上學期初三年級期中考試試題
不好好學習數學，在中考怎麼取的好的成績哦，今天小編就給大家參考一下九年級數學，有需要的就來看看吧
初三年級數學上期中試題
一.選擇題***共12小題，滿分48分***
1.下列美麗的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數有*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉55°後得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數是*** ***
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函式中，二次函式的是*** ***
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣***x﹣1***2
4.將拋物線y=﹣ x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移後所得到的拋物線解析式是*** ***
A. B.
C. D.
5.拋物線y=ax2+bx+3***a≠0***過A***4，4***，B***2，m***兩點，點B到拋物線對稱軸的距離記為d，滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分，其對稱軸為直線x=2，若其與x軸的一交點為B***6，0***，則由圖象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是*** ***
A.x>6 B.06
7.已知二次函式y=ax2+bx+c中，函式y與自變數x的部分對應值如表，則方程ax2+bx+c=0的一個解的範圍是*** ***
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫座標x，縱座標y的對應值如下表所示：]
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
從上表可知，下列說法中，錯誤的是*** ***
A.拋物線於x軸的一個交點座標為***﹣2，0***
B.拋物線與y軸的交點座標為***0，6***
C.拋物線的對稱軸是直線x=0
D.拋物線在對稱軸左側部分是上升的
9.如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O於B、C點，則BC=*** ***
A. B. C. D.
10.關於x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數根，且較小的根為2，則下列結論：
①2a+b<0;②ab<0;③關於x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數根;
④拋物線y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結論有*** ***
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如圖，函式y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a***a是常數，且a≠0***在同一平面直角座標系的圖象可能是*** ***
A. B.
C. D.
12.如圖，二次函式y=ax2+bx+c***a≠0***的圖 象與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，對稱軸為直線x=﹣1，點B的座標為***1，0***，則下列結論：①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0，其中正確的結論有*** ***個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二.填空題***共6小題，滿分24分，每小題4分***
13.二次函式y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知拋物線y=x2﹣***k﹣1***x﹣3k﹣2與x軸交於A ***α，0***，B***β，0***兩點，且α2+β2=17，則k= .
15.若二次函式y=x2+2m﹣1的圖象經過原點，則m的值是 .
16.將點P***﹣1，3***繞原點順時針旋轉180°後坐標變為 .
17.已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是 cm.
18.“a是 實數，|a|≥0”這一事件是 事件.
三.解答題***共7小題，滿分64分***
19.***10分***已知二次函式y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交於A、B兩點***A在B的左側***，與y軸交於點C，頂點為D.
***1***求出點A、B的座標，並畫出該二次函式的圖象***不需要列表，但是要在圖中標出A、B、C、D***;
***2***設一次函式y2=kx+b的圖象經過B、D兩點，觀察圖象回答：
①當 時，y1、y2都隨x的增大而增大;
②當 時，y1>y2.
20.***10分***如圖，△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=4cm，△ABC逆時針旋轉一定角度後與△ADE重合，且點C恰好成為AD的中點.
***1***指出旋轉中心，並求出旋轉的度數;
***2***求出∠BAE的度數和AE的長.
21.***10分***如圖，在平面直角座標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A***﹣4，2***、B***0，4***、C***0，2***，
***1***畫出△ABC關於點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC，若點A的對應點A2的座標為***0，﹣4***，畫出平移後對應的△A2B2C2;
***2***△A1B1C和△A2B2C2關於某一點成中心對稱，則對稱中心的座標為 .
22.***11分***如圖，在平面直角座標系中，點O為座標原點，已知△ABC三個定點座標分別為A***﹣4，1***，B***﹣3，3***，C***﹣1，2***.
***1***畫出△ABC關於x軸對稱的△A1B1C1，點A，B，C的對稱點分別是點A1、B1、C1，直接寫出點A1，B1，C1的座標：A1*** ， ***，B1*** ， ***，C1*** ， ***;
***2***畫出點C關於y軸的對稱點C2，連線C1C2，CC2，C1C，並直接寫出△CC1C2的面積是 .
23.***11分***如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，CE=2.
***1***求AB的長;
***2***求⊙O的半徑.
24.***12分***如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O為圓心，以OA為半徑的圓分別交AB、AC於點E、D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF.
***1***判斷直線EF與⊙O的位置關係，並說明理由;
***2***若∠A=30°，求證：DG= DA;
***3***若∠A=30°，且圖中陰影部分的面積等於2 ，求⊙O的半徑的長.
25.拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸 交於點A，B***點A在點B的左邊***，與y軸交於點C，點D是該拋物線的頂點.
***1***如圖1，連線CD，求線段CD的長;
***2***如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PF⊥x軸於點F，PF與線段AC交於點E;將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應線段是O1B1，當PE+ EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，並求出對應的點O1的座標;
***3***如圖3，點H是線段AB的中點，連線CH，將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置，再將△O2B2C繞點B2旋轉一週，在旋轉過程中，點O2，C的對應點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與 直線AC，x軸交於點M，N.那麼，在△O2B2C的整個旋轉過程中，是否存在恰當的位置，使△AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空題
13. 4.
14. 2.
15. .
16.***1，﹣3***.
17. 2或14.
18.必然.
三.解答題
19.解：***1***令y1=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A***﹣1，0***，B***3，0***，
令x=0，得y=﹣3，
∴C***0，﹣3***，
﹣ =﹣ =1，
= =﹣4，
∴D***1，﹣4***;
***2***①由題意得，當x>1時y隨x的增大而增大;
②當x<1或x>3時，y1>y2.
故答案為x>1，x<1或x>3.
20.解：***1***∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°，
即∠BAD=140°，
所以旋轉中心為點A，旋轉的度數為140°;
***2***∵△ABC逆時針旋轉一定角度後與△ADE重合，
∴∠EAD=∠BAC=140°，AE=AC，AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°，
∵點C恰好成為AD的中點，
∴AC= AD=2，
∴AE=2.
21.解：***1***△A1B1C如圖所示，
△A2B2C2如圖所示;
***2***如圖，對稱中心為***2，﹣1***.
22.解：***1***如圖所示，△A1B1C1即為所求.
A1***﹣4，﹣1***B1***﹣3，﹣3***，C1***﹣1，﹣2***，
故答案為：﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
***2***如圖所示，△CC1C2的面積是 ×2×4=4，
故答案為：4.
23.解：***1***∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵CE=2，
∴AF=2，
∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴ ，
∴AB=4.
***2***∵AO是⊙O的半徑，AO⊥BC
∴CE=BE=2，
∵AB=4，
∴ ，
∵∠AEB=90°，
∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，
∴cosA= = = ，
∴ ，即⊙O的半徑是 .
24.解：***1***連線 OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切線;
***2***∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED= AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG= DA;
***3***∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵陰影部分的面積= ×r× r﹣ =2 ﹣ π.
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半徑的長為2.
25.解：***1***如圖1，過點D作DK⊥y軸於K，
當x=0時，y= ，
∴C***0， ***，
y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ ***x+ ***2+ ，
∴D***﹣ ， ***，
∴DK= ，CK= ﹣ = ，
∴CD= = = ;
***2***在y=﹣ x2﹣ x+ 中，令 y=0，則﹣ x2﹣ x+ =0，
解得：x1=﹣3 ，x2= ，
∴A***﹣3 ，0***，B*** ，0***，
∵C***0， ***，
易得直線AC的解析式為：y= ，
設E***x， ***，P***x，﹣ x2﹣ x+ ***，
∴PF=﹣ x2﹣ x+ ，EF= ，
Rt△ACO中，AO=3 ，OC= ，
∴AC=2 ，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF= ，
∴PE+ EC=***﹣ x2﹣ x+ ***﹣*** x+ ***+ ***AC﹣AE***，
=﹣ ﹣ x+ [2 ﹣*** ***]，
=﹣ ﹣ x﹣ x，
=﹣ ***x+2 ***2+ ，***5分***
∴當PE+ EC的值最大時，x=﹣2 ，此時P***﹣2 ， ***，***6分***
∴PC=2 ，
∵O1B1=OB= ，
∴要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，
如圖2，將點P向右平移 個單位長度得點P1***﹣ ， ***，連線P1B1，則PO1=P1B1，
再作點P1關於x軸的對稱點P2***﹣ ，﹣ ***，則P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴連線P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，
∴B1***﹣ ，0***，
將B1向左平移 個單位長度即得點O1，
此時PO1+B1C=P2C= = ，
對應的點O1的座標為***﹣ ，0***，***7分***
∴四邊形PO1B1C周長的最小 值為 +3 ;***8分***
***3***O2M的長度為 或 或2 + 或2 .***12分***
理由是：如圖3，∵H是AB的中點，
∴OH= ，
∵OC= ，
∴CH=BC=2 ，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴將CO沿CH對摺後落在直線AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2***﹣2 ， ***，
①如圖4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋轉得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
過C1作C1E⊥B2C於E，
∵B2C=B2C1=2 ，
∴ =B2O2，B2E= ，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2 ﹣ ;
②如圖5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C= ，
③如圖6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2 =B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M= AO2= ;
④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC於E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四邊形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2 ， ，
∴EM= ，
∴O2M=EO2+EM=2 + ，
綜上所述，O2M的長是 或 或2 + 或2 .
數學九年級上冊期中模擬試卷
一.選擇題***共12小題，滿分48分***
1.下列美麗的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數有*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉55°後得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數是*** ***
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函式中，二次函式的是*** ***
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣***x﹣1***2
4.將拋物線y=﹣x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移後所得到的拋物線解析式是*** ***
A. B.
C. D.
5.拋物線y=ax2+bx+3***a≠0***過A***4，4***，B***2，m***兩點，點B到拋物線對稱軸的距離記為d，滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分，其對稱軸為直線x=2，若其與x軸的一交點為B***6，0***，則由圖象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是*** ***
A.x>6 B.06
7.已知二次函式y=ax2+bx+c中，函式y與自變數x的部分對應值如表，則方程ax2+bx+c=0的一個解的範圍是*** ***
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫座標x，縱座標y的對應值如下表所示
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
從上表可知，下列說法中，錯誤的是*** ***
A.拋物線於x軸的一個交點座標為***﹣2，0***
B.拋物線與y軸的交點座標為***0，6***
C.拋物線的對稱軸是直線x=0
D.拋物線在對稱軸左側部分是上升的
9.如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O於B、C點，則BC=*** ***
A. B. C. D.
10.關於x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數根，且較小的根為2，則下列結論：
①2a+b<0;②ab<0;③關於x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數根;
④拋物線y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結論有*** ***
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如圖，函式y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a***a是常數，且a≠0***在同一平面直角座標系的圖象可能是*** ***
A. B.
C. D.
12.如圖，二次函式y=ax2+bx+c***a≠0***的圖象與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，對稱軸為直線x=﹣1，點B的座標為***1，0***，則下列結論：①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0，其中正確的結論有*** ***個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二.填空題***共6小題，滿分24分，每小題4分***
13.二次函式y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知拋物線y=x2﹣***k﹣1***x﹣3k﹣2與x軸交於A ***α，0***，B***β，0***兩點，且α2+β2=17，則k= .
15.若二次函式y=x2+2m﹣1的圖象經過原點，則m的值是 .
16.將點P***﹣1，3***繞原點順時針旋轉180°後坐標變為 .
17.已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是 cm.
18.“a是實數，|a|≥0”這一事件是 事件.
三.解答題***共7小題，滿分64分***
19.***10分***已知二次函式y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交於A、B兩點***A在B的左側***，與y軸交於點C，頂點為D.
***1***求出點A、B的座標，並畫出該二次函式的圖象***不需要列表，但是要在圖中標出A、B、C、D***;
***2***設一次函式y2=kx+b的圖象經過B、D兩點，觀察圖象回答：
①當 時，y1、y2都隨x的增大而增大;
②當 時，y1>y2.
20.***10分***如圖，△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=4cm，△ABC逆時針旋轉一定角度後與△ADE重合，且點C恰好成為AD的中點.
***1***指出旋轉中心，並求出旋轉的度數;
***2***求出∠BAE的度數和AE的長.
21.***10分***如圖，在平面直角座標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A***﹣4，2***、B***0，4***、C***0，2***，
***1***畫出△ABC關於點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC，若點A的對應點A2的座標為***0，﹣4***，畫出平移後對應的△A2B2C2;
***2***△A1B1C和△A2B2C2關於某一點成中心對稱，則對稱中心的座標為 .
22.***11分***如圖，在平面直角座標系中，點O為座標原點，已知△ABC三個定點座標分別為A***﹣4，1***，B***﹣3，3***，C***﹣1，2***.
***1***畫出△ABC關於x軸對稱的△A1B1C1，點A，B，C的對稱點分別是點A1、B1、C1，直接寫出點A1，B1，C1的座標：A1*** ， ***，B1*** ， ***，C1*** ， ***;
***2***畫出點C關於y軸的對稱點C2，連線C1C2，CC2，C1C，並直接寫出△CC1C2的面積是 .
23.***11分***如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，CE=2.
***1***求AB的長;
***2***求⊙O的半徑.
24.***12分***如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O為圓心，以OA為半徑的圓分別交AB、AC於點E、D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF.
***1***判斷直線EF與⊙O的位置關係，並說明理由;
***2***若∠A=30°，求證：DG=DA;
***3***若∠A=30°，且圖中陰影部分的面積等於2，求⊙O的半徑的長.
25.拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交於點A，B***點A在點B的左邊***，與y軸交於點C，點D是該拋物線的頂點.
***1***如圖1，連線CD，求線段CD的長;
***2***如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PF⊥x軸於點F，PF與線段AC交於點E;將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應線段是O1B1，當PE+EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，並求出對應的點O1的座標;[來源:學#科#網]
***3***如圖3，點H是線段AB的中點，連線CH，將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置，再將△O2B2C繞點B2旋轉一週，在旋轉過程中，點O2，C的對應點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與直線AC，x軸交於點M，N.那麼，在△O2B2C的整個旋轉過程中，是否存在恰當的位置，使△AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空題
13. 4.
三.解答題
19.解：***1***令y1=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A***﹣1，0***，B***3，0***，
令x=0，得y=﹣3，
∴C***0，﹣3***，
﹣=﹣=1，
==﹣4，
∴D***1，﹣4***;
***2***①由題意得，當x>1時y隨x的增大而增大;
②當x<1或x>3時，y1>y2.
故答案為x>1，x<1或x>3.
20.解：***1***∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°，
即∠BAD=140°，
所以旋轉中心為點A，旋轉的度數為140°;
***2***∵△ABC逆時針旋轉一定角度後與△ADE重合，
∴∠EAD=∠BAC=140°，AE=AC，AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°，
∵點C恰好成為AD的中點，
∴AC=AD=2，
∴AE=2.
21.解：***1***△A1B1C如圖所示，
△A2B2C2如圖所示;
***2***如圖，對稱中心為***2，﹣1***.
22.解：***1***如圖所示，△A1B1C1即為所求.
A1***﹣4，﹣1***B1***﹣3，﹣3***，C1***﹣1，﹣2***，
故答案為：﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
***2***如圖所示，△CC1C2的面積是×2×4=4，
故答案為：4.
23.解：***1***∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵CE=2，
∴AF=2，
∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴，
∴AB=4.
***2***∵AO是⊙O的半徑，AO⊥BC
∴CE=BE=2，
∵AB=4，
∴，
∵∠AEB=90°，
∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，
∴cosA===，
∴，即⊙O的半徑是.
24.解：***1***連線OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切線;
***2***∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED=AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG=DA;
***3***∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵陰影部分的面積=×r×r﹣=2﹣π.
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半徑的長為2.
25.解：***1***如圖1，過點D作DK⊥y軸於K，
當x=0時，y=，
∴C***0，***，
y=﹣x2﹣x+=﹣***x+***2+，
∴D***﹣，***，
∴DK=，CK=﹣=，
∴CD===;
***2***在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，則﹣x2﹣x+=0，
解得：x1=﹣3，x2=，
∴A***﹣3，0***，B***，0***，
∵C***0，***，
易得直線AC的解析式為：y=，
設E***x，***，P***x，﹣x2﹣x+***，
∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=，
∴PE+EC=***﹣x2﹣x+***﹣***x+***+***AC﹣AE***，
=﹣﹣x+ [2﹣******]，
=﹣﹣x﹣x，
=﹣***x+2***2+，***5分***
∴當PE+EC的值最大時，x=﹣2，此時P***﹣2，***，***6分***
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，
如圖2，將點P向右平移個單位長度得點P1***﹣，***，連線P1B1，則PO1=P1B1，
再作點P1關於x軸的對稱點P2***﹣，﹣***，則P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴連線P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，
∴B1***﹣，0***，
將B1向左平移個單位長度即得點O1，
此時PO1+B1C=P2C==，
對應的點O1的座標為***﹣，0***，***7分***
∴四邊形PO1B1C周長的最小值為+3;***8分***
***3***O2M的長度為或或2+或2.***12分***
理由是：如圖3，∵H是AB的中點，
∴OH=，
∵OC=，
∴CH=BC=2，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴將CO沿CH對摺後落在直線AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2***﹣2，***，
①如圖4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋轉得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
過C1作C1E⊥B2C於E，
∵B2C=B2C1=2，
∴=B2O2，B2E=，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣;
②如圖5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C=，
③如圖6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M=AO2=;
④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC於E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四邊形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2，，
∴EM=，
∴O2M=EO2+EM=2+，
綜上所述，O2M的長是或或2+或2.
九年級數學上冊期中試題參考
一.選擇題***共10小題，滿分30分***
1.下面給出的是一些產品的圖案，從幾何圖形的角度看，這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是*** ***
A. B.
C. D.
2.點A***a，3***與點B***﹣4，b***關於原點對稱，則a+b=*** ***
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時，變形正確的方程為*** ***
A.***x+3***2=14 B.***x﹣3***2=14 C.***x+6***2=4 D.***x﹣6***2=4
4.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，則+的值是*** ***
A. B.﹣ C.﹣ D.
5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位後，得到新拋物線的解析式為*** ***
A.y=***x﹣8***2+5 B.y=***x﹣4***2+5
C.y=***x﹣8***2+3 D.y=***x﹣4***2+3
6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A***﹣4，y1***、B***2，y2***、C***3，y3***三點，若拋物線開口向下，則y1、y2和y3的大小關係為*** ***
A.y1
7.設A***﹣2，y1***，B***1，y2***，C***2，y3***是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點，則y1，y2，y3的大小關係為*** ***
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
8.如圖，△ABC中，BC=8，AD是中線，將△ADC沿AD摺疊至△ADC′，發現CD與摺痕的夾角是60°，則點B到C′的距離是*** ***
A.4 B. C. D.3
9.一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數小4，若設個位數字為a，則可列方程為*** ***
A.a2***a﹣4***2=10***a﹣4***+a﹣4
B.a2+***a+4***2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+***a+4***2=10***a+4***+a﹣4
D.a2+***a﹣4***2=10a+***a﹣4***﹣4
10.已知兩點A***﹣5，y1***，B***3，y2***均在拋物線y=ax2+bx+c***a≠0***上，點C***x0，y0***是該拋物線的頂點.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
二.填空題***共6小題，滿分18分，每小題3分***
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1，則a+b= .
12.如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉35°，得到△A′B′C，A′B′交AC於點D，若∠A′DC=90°，則∠A= °.
13.若二次函式y=***2﹣m***x|m|﹣3 的圖象開口向下，則m的值為 .
14.若關於x的一元二次方程***k﹣1***x2+6x+3=0有實數根，則實數k的取值範圍為 .
15.從地面豎直向上丟擲一小球，小球的高度h***單位：米***與小球運動時間t***單位：秒***的函式關係式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米，則小球的運動時間為 .
16.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A順時針旋轉90°後，得到△ACF，連線DF，下列結論中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有 ***填序號***
三.解答題***共9小題，滿分74分***
17.解方程：x2﹣4x﹣5=0.
18.如圖，畫出△ABC關於原點O對稱的△A1B1C1，並寫出點A1，B1，C1的座標.
19.淮北市某中學七年級一位同學不幸得了重病，牽動了全校師生的心，該校開展了“獻愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
***1***如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率;
***2***按照***1***中收到捐款的增長速度，第四天該校能收到多少捐款?
20.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E，F分別在邊AB和BC上，△DCM是由△ADE逆時針旋轉得到的圖形.
***Ⅰ***旋轉中心是點 .
***Ⅱ***旋轉角是 度，∠EDM= 度.
***Ⅲ***若∠EDF=45°，求證△EDF≌△MDF，並求此時△BEF的周長.
21.從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做，只以甲題計分.
題甲：若關於x一元二次方程x2﹣2***2﹣k***x+k2+12=0有實數根a，β.
***1***求實數k的取值範圍;
***2***設，求t的最小值.
題乙：如圖所示，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連線DP並延長，交AB的延長線於點Q.
***1***若=，求的值;
***2***若點P為BC邊上的任意一點，求證：﹣=.
我選做的是 題.
22.小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼檯燈.銷售過程中發現，每月銷售量y***件***與銷售單價x***元***之間的關係可近似的看作一次函式：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低於成本價，而每件的利潤不高於成本價的60%.
***1***設小明每月獲得利潤為w***元***，求每月獲得利潤w***元***與銷售單價x***元***之間的函式關係式，並確定自變數x的取值範圍.
***2***當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
***3***如果小明想要每月獲得的利潤不低於2000元，那麼小明每月的成本最少需要多少元?***成本=進價×銷售量***
23.***12分***如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交於A、B兩點.
***1***拋物線與x軸的交點座標為 ;
***2***設***1***中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什麼位置時，滿足S△PAB=6，並求出此時P點的座標.
24.如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸於點C.A***1，1***、B***3，1***.動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直於直線OA，垂足為Q，設P點移動的時間為t秒***0
***1***求經過O、A、B三點的拋物線解析式;
***2***求S與t的函式關係式;
***3***將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在，直接寫出t的值;若不存在，請說明理由.
25.已知：二次函式y=ax2﹣2x+c的圖象與x於A、B，A在點B的左側***，與y軸交於點C，對稱軸是直線x=1，平移一個單位後經過座標原點O
***1***求這個二次函式的解析式;
***2***直線交y軸於D點，E為拋物線頂點.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值;
***3***在***2***問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側的拋物線上是否存在點M，使得△BDM的面積等於PA2?若存在，求出點M的座標;若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1.下面給出的是一些產品的圖案，從幾何圖形的角度看，這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是*** ***
A. B.
C. D.
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形;
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形;
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形;
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.
故選：C.
2.點A***a，3***與點B***﹣4，b***關於原點對稱，則a+b=*** ***
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
【解答】解：∵點A***a，3***與點B***﹣4，b***關於原點對稱，
∴a=4，b=﹣3，
∴a+b=1，
故選：D.
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時，變形正確的方程為*** ***
A.***x+3***2=14 B.***x﹣3***2=14 C.***x+6***2=4 D.***x﹣6***2=4
【解答】解：方程移項得：x2+6x=5，
配方得：x2+6x+9=14，即***x+3***2=14，
故選：A.
4.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，則+的值是*** ***
A. B.﹣ C.﹣ D.
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣.
故選：C.
5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位後，得到新拋物線的解析式為*** ***
A.y=***x﹣8***2+5 B.y=***x﹣4***2+5
C.y=***x﹣8***2+3 D.y=***x﹣4***2+3
【解答】解：y=x2﹣6x+21
=***x2﹣12x***+21
= [***x﹣6***2﹣36]+21
=***x﹣6***2+3，
故y=***x﹣6***2+3，向左平移2個單位後，
得到新拋物線的解析式為：y=***x﹣4***2+3.
故選：D.
6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A***﹣4，y1***、B***2，y2***、C***3，y3***三點，若拋物線開口向下，則y1、y2和y3的大小關係為*** ***
A.y1
【解答】解：
∵A***﹣4，y1***、B***2，y2***、C***3，y3***三點在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上，
∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7，y2=4a﹣4a﹣7=﹣7，y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7，
∵拋物線開口向下，
∴a<0，
∴24a<3a<0，
∴24a﹣7<3a﹣7<﹣7，
∴y1
故選：A.
7.設A***﹣2，y1***，B***1，y2***，C***2，y3***是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點，則y1，y2，y3的大小關係為*** ***
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
【解答】解：
∵A***﹣2，y1***，B***1，y2***，C***2，y3***是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點，
∴y1=﹣***﹣2***2﹣2×***﹣2***+2=2，y2=﹣1﹣2+2=﹣1，y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6，
∴y1>y2>y3，
故選：A.
8.如圖，△ABC中，BC=8，AD是中線，將△ADC沿AD摺疊至△ADC′，發現CD與摺痕的夾角是60°，則點B到C′的距離是*** ***
A.4 B. C. D.3
【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AD是中線，
∴BD=DC=4，
∵將△ADC沿AD摺疊至△ADC′，發現CD與摺痕的夾角是60°，
∴∠C′DA=∠ADC=60°，DC=DC′，
∴∠C′DB=60°，
∴△BDC′是等邊三角形，
∴BC′=BD=DC′=4.
故選：A.
9.一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數小4，若設個位數字為a，則可列方程為*** ***
A.a2***a﹣4***2=10***a﹣4***+a﹣4
B.a2+***a+4***2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+***a+4***2=10***a+4***+a﹣4
D.a2+***a﹣4***2=10a+***a﹣4***﹣4
【解答】解：依題意得：十位數字為：a+4，這個數為：a+10***x+4***
這兩個數的平方和為：a2+***a+4***2，
∵兩數相差4，
∴a2+***a+4***2=10***a+4***+a﹣4.
故選：C.
10.已知兩點A***﹣5，y1***，B***3，y2***均在拋物線y=ax2+bx+c***a≠0***上，點C***x0，y0***是該拋物線的頂點.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
【解答】解：∵點C***x0，y0***是該拋物線的頂點.且y1
∴a<0，x0﹣***﹣5***>|3﹣x0|，
∴x0>﹣1.
故選：A.
二.填空題***共6小題，滿分18分，每小題3分***
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1，則a+b= 2018 .
【解答】解：把x=﹣1代入方程有：
a+b﹣2018=0，
即a+b=2018.
故答案是：2018.
12.如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉35°，得到△A′B′C，A′B′交AC於點D，若∠A′DC=90°，則∠A= 55 °.
【解答】解：∵三角形△ABC繞著點C時針旋轉35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的對應角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°;
故答案為：55°.
13.若二次函式y=***2﹣m***x|m|﹣3 的圖象開口向下，則m的值為 5 .
【解答】解：
∵y=***2﹣m***x|m|﹣3 是二次函式，
∴|m|﹣3=2，解得m=5或m=﹣5，
∵拋物線圖象開口向下，
∴2﹣m<0，解得m>2，
∴m=5，
故答案為：5.
14.若關於x的一元二次方程***k﹣1***x2+6x+3=0有實數根，則實數k的取值範圍為 k≤4且k≠1 .
【解答】解：∵關於x的一元二次方程***k﹣1***x2+6x+3=0有實數根，
∴，
解得：k≤4且k≠1.
故答案為：k≤4且k≠1.
15.從地面豎直向上丟擲一小球，小球的高度h***單位：米***與小球運動時間t***單位：秒***的函式關係式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米，則小球的運動時間為 1s .
【解答】解：由題意知，
小球的高度h與小球運動時間t的函式關係式是：
h=9.8t﹣4.9t2.
令h=4.9，
解得t=1s，
故答案為：1s.
16.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A順時針旋轉90°後，得到△ACF，連線DF，下列結論中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有 ①③④ ***填序號***
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC， ]
∴∠B=∠ACB=45°，
①由旋轉，可知：∠CAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正確;
②由旋轉，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②錯誤;
③∵∠EAD=∠DAF=45°，
∴AD平分∠EAF，故③正確;
④由旋轉可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
即BE2+DC2=DF2，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD***SAS***，
∴DE=DF，
∴BE2+DC2=DE2，
故答案為：①③④.
三.解答題***共9小題，滿分74分***
17.***10分***解方程：x2﹣4x﹣5=0.
【解答】解：***x+1******x﹣5***=0，
則x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5.
18.***9分***如圖，畫出△ABC關於原點O對稱的△A1B1C1，並寫出點A1，B1，C1的座標.
【解答】解：如圖所示，△A1B1C1即為所求，
A1***3，﹣2***，B1***2，1***，C1***﹣2，﹣3***.
19.***9分***淮北市某中學七年級一位同學不幸得了重病，牽動了全校師生的心，該校開展了“獻愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
***1***如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率;
***2***按照***1***中收到捐款的增長速度，第四天該校能收到多少捐款?
【解答】解：***1***捐款增長率為x，根據題意得：
10000***1+x***2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1***捨去***.
則x=0.1=10%.
答：捐款的增長率為10%.
***2***根據題意得：12100×***1+10%***=13310***元***，
答：第四天該校能收到的捐款是13310元.
20.***10分***如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E，F分別在邊AB和BC上，△DCM是由△ADE逆時針旋轉得到的圖形.
***Ⅰ***旋轉中心是點 D .
***Ⅱ***旋轉角是 90 度，∠EDM= 90 度.
***Ⅲ***若∠EDF=45°，求證△EDF≌△MDF，並求此時△BEF的周長.
【解答】解：***Ⅰ***∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉得到的圖形，
∴旋轉中心是點D.
故答案為D;
***Ⅱ***∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉得到的圖形，
∴∠ADC=∠EDM=90°
∴旋轉角是90度，∠EDM=90度.
故答案為90，90;
***Ⅲ***∵∠EDF=45°，∠EDM=90°，
∴∠MDF=45°.
∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉得到的圖形，
∴△DCM≌△DAE，
∴DM=DE，CM=AE.
在△EDF與△MDF中，
，
∴△EDF≌△MDF，
∴EF=MF=MC+CF，
∴△BEF的周長=BE+EF+BF
=BE+MC+CF+BF
=***BE+AE***+***CF+BF***
=AB+BC
=2.
21.***12分***從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做，只以甲題計分.
題甲：若關於x一元二次方程x2﹣2***2﹣k***x+k2+12=0有實數根a，β.
***1***求實數k的取值範圍;
***2***設，求t的最小值.
題乙：如圖所示，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連線DP並延長，交AB的延長線於點Q.
***1***若=，求的值;
***2***若點P為BC邊上的任意一點，求證：﹣=.
我選做的是 甲 題.
【解答】題甲
解：***1***∵一元二次方程x2﹣2***2﹣k***x+k2+12=0有實數根a，β，
∴△≥0，
即4***2﹣k***2﹣4***k2+12***≥0，
得k≤﹣2.
***2***由根與係數的關係得：a+β=﹣[﹣2***2﹣k***]=4﹣2k，
∴，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤<0，
∴，
即t的最小值為﹣4.
題乙：
***1***解：∵AB∥CD，∴==，即CD=3BQ，
∴===;
***2***證明：四邊形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴=
﹣=﹣=1+﹣=1
∴﹣=1.
22.***12分***小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼檯燈.銷售過程中發現，每月銷售量y***件***與銷售單價x***元***之間的關係可近似的看作一次函式：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低於成本價，而每件的利潤不高於成本價的60%.
***1***設小明每月獲得利潤為w***元***，求每月獲得利潤w***元***與銷售單價x***元***之間的函式關係式，並確定自變數x的取值範圍.
***2***當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
***3***如果小明想要每月獲得的利潤不低於2000元，那麼小明每月的成本最少需要多少元?***成本=進價×銷售量***
【解答】解：***1***由題意，得：w=***x﹣20***•y=***x﹣20***•***﹣10x+500***=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000***20≤x≤32***
***2***對於函式w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線.
又∵a=﹣10<0，拋物線開口向下.∴當20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大，
∴當x=32時，W=2160
答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元.
***3***取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解這個方程得：x1=30，x2=40.
∵a=﹣10<0，拋物線開口向下.
∴當30≤x≤40時，w≥2000.
∵20≤x≤32
∴當30≤x≤32時，w≥2000.
設每月的成本為P***元***，由題意，得：P=20***﹣10x+500***=﹣200x+10000
∵k=﹣200<0，
∴P隨x的增大而減小.
∴當x=32時，P的值最小，P最小值=3600.
答：想要每月獲得的利潤不低於2000元，小明每月的成本最少為3600元.
23.***12分***如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交於A、B兩點.
***1***拋物線與x軸的交點座標為 ***﹣1，0***或***3，0*** ;
***2***設***1***中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什麼位置時，滿足S△PAB=6，並求出此時P點的座標.
【解答】解：***1***當y=0時，
x2﹣2x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴拋物線與x軸的交點座標為***﹣1，0***或***3，0***，
故答案為：***﹣1，0***或***3，0***;
***2***∵點A***﹣1，0***，點B***3，0***，y=x2﹣2x﹣3=***x﹣1***2﹣4，
∴此拋物線有最小值，此時y=﹣4，AB=3﹣***﹣1***=4，
∵S△PAB=6，拋物線上有一個動點P，
∴點P的縱座標的絕對值為：，
∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3，
解得，x1=1+，x2=1﹣，x3=0，x4=2，
∴點P的座標為***1+，3***、***1﹣，3***、***0，﹣3***、***2，﹣3***.
24.如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸於點C.A***1，1***、B***3，1***.動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直於直線OA，垂足為Q，設P點移動的時間為t秒***0
***1***求經過O、A、B三點的拋物線解析式;
***2***求S與t的函式關係式;
***3***將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在，直接寫出t的值;若不存在，請說明理由.
【解答】解：***1***解法一：由圖象可知：拋物線經過原點，
設拋物線解析式為y=ax2+bx***a≠0***.
把A***1，1***，B***3，1***代入上式得，
解得，
∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x;
解法二：∵A***1，1***，B***3，1***，∴拋物線的對稱軸是直線x=2.
設拋物線解析式為y=a***x﹣2***2+h***a≠0***，
把O***0，0***，A***1，1***代入得
解得∴所求拋物線解析式為：y=﹣***x﹣2***2+.
***2***分三種情況：
①當0
∵A***1，1***，在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=***t***2=t2.
②當2
作GH⊥x軸於點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S梯形OAGP.
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=***AG+OP***AF=***t+t﹣2***×1=t﹣1.
③當3
重疊部分的面積是S五邊形OAMNC.
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.
∵B***3，1***，OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣***t﹣3***=4﹣t，
∴S=***2+3***×1﹣***4﹣t***2 S=﹣t2+4t﹣;
***3***存在t1=1，t2=2.
將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，此時Q***t+，***，O***t，t***
①當點Q在拋物線上時， =×***t+***2+×***t+***，解得t=2;
②當點O在拋物線上時，t=﹣t2+t，解得t=1.
25.已知：二次函式y=ax2﹣2x+c的圖象與x於A、B，A在點B的左側***，與y軸交於點C，對稱軸是直線x=1，平移一個單位後經過座標原點O
***1***求這個二次函式的解析式;
***2***直線交y軸於D點，E為拋物線頂點.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值;
***3***在***2***問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側的拋物線上是否存在點M，使得△BDM的面積等於PA2?若存在，求出點M的座標;若不存在，請說明理由.
【解答】解：***1***由題意，A***﹣1，0***，
∵對稱軸是直線x=1，
∴B***3，0***;***1分***
把A***﹣1，0***，B***3，0***分別代入y=ax2﹣2x+c
得;***2分***
解得.
∴這個二次函式的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
***2***∵直線與y軸交於D***0，1***，
∴OD=1，
由y=x2﹣2x﹣3=***x﹣1***2﹣4得E***1，﹣4***;
連線CE，過E作EF⊥y軸於F***如圖1***，則EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC==，
;
∴∠BCE=90°=∠BOD，，
，
∴，
∴△BOD∽△BCE，***6分***
∴∠CBE=∠DBO，
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.***7分***
***3***設P***1，n***，
∵PA=PC，
∴PA2=PC2，即***1+1***2+***n﹣0***2=***1+0***2+***n+3***2
解得n=﹣1，
∴PA2=***1+1***2+***﹣1﹣0***2=5，
∴S△EDW=PA2=5;***8分***
法一：設存在符合條件的點M***m，m2﹣2m﹣3***，則m>0，
①當M在直線BD上側時，連線OM***如圖1***，
則S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0，
解得m1=﹣2***捨去***，，
把代入y=m2﹣2m﹣3得;
∴;***10分***
②當M在直線BD下側時，不妨叫M1，連線OM1***如圖1***，
則S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，***捨去***
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1***2，﹣3***;
綜上所述，存在符合條件的點M，其座標為或***2，﹣3***.***12分***
法二：設存在符合條件的點M***m，m2﹣2m﹣3***，則m>0，
①當M在直線BD上側時，過M作MG∥y軸，
交DB於G;***如圖2***
設D、B到MG距離分別為h1，h2，則
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，
即，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0;
解得m1=﹣2***捨去***，;
把代入y=m2﹣2m﹣3
得;
∴.***10分***
②當M在直線BD下側時，不妨叫M1，過M1作M1G1∥y軸，交DB於G1***如圖2***
設D、B到M1G1距離分別為h1、h2，則S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，
即，
，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，***捨去***
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1***2，﹣3***;
綜上所述，存在符合條件的點M，其座標為或***2，﹣3***.***12分***
法三：①當M在直線BD上側時，過M作MH∥BD，交y軸於H，連線BH;***如圖3***
則S△DHB=S△BDM=5，
即，，
∴DH=，
∴;
∴直線MH解析式為;
聯立
得或;
∵M在y軸右側，
∴M座標為.***10分***
②當M在直線BD下側時，不妨叫M1，過M1作M1H1∥BD，交y軸於H1，
連線BH1***如圖3***，同理可得，
∴，
∴直線M1H1解析式為，
聯立
得或;
∵M1在y軸右側，
∴M1座標為***2，﹣3***
綜上所述，存在符合條件的點M，其座標為或***2，﹣3***.***12分***