關於數學史的論文參考範文

　　數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。下文是小編為大家整理的數學史的論文參考範文的內容，歡迎大家閱讀參考!

　　數學史的論文參考範文篇1

　　淺談流形概念的演變與理論發展

　　一、引言

　　流形是 20 世紀數學有代表性的基本概念，它集幾何、代數、分析於一體，成為現代數學的重要研究物件。在數學中，流形作為方程的非退化系統的解的集合出現，也是幾何的各種集合和允許區域性引數化的其他物件。〔1〕53物理學中，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的例項。

　　流形是區域性具有歐氏空間性質的拓撲空間，粗略地說，流形上每一點的附近和歐氏空間的一個開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結果。從整體上看，流形具有拓撲結構，而拓撲結構是“軟” 的，因為所有的同胚變形會保持拓撲結構不變，這樣流形具有整體上的柔性，可流動性，也許這就是中文譯成流形***該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入***的原因。

　　流形作為拓撲空間，它的起源是為了解決什麼問題? 是如何解決的? 誰解決的? 形成了什麼理論?這是幾何史的根本問題。目前國內外對這些問題已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基礎上，對流形的歷史演變過程進行了較為深入、細緻的分析，並對上述問題給予解答。

　　二、流形概念的演變

　　流形概念的起源可追溯到高斯 ***C.F.Gauss,1777-1855***的內蘊幾何思想 ,黎曼***C.F.B.Riemann,1826-1866***繼承並發展了的高斯的想法，並給出了流形的描述性定義。隨著集合論和拓撲學的發展，希爾伯特***D.Hilbert,1862-1943***用公理化方案改良了黎曼對流形的定義，最終外爾***H.Weyl,1885-1955***給出了流形的嚴格數學定義。

　　1. 高斯-克呂格投影和曲紋座標系

　　十八世紀末及十九世紀初，頻繁的拿破崙戰爭和歐洲經濟的發展迫切需要繪製精確的地圖，於是歐洲各國開始有計劃地實施本國領域的大地測量工作。 1817 年，漢諾威政府命令高斯精確測量從哥廷根到奧爾頓子午線的弧長，並繪製奧爾頓的地圖，這使得高斯轉向大地測量學的問題與實踐。高斯在繪製地圖中創造了高斯-克呂格投影，這是一種等角橫軸切橢圓柱投影，它假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各 3°或 1.5°經線範圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然後將橢圓柱面展開成平面。

　　採用分帶投影的方法，是為了使投影邊緣的變形不致過大。當大的控制網跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面座標的鄰帶換算。高斯-克呂格投影相當於把地球表面看成是一塊塊平面拼起來的，並且相鄰投影帶的座標可以進行換算。這種繪製地圖的方式給出了“流形”這個數學概念的雛形。

　　大地測量的實踐導致了高斯曲面論研究的豐富成果。由於地球表面是個兩極稍扁的不規則橢球面，繪製地圖實際上就是尋找一般曲面到平面的保角對映。高斯利用複變函式，得出兩個曲面之間存在保角對映的充要條件是兩個曲面的第一類基本量成比例。高斯關於這一成果的論文《將一給定曲面投影到另一曲面而保持無窮小部分相似性的一般方法》使他獲得了 1823 年哥本哈根科學院的大獎，也使他注意到當比例常數為 1 時，一個曲面可以完全展開到另一個曲面上。高斯意識到這個成果的重要性，在論文的標題下面寫下了一句話：“這些結果為重大的理論鋪平了道路。 ”〔8〕189這裡重大的理論就是高斯後來建立的內蘊幾何學。

　　全面展開高斯的內蘊幾何思想的是他 1827 年的論文《關於曲面的一般研究》，這是曲面論建立的標誌性論述。〔2〕163高斯在這篇文章中有兩個重要創舉：第一，高斯曲率只依賴於曲面的度量，即曲面的第一基本形式;第二，測地三角形內角和不一定等於 180°，它依賴於三角形區域的曲率積分。高斯的發現表明，至少在二維情況下可以構想一種只依賴於第一基本形式的幾何，即曲面本身就是一個空間而不需要嵌入到高維空間中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在這兩篇論文中都使用曲紋座標***u,v***表示曲面上的一個點，這相當於建立了曲面上的區域性座標系。突破笛卡爾直角座標的侷限性是高斯邁出的重要一步，但問題是：曲紋座標只適用於曲面的區域性，如果想使曲面上所有的點都有座標表示，就需要在曲面上建立若干個區域性座標系，那麼這些座標系是否彼此協調一致? 這是高斯的幾何的基礎。高斯當時不具備足夠的數學工具來發展他的幾何構想，但高斯對空間的認識深刻地影響了黎曼。

　　2. 黎曼的“關於幾何基礎的假設”

　　黎曼在 1851 年的博士論文《單複變函式的一般理論》中，為研究多值解析函式曾使用黎曼面的概念，也就是一維複流形，但流形是什麼還沒有定義。在高斯的幾何思想和赫巴特***J.F.Herbart,1776-1841***的哲學思想的影響下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了著名演講《關於幾何基礎的假設》，演講中他分析了幾何的全部假設，建立了現代的幾何觀。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 維流形的概念，第二部分是適用於流形的度量關係，第三部分是對空間的應用。

　　黎曼在開篇中提到：“幾何學事先設定了空間的概念，並假設了空間中各種建構的基本原則。關於這些概念，只有敘述性的定義，重要的特徵則以公設的形態出現。這些假設***諸如空間的概念及其基本性質***彼此之間的關係尚屬一篇空白;我們看不出這些概念之間是否需要有某種程度的關聯，相關到什麼地步，甚至不知道是否能匯出任何的相關性。從歐幾里得到幾何學最著名的變革家雷建德，這一領域無論是數學家還是哲學家都無法打破這個僵局。這無疑是因為大家對於多元延伸量的概念仍一無所知。因此我首先要從一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411從開篇中我們可以看到黎曼演講的目的所在：

　　建立空間的概念，因為這是幾何研究的基礎。黎曼為什麼要建立空間的概念? 這與當時非歐幾何的發展有很大關係。羅巴切夫斯基***N.L.Lobatchevsky,1793-1856*** 和波約 ***J.Bolyai,1802-1860*** 已經公開發表了他們的非歐幾何論文，高斯沒有公開主張非歐幾何的存在，但他內心是承認非歐幾何並做過深入思考的。然而就整個社會而言，非歐幾何尚未完全被人們接受。黎曼的目的之一，是以澄清空間是什麼這個問題來統一已經出現的各種幾何;並且不止如此，黎曼主張一種幾何學的全域性觀：作為任何種類的空間裡任意維度的流形研究。

　　黎曼在第一部分中引入了 n 維流形的概念。他稱 n 維流形為 n 元延伸量，把流形分為連續流形與離散流形，他的研究重點是把連續流形的理論分為兩個層次，一種是與位置相關的區域關係，另一種是與位置無關的大小關係。用現代術語來講，前者是拓撲的理論，後者是度量的理論。黎曼是如何構造流形呢?他的造法類似於歸納法，n+1 維流形是通過 n 維流形同一維流形遞迴地構造出來的; 反過來，低維流形可以通過高維流形固定某些數量簡縮而成。這樣每一個 n 維流形就有 n 個自由度，流形上每一點的位置可以用 n 個數值來表示，這 n 個數值就確定了一個點的區域性座標。黎曼這種構造流形的方法顯然是受到赫巴特的影響。赫巴特在《論物體的空間》中提到：

　　“ 從一個維度前進到另一個維度所依據的方法，很明顯是一個始終可以繼續發展的方法，然而現在還沒有人會想到按空間的第三個維度去假設空間的第四個維度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的啟發並突破了三維的限制按遞迴的方法構造了 n 維流形，這種構造方法體現了幾何語言高維化的發展趨勢。從本質上講，黎曼的 “流形” 概念與當時格拉斯曼 ***H. G.Grassmann,1809-1877*** 的 “ 擴張 ” 概念和施萊夫利***L. Schlafli,1814-1895***的 “連續體 ”概念基本一致 .〔6〕83流形應具有哪些特徵呢? 黎曼提到：

　　“把由一個標記或者由一條邊界確定的流形中的特殊部分稱為量塊***Quanta***，這些量塊間數量的比較在離散情形由數數給出，在連續情形由測量給出。測量要求參與比較的量能夠迭加，這就要求選出一個量，作為其他量的測量標準。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量塊體現了現在拓撲學中的鄰域概念的特徵，“參與比較的量能夠迭加”則是要求兩個量塊重疊的部分有統一的測量標準，即保證任意兩個區域性座標系的相容性，這在後來由希爾伯特發展為 n 維流形區域性與 n 維歐氏空間的同胚。黎曼這種引入點的座標的方法並不是很清晰的，這種不清晰來自他缺乏用鄰域或開集來覆蓋流形進而建立區域性座標系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼討論了流形上容許的度量關係。他在流形的每一點賦予一個正定二次型，藉助高斯曲率給出相應的黎曼曲率概念。進一步，黎曼陳述了一系列曲率與度量的關係。曲面上的度量概念，等價於在每一點定義一個正定的二次型，亦稱為曲面的第一基本形式。自高斯以來，第一基本形式的內蘊幾何學幾乎一直佔據著微分幾何的中心位置。從後來的希爾伯特和外爾的流形的定義可看出，他們都延續了高斯的內蘊幾何思想。

　　3. 希爾伯特的公理化方法

　　從 19 世紀 70 年代起，康托爾***G. Cantor,1845-1918***通過系統地研究歐幾里得空間的點集理論，創立了一般集合論，給出了許多拓撲學中的概念。康托爾的研究為點集拓撲學的誕生奠定了基礎，這使得希爾伯特能夠利用一種更接近於拓撲空間的現代語言發展流形的概念。希爾伯特在 1902 年的著作《幾何基礎》中引進了一個更抽象的公理化系統，不但改良了傳統的歐幾里得的《幾何原本》，而且把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。在這部著作中他嘗試以鄰域定義二維流形***希爾伯特稱之為平面，而把歐氏平面稱為數平面***，提出了二維流形的公理化定義：

　　“平面是以點為物件的幾何，每一點 A 確定包含該點的某些子集，並將它們叫做點的鄰域。

　　***1*** 一個鄰域中的點總能對映到數平面上某單連通區域，在此方式下它們有唯一的逆。這個單連通區域稱為鄰域的像。

　　***2***含於一個鄰域的像之中而點 A 的像在其內部的每個單連通區域，仍是點 A 的一個鄰域的像。若給同一鄰域以不同的像，則由一個單連通區域到另一個單連通區域之間的一一變換是連續的。

　　***3***如果 B 是 A 的一個鄰域中的任一點 ,則此鄰域也是 B 的一個鄰域。

　　***4***對於一點 A 的任意兩個鄰域 ,則存在 A 的第三個鄰域，它是前兩個鄰域的公共鄰域。

　　***5***如果 A 和 B 是平面上任意兩點 ,則總存在A 的一個鄰域它也包含 B. ”

　　〔12〕150可以看出在希爾伯特的定義中，***1***和***2***意味著在平面***二維流形***的任意一點的鄰域到數平面***歐氏平面***的某單連通區域上都能建立同胚對映。 ***3***-***5***意圖是要在平面***二維流形***上從鄰域的角度建立拓撲結構。希爾伯特的定義延續了黎曼指明的兩個方向：流形在區域性上是歐氏的***這一點黎曼已經以量塊迭加的方式提出***，在整體上存在一個拓撲結構。這個拓撲結構希爾伯特顯然要以公理的方法建立 ***這一工作後來由豪斯道夫完成，豪斯道夫發展了希爾伯特和外爾的公理化方法，在 1914 年的著作《集論基礎》中以鄰域公理第一次定義了拓撲空間***，〔13〕249但與豪斯道夫的鄰域公理相比，他的定義還不完善，比如***3***中描述的實際上是開鄰域。另外，他沒有提流形須是一個豪斯道夫空間。希爾伯特已經勾勒出流形的基本框架，隨著拓撲學的發展，外爾完善了希爾伯特的工作，給出了流形的現代形式的定義。

　　4. 外爾對流形的現代形式的定義

　　外爾是希爾伯特的學生，是二十世紀上半葉最偉大的數學家、物理學家和哲學家之一。從 1911 到1912 年，外爾在哥廷根大學開設一門黎曼函式論的課程，他發現黎曼面還沒有一個恰當的定義，以前的研究都依靠直觀，許多證明也不嚴格，於是他決心利用希爾伯特公理化的方法改造函式論，這首先要給黎曼面一個嚴格的、內在的拓撲定義。〔14〕63外爾在查閱了希爾伯特的論文後，並利用了布勞威爾***L.E.Brouwer,1881-1966***關於 n 維空間的開集間的雙連續對映下的維數不變性的結果，於 1913 年首先在他的名著《黎曼面的思想》中內在地定義了二維流形，這成為日後定義微分流形的基礎。

　　下面是外爾給出的二維流形的定義：

　　“定義：稱 F 是一個二維流形，若滿足以下條件：

　　***a*** 給定一個稱為”流形 F 上的點“的集合，對於流形 F 中的每一點 p,F 的特定的子集稱為 F 上點 p 的鄰域。點 p 的每一鄰域都包含點 p,並且對於點 p 的任意兩個鄰域，都存在點 p 的一個鄰域包含於點 p 的那兩個鄰域中的每一個之內。如果 U0是點 p0的一個鄰域，並且點 p 在 U0內，那麼存在點 p的一個鄰域包含於 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的兩個點，那麼存在 p0的一個鄰域和 p1的一個鄰域使這兩個鄰域無交，也就是這兩個鄰域沒有公共點。

　　***b*** 對於流形 F 中每一定點 p0的每一個鄰域U0,存在一個從 U0到歐氏平面的單位圓盤 K0***平面上具有笛卡爾座標 x 和 y 的單位圓盤 x2+y2<1***內的一一對映，滿足***1***p0對應到單位圓盤的中心;***2***如果 p 是鄰域 U0的任意點，U 是點 p 的鄰域且僅由鄰域 U0的點組成，那麼存在一個以 p 的像 p′作為中心的圓盤 K, 使得圓盤 K 中的每一點都是 U中一個點的像;***3***如果 K 是包含於圓盤 K0中的一個圓盤，中心為 p′，那麼存在流形 F 上的點 p 的鄰域 U,它的像包含於 K. ”〔15〕17可以看出，***a***從鄰域基的角度定義了 F 是一個豪斯道夫空間。 ***b***中的對映為一一的、雙向連續的***即同胚***對映，這樣***b***定義了 F 中任意一點都有一個鄰域同胚於歐氏空間中的一個開集。外爾給出的這個定義正是現代形式的流形的定義，儘管外爾的定義是針對二維的情形，但本質上給出了流形精確的數學語言的定義，並且推廣到高維沒有任何困難。

　　一般認為，高維流形的公理化定義由維布倫***O.Veblen,1880-1960*** 和懷特黑德 ***A.N.Whitehead,1861-1947***於 1931 和 1932 年給出，即把流形作為帶有最大座標卡集和局域座標連續以及各階可微變換的點集。實際上，這種看法沒有足夠重視外爾1919 年對黎曼講演的註釋，特別是未能利用外爾1925 年的長文《黎曼幾何思想》。事實上，除了未對高階微分結構予以明確區分外，外爾的註釋和長文中實質上包含了高維微分流形的定義。

　　三、流形理論的發展

　　我們上面提到的流形指拓撲流形，它的定義很簡單，但很難在它上面工作，拓撲流形的一種---微分流形的應用範圍較廣。微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究物件，是三維歐氏空間中曲線和曲面概念的推廣。可以在微分流形上賦予不同的幾何結構***即一些特殊的張量場***，對微分流形上不同的幾何結構的研究就形成了微分幾何不同的分支。常見的有：

　　1. 黎曼度量和黎曼幾何

　　仿緊微分流形均可賦予黎曼度量，且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度、面積、體積等幾何量，這種幾何稱為黎曼幾何。黎曼這篇《關於幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來，黎曼幾何只限於小範圍的理論。大約在 1925 年霍普夫***H.Hopf,1894-1971***才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關係進行研究。隨著微分流形精確概念的確立，特別是嘉當***J.Cartan,1869-1951***在 20世紀 20 年代開創並發展了外微分形式與活動標架法，李群與黎曼幾何之間的聯絡逐步建立了起來，並由此拓展了線性聯絡及纖維叢的研究。

　　2. 近復結構和復幾何

　　微分流形 M 上的一個近復結構是 M 的切叢TM 的一個自同構，滿足 J·J=-1. 如果近復結構是可積的，那麼就可以找到 M 上的全純座標卡，使得座標變換是全純函式，這時就得到了一個複流形，複流形上的幾何稱為復幾何。

　　3. 辛結構和辛幾何

　　微分流形上的一個辛結構是一個非退化的閉的二次微分形式，這樣的流形稱為辛流形，辛流形上發展起來的幾何稱為辛幾何。與黎曼幾何不同的是，辛幾何是一種不能測量長度卻可以測量面積的幾何，而且辛流形上並沒有類似於黎曼幾何中曲率這樣的區域性概念，這使得辛幾何的研究帶有很大的整體性。辛幾何與數學中的代數幾何，數學物理，幾何拓撲等領域有很重要的聯絡。

　　四、結語

　　以上談到的是流形的公理化定義的發展歷史，其線索可概括為高斯---黎曼---希爾伯特---外爾。導致流形概念誕生的根本原因在於對空間認識的推廣：從平直空間上的幾何，到彎曲空間上的流形概念的歷史演變幾何，再到更抽象的空間---流形上的幾何。流形概念的一步步完善與集合論和拓撲學的發展，特別是鄰域公理的建立密不可分，***微分*** 流形已成為微分幾何與微分拓撲的主要研究物件，並發展成多個分支，如黎曼幾何、復幾何、辛幾何等。所以說，幾何學發展的歷史就是空間觀念變革的歷史，伴隨著一種新的空間觀念的出現和成熟，新的數學就會在這個空間中展開和發展。

　　參考文獻

　　〔1〕陳惠勇。流形概念的起源與發展[J].太原理工大學學報，2007***3***：53-57.

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　　〔3〕 E.Scholz.The concept of manifold,1850 -1950 [C]//I.M.James.History of Topology. Science Publisheres,1999:25-64.

　　〔4〕 [德]莫里斯·克萊因。古今數學思想：第三冊[M].萬偉勳，石生明，孫樹本，等，譯。上海：上海科學技術出版社，2003.

　　數學史的論文參考範文篇2

　　淺析清末民國對數教育情況

　　6 至 17 世紀，各學科知識高速發展，尤其是天文、航海及近代力學需要進行大量數學計算。為簡化運算，提高運算速度，許多數學家花費了大量心血。蘇格蘭數學家納皮爾等人通過多年的研究，發明了“ 對數”. 這一發明影響深遠，它不僅使“ 天文學家壽命倍增”[1]137*** 拉普拉斯語*** ,也使伽利略“ 利用時間、空間和對數，就可創造一個宇宙”[2]1,更不愧於恩格斯將其列為 17 世紀三大數學發現之一。

　　一、清末對數教育情況

　　清末從同治元年*** 1862***京師同文館設立起，至辛亥革命*** 1911***推翻清政府止，數學教育近代化經歷了近五十年的歷程。在此過程中，前期表現為數學課程普遍設定並進行了教學方法的改革，後期主要是學制的頒佈與實施及教育行政機構的設立。 1867 年，京師同文館增設天算館。由於沒有頒佈相應的教學大綱或課程標準，但根據《同文館題名錄》所載課程*** 1876***及同文館活字本《算學課藝》的內容可推斷其課程包括代數學、平三角、弧三角等。據《同文館算學課藝》*** 1880***卷二中涉及對數題目 1 道。第 46 題“ 瓜豆共生”,該題與《九章算術》中的“ 蒲莞共生”,“ 兩鼠對穿”同類，但解法卻不是應用盈不足術求解，而改用指數與對數求解[4]46. 此足可說明對數已成為京師同文館的教學內容。

　　清末，教會學校盛行。由傳教士組織的“ 學校教科書委員會”編譯了大量數學教科書，其中《筆算數學》、《代數備旨》、《形學備旨》、《八線備旨》、《代形合參》等書流傳甚廣，且編有細草，編者又不止一人。《八線備旨》四卷，原著美國羅密士，美國傳教士潘慎文選譯，謝洪賚校錄，1894 年出版，美華書館鉛印本。該書流傳版本較多，以1898 年益智書會石印本為例，其凡例稱：原本更有論對數與航海法各一卷都為六卷，但對數已經別譯，而航海又嫌過略，不足以備學者觀覽，姑且從刪;原本後對數、八線、弦切對數等以便檢查[5]1. 此書共四卷，含平三角、量法、測地、弧三角形，是當時的三角學課本，多次重印，影響極大。

　　清代末期是中西數學的融合時期，數學的發展表現出兩個方向：

　　一是西方變數數學的傳入和研究;二是中國傳統數學的繼續研究。這種情形在諸多算學課藝中有所反映，其內容中不僅有中國傳統數學的天元術、勾股術，也有西方傳入的幾何、平面三角、球面三角、指數、對數等。而對數部分內容教學分別散落於代數與三角教學中。即先從代數部分習得對數的相關概念及其運演算法則，後由三角部分再習，主要是用於解三角形，以簡化運算。如《平面三角法新教科書》所言，凡關於三角形問題之解決，而欲得其便捷之計算，莫若用對數[6]78.

　　三角學教科書方面，《新撰平面三角法教科書》[7]33中第三編，對數之性質及用法。介紹了對數定義，對數之性質，對數之指標之定義，對數之假數之定義，對數表之形，比例差，以對數算直角三形之法。《平面三角法講義》[8]86中第六編對數，第七編三角函式真數表及對數表。雖採用了從左至右橫排版，但其中的未知數 x,y,z 用甲、乙、丙代替，字母 A 用呷代替，字母 B 用口字旁加乙字代替，字母 C 用口字旁加丙字代替。正弦等三角函式名稱用正弦、餘弦、正切等代替。如 tanA 用正切呷代替。全書用手寫版，讀起來似為天書。依此看來，數學符號的現代化程序也不是一蹴而就的，其間也有反覆。

　　《三角法教科書》[9]1全書七編。第六編三角形之解法將正弦定理直接改為對數式，沒有介紹對數的相關知識。而在第七編之後專設“ 附錄”重點介紹了對數、對數表用法，三角函式對數表用法，三角函式表用法。附錄之後是附表，給出了 1- 2000 之五位對數表，十分飛三角函式對數表，十分飛三角函式表。代數教科書方面，《中學校數學教科書---代數之部》該書上卷五編，下卷九篇共十四編。其中第十二編為對數。分兩章，第一章為對數，第二章為複利算，年利算。書中原序提到：“ 要目列對數於最後然實有須使早學者故置於級數之後”.“ 學對數表之用法期間甚短若使學者另購對數表殊有未便乃附至 5000 之對數表於卷末而 5000 以上之對數表可依自 500 至 1000之對數表求得之故使學其用法足矣”[10]1.

　　總之，清末時期的對數教育，主要是先從代數中講授，繼之以三角中講授。代數主要講授對數、常用對數的定義，如何求一個數的對數，對數的運演算法則，對數表的用法，用比例法求一個數的對數。三角教科書在引入對數時主要基於以下理由：一是“ 凡數過大，演算時甚為困難，若用對數，則較為便利，用對數可實現加法代乘法，減法代除法，乘法代自乘，除法代開方”[11]98. 二是“ 以對數解三角，大可省實算之勞，故須省對數之性質”[12]38.“ 解三角之問題，便於計算，莫對數若。對數之法，學者於代數學雖已知之。然為應用計，茲再述其大略”[13]78.

　　二、民國對數教育情況

　　1912 年，中華民國成立。同年 9 月頒佈《中學校令》規定中學校修業年限為四年。 12 月公佈《中學校令施行規則》，規定數學宜授以算術、代數、幾何及三角法，女子中學校可減去三角法。 1913 年 3 月《中學校課程標準》中規定第一至三學年習代數，第四學年習平面三角大要。 1922 年頒佈《學校系統改革案》，規定中學校修業六年，分為初高兩級，初級三年，高階三年。 1923 年《新學制課程標準綱要》中規定，代數中習對數。三角中有邊角互求，三角應用大意。《高階中學第二組必修的三角課程綱要》中裡面有對數與對數造表法，航海術等。《高階中學第二組必修的高中代數課程綱要》中規定要學習對數、對數方程式、對數級數。此後的 1929 年亦要求初中三年級代數課學習對數，三角中使用對數。高中仍如 1923 年。 1932 年《初級中學算學課程標準》中規定初中第三學年代數部分學習對數檢查表及應用。將三角部分移至幾可，並要求“ 三角之正式教授，宜移至高中，但三角應用極廣，初中亦不可不知。故宜就例項入手，講授三角函式定義，及三直角三角形解法，簡易測量，餘可從略”[14]231. 1932 年《高階中學算學課程標準》規定第一學年三角部分習對數，測量及航海方面之應用題。第二學年代數中習對數，特性和應用。應用題，造表法略論，表之精確度。 1936 年情形亦如上。

　　1941 年頒佈的《修正初級中學數學課程標準》由於要“ 適應抗戰建國之需要”,教學時數有所減少，內容略有調整。初中不再學習三角，代數也不再學習對數。同年的《修正高階中學數學課程標準》第一學年三角中學習對數理論及應用、三角函式表及三角函式對數表用法。第二學年代數中習對數。同年 9 月，頒佈《六年制中學數學課程標準草案》，規定六年制中學，不分初高中，各科全部課程，均採直徑一貫之編配，並選成績優良學校試點。教材大綱中第三學年代數要求學習對數之特性及其應用，對數表。第五學年習解任意三角形，測量及航海方面之應用題。

　　通過梳理近代以來對數教學情況可以得出以下結論。

　　一是對數作為數學知識引入中國課堂，主要是學習外國的結果。從京師大學堂到癸卯學制，主要是傳教士和中國數學家的貢獻。這一時期，學習、研究的是西方傳入的對數知識。 1904 年後，主要是學習日本。日本通過明治維新，國力日盛，並在甲午戰爭中獲得了勝利。晚清政府和國人意識到了科學教育的重要。大量的留學生趕赴日本，學成之後回國，或著書立說，或投身教育，使得作為“ 西學”的對數順利進入中國課堂，並被大量學生學習。

　　二是對數運算知識主要在代數中學習，對數應用主要在三角中學習，並且初級中學和高階中學均有對數，直到 1941 年才全部移至高中，初中不再學習。翻閱大量的近代代數和三角教科書，我們會發現從對數的定義、性質到對數的使用，教科書的敘述和呈現方式基本相同，似有重複之感。主要是近代的數學課程標準沒有明確學習的程度，所以教學內容更多地依賴於教科書。而教科書編寫者秉承迴圈圓周法編輯教科書，寧可大而全也不肯少而精，主要是一本教科書往往要自成體系，同一知識多次出現在不同級別、不同種類教科書中也就可以理解了。

　　通過梳理對數教育的歷史，我們可以看出近代較為注重對數的應用，如解三角形、航海等方面均利用對數進行求解，而現代教科書則難覓這些。當然時代在進步，科學在發展，有些知識和方法在不斷地更新，我們現在不可能捨易取難，用對數方法去解三角形，但翻閱教科書中對數部分內容，給人的直觀感覺就是應用。學以致用，目的性強，容易引發學生的學習興趣，這點是值得借鑑的。

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