***

  這樣,我們得到x2+***p+q***x+pq=***x+p******x+q***

  利用上式可以將某些二次項係數為1的二次三項式分解因式.

  例把x2+3x+2分解因式

  分析:x2+3x+2中的二次項係數為1,常數項2=1×2,一次項係數3=1+2,這是一個x2+***p+q***x+pq型式子.

  解:x2+3x+2=***x+1******x+2***

  請仿照上面的方法將下列多項式分解因式:

  ①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.

  【考點】因式分解-十字相乘法等.

  【專題】閱讀型.

  【分析】仿照上述的方法,將原式分解即可.

  【解答】解:①x2+7x+10=***x+2******x+5***;

  ②2y2﹣14y+24=2***y2﹣7y+12***=2***y﹣3******y﹣4***.

  【點評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法,熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關鍵.

  26.問題背景:

  如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數量關係.

  小王同學探究此問題的方法是,延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是 EF=BE+DF ;

  探索延伸:

  如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF= ∠BAD,上述結論是否仍然成立,並說明理由;

  實際應用:

  如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心***O處***北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,並且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令後,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時後,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時兩艦艇之間的距離.

  【考點】全等三角形的判定與性質.

  【專題】壓軸題;探究型.

  【分析】問題背景:根據全等三角形對應邊相等解答;

  探索延伸:延長FD到G,使DG=BE,連線AG,根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG,然後利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等,根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,再求出∠EAF=∠GAF,然後利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等,根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF,然後求解即可;

  實際應用:連線EF,延長AE、BF相交於點C,然後求出∠EOF= ∠AOB,判斷出符合探索延伸的條件,再根據探索延伸的結論解答即可.

  【解答】解:問題背景:EF=BE+DF;

  探索延伸:EF=BE+DF仍然成立.

  證明如下:如圖,延長FD到G,使DG=BE,連線AG,

  ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,

  ∴∠B=∠ADG,

  在△ABE和△ADG中,

  ,

  ∴△ABE≌△ADG***SAS***,

  ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,

  ∵∠EAF= ∠BAD,

  ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,

  ∴∠EAF=∠GAF,

  在△AEF和△GAF中,

  ,

  ∴△AEF≌△GAF***SAS***,

  ∴EF=FG,

  ∵FG=DG+DF=BE+DF,

  ∴EF=BE+DF;

  實際應用:如圖,連線EF,延長AE、BF相交於點C,

  ∵∠AOB=30°+90°+***90°﹣70°***=140°,

  ∠EOF=70°,

  ∴∠EOF= ∠AOB,

  又∵OA=OB,

  ∠OAC+∠OBC=***90°﹣30°***+***70°+50°***=180°,

  ∴符合探索延伸中的條件,

  ∴結論EF=AE+BF成立,

  即EF=1.5×***60+80***=210海里.

  答:此時兩艦艇之間的距離是210海里.

  【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質,讀懂問題背景的求解思路,作輔助線構造出全等三角形並兩次證明三角形全等是解題的關鍵,也是本題的難點.