斯特拉波

[拼音]：weifen liuxing

[外文]：differentiable manifold

一類重要的拓撲空間。它除了具有通常的拓撲結構外，還添上了微分結構。微分幾何學的研究是建立在微分流形上的。三維歐氏空間R3中的曲面是二維的微分流形，但微分流形的概念遠比這廣泛得多，非但維數不限於二維，而且流形也不必作為n維歐氏空間Rn中的曲面來定義。此外，一般微分流形也不一定有距離的概念。

具體說來，設M是一個豪斯多夫拓撲空間。U是M的開集，h是U到n維歐氏空間Rn的開集(常取為單位球內部或立方體內部等等)上的一個同胚對映，則(U，h)稱為一個座標圖，U稱為其中點的一個座標鄰域。設M為開集系{Uα}所覆蓋，即

，則(Uα，hα)的集合稱為M的一個座標圖冊。如果M的座標圖冊中任何兩個座標圖都是Ck相關的，則稱M有Ck微分結構，又稱M為n維的Ck微分流形。Ck相關是指流形M上同一點的不同座標之間的變換關係是Ck可微分的(k=0，1，…，∞或ω)，依通常記號Cw表示解析函式。具體來說， 如p∈Uα∩Uβ，(x

)，(x

)(i=1，…，n)分別是p在兩個座標圖(Uα，hα)，(Uβ，hβ)下的(區域性)座標，即

那麼它們之間的關係式可表為

而ƒ

關於x

（j＝1，2，…，n）具有直到k次的連續導數。k=0時，M是拓撲流形；k>0時，就是微分流形；k=ω時，是解析流形。C∞流形又常稱為光滑流形。

如果微分流形M是一個仿緊或緊緻拓撲空間，則稱M為仿緊或緊緻微分流形。如果可選取座標圖冊使微分流形M中各個座標鄰域之間的座標變換的雅可比行列式都大於零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。

同一拓撲流形可以具有本質上不同的C∞微分結構。J.W.米爾諾對七維球面S7首先發現這個事實， 他證明七維球上可有多種微分結構。近年來，M.弗裡得曼等得出如下的重要結果:四維歐氏空間中也有多種微分結構，這與 n(n≠4)維歐氏空間只有惟一的微分結構有著重大區別。

微分流形上可以定義可微函式、切向量、切向量場、各種張量場等物件並建立其上的分析學。以下的敘述對於Ck流形（k任意）也成立，但是，為了簡單起見，僅就M為C∞流形來敘述。

可微函式

設p∈U，ƒ是M上點p的鄰域中定義的實值函式，(U，h)是C∞座標圖。如果函式ƒ。h-1：h(U)嶅Rn→R在h(p)點是r次連續可微的，則稱ƒ在點p是Cr函式。這個定義與C∞座標圖的取法無關。如果在M上所定義的實值函式ƒ在M的各個點都是Cr的，則稱ƒ為M上的Cr函式。M上的C∞函式全體組成一個實線性空間，記為F(M)。

切向量

設p∈M，M在點p處的一個切向量是指從F（M）到R的一個線性對映x，使得對於任意的ƒ，g∈F(M)，滿足：

對於在p點的切向量x1，x2和實數λ1，λ2，定義λ1x1+λ2x2如下：

那麼，點p處的切向量全體構成一個n維的實線性空間TP，TP稱為在p處M的切空間或切向量空間(也記為TP(M))。如果（x1，x2，…，xn）為點p處的區域性座標系，則由

定義的n個獨立的切向量，構成TP的一組基，稱為自然標架（或座標標架）。M的切向量全體構成以M為底空間的向量叢（見纖維叢），稱為M的切向量叢，簡稱切叢。M的切叢的一個截面稱為M上的一個向量場。在區域性座標系中，向量場可表成

的形式，式中ξi(x)是座標(x)i的C∞函式。

TP的對偶空間稱為M在點p處的餘切空間，記為T壩。T壩中的元素稱為餘切向量，也稱協變向量。M的餘切向量全體構成M的餘切向量叢，簡稱餘切叢，它的截面稱為M上的一次微分形式。

由TP和T壩通過張量積的運算可以得到M在點p處的各種(r，s)型張量，M的(r，s)型的張量全體構成張量叢，它的截面就是M上的一個(r，s)型張量場（見多重線性代數、張量）。

可微對映

設φ是從C∞流形M到C∞流形N 的連續對映，如果對於N上的任意Cr函式ƒ，M上的函式ƒ。φ總是Cr的，則稱φ是Cr可微對映，或簡稱Cr對映。如果φ是從M到N上的同胚，而且φ和φ-1都是C∞的，則稱φ為微分同胚，此時也稱M與N是微分同胚的微分流形。

對映的微分

設φ是從M到N的C∞對映。對M上點p的切向量x可以如下地定義N在點φ(p)處的切向量x┡：

這個對應x→x┡用dφP表示，稱為φ在點p處的微分。微分dφP是從切空間TP(M)到

(N)的線性對映，有時也稱為φ在切空間的誘導對映， 常用φ*P或φ*表示。利用對偶性，φ也自然地誘導了從餘切空間T

到T壩的線性對映，常記為(dφP)*或φ壩或φ*。由張量積運算，φ還可以誘導對應點之間某些張量空間之間的線性對映。

子流形

設M和N是兩個C∞流形，φ：M→N是C∞對映。如果微分dφP在M的每一點都是單射，則稱φ是浸入，而φ(M)稱為N 的浸入子流形。如果浸入φ還是單射，則稱為嵌入，此時φ(M)稱為N的嵌入子流形。

在微分流形上還可以定義外微分形式（見外微分形式）。p次外微分形式

(2)是一些微分的外積的線性組合，這些微分的外積是反對稱的，即

是p階反對稱協變張量，M上p次外微分形式的全體構成一個實數域上的無限維向量空間Ep。對外微分形式可以進行加法運算（同次外微分形式可以相加），外積運算（p次外微分形式與q次外微分形式的外積是一個(p+q)次外微分形式），還可以進行外微分運算及積分運算。在區域性座標下，外微分運算為

(3)

設ω∈Ep且dω =0，則稱ω為閉形式。M上p次閉形式的全體構成Ep的一個子空間記為Zp。設ω∈Ep，且ω=dσ(σ∈Ep-1，則稱ω為正合形式。正合形式一定是閉形式。M上p次正合形式的全體也構成Ep的一個子空間記為

B

B

(4)

稱為p次德·拉姆上同調群(或p次上同調空間)。德·拉姆建立了微分結構與拓撲結構的一個重要關係：設M是緊緻流形，則Hp(M)是有限維的，且其維數等於M的第p個貝蒂數bp。

仿緊微分流形均可賦予適當的黎曼度量（見黎曼幾何學），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，這時稱為黎曼流形。黎曼流形是微分幾何的主要的研究物件。