九州島

[拼音]:xiangliang kongjian

[英文]:vector space

又稱線性空間。在解析幾何學裡引入向量概念後,使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰,在此基礎上的進一步抽象化,形成了與域相聯絡的向量空間概念。向量空間是線性代數的中心內容和基本概念之一。它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

設V是一個非空集合,F是一個域。在V的元素之間定義了所謂加法,即對於V 的任意一對元素

u

v

,V 中有惟一確定的元素與之對應,這個元素稱為

u

v

的和,記作

u

+

v

。在F 的元素與V的元素之間定義了所謂乘法,即對於F的任意元素α與V的任意元素

u

,V中有惟一確定的元素與之對應,這個元素稱為α與

u

的積,記作α

u

。如果所述的加法和乘法滿足以下規則,那麼集合V稱為域F上一個向量空間。

加法的四條規則①結合律,即

u

+(

v

+

w

)=(

u

+

v

)+

w

(2)交換律,即

u

+

v

=

v

+

u

(3)在V中存在一個“零元素”,記作0,對於V的任意元素

u

都有0+

u

=

u

(4)對於V的每一個元素

u

,在V中存在負元素-

u

,使得(-

u

)+

u

=0。

乘法的兩條規則⑤結合律,即(αb)

u

=α(b

u

);

(6)

u

是V中的任意元素,1是F的單位元素,1

u

=

u

加法和乘法的兩條規則 ⑦α(

u

+

v

)=α

u

v

(8)(α+b)

u

u

+b

u

,以上各式中的

u

v

w

是V的任意元素,α、b是F的任意元素。

域F上向量空間V 的元素,稱為向量。V中的零元素,稱為零向量。V的元素

u

的負元素-

u

,稱為

u

的負向量。域F中的元素,稱為純量。

向量空間的加法和乘法表達出向量之間的基本關係。隨著所考慮的物件不同,這兩種運算的定義也不同。例如,令R是實數域,R3是一切三元實陣列所成的集合,即

,加法的定義是

,乘法的定義是

,這裡

都是R3中元素,α是R中元素。於是R3是實數域上一個向量空間。設F是一個域,n是任意取定的一個正整數,

定義加法為x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn),定義乘法為αx=(αx1,αx2,…,αxn),這裡x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)都是Fn中元素,α是F的元素,則Fn是域F上一個向量空間。Fn是R 3的推廣。在某一閉區間上連續的實函式全體所成的集合,對於函式的加法和實數與函式的乘法,是實數域上一個向量空間。次數不超過某一給定的非負整數 n的復係數多項式的全體與零多項式所成的集合p,對於多項式的加法和複數與多項式的乘法,是複數域上一個向量空間。

子空間

如果域F上一個向量空間V的非空子集W,對V的加法和乘法也構成F上一個向量空間,那麼W 稱為V的一個線性子空間,簡稱子空間。如果V的任一向量

v

可惟一的表為其子空間Wi的向量ui(i=1,2,…,n)的和,即

v

=

u

1+

u

2+…+

u

n,那麼V稱為其子空間W1,W2,…,Wn的直和,記為

V的一個非空子集是V的子空間的充分必要條件為:對於V的任意向量

u

v

以及F的任意純量α、b,有α

u

+b

v

在W中。例如,向量空間V本身以及由一個零向量所成的集合{0},都是V的子空間,稱為V的平凡子空間。向量空間Fn的子集W={(x1,…,xn-1,0)|xj∈F,1≤i≤n-1},是Fn的一個子空間。係數在域F中的n元齊次線性方程組的所有的解,是Fn的一個子空間,並稱為所給齊次線性方程組的解空間。

基、座標和維數

u

1,

u

2,…,

u

n是域F上一個向量空間V的向量,α1,α2,…,αn是域F的元素。表示式α1

u

1+α2

u

2+ … +αn

u

n,稱為

u

1,

u

2,…,

u

n的線性組合。如果存在F中不全為零的元素α1,α2,…,αn,使得線性組合

,那麼

u

1,

u

2,…,

u

n稱為線性相關。在相反情形,即α1

u

1+α2

u

2+…+αn

u

n僅當

時才等於零向量,則稱

u

1,

u

2,…,

u

n線性無關。如果向量空間V的向量組

u

1,

u

2,…,

u

n滿足條件:

(1)

u

1,

u

2,…,

u

n線性無關;

(2)V的每一個向量都可以表為

u

1,

u

2,…,

u

n的線性組合,那麼向量組

u

1,

u

2,…,

u

n稱為V在F上的一個基,簡稱V的一個基。設尣是V的任意一個向量,

u

1,

u

2,…,

u

n是V的一個基,於是由基的定義可知,尣=x1

u

1+ x2

u

2+…+xn

u

n,其中x1,x2,xn是F的元素,稱為向量x關於基

u

1,

u

2,…,

u

n的座標。對於取定的一個基,V中向量尣的座標是惟一確定的。

一個向量空間如果有基,那麼不一定只有一個基,但是 V的任意兩個基所含向量的個數是相同的。一個向量空間V的基所含向量的個數,稱為V的維數。只含一個零向量的向量空間的維數,約定為零。如果對於每一個自然數n,V中都存在n個線性無關的向量,那麼V稱為無限維的。例如,向量空間R3是三維的,e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)是R3的一個基。向量空間Fn是n維的;連續函式構成的向量空間是無限維的;向量空間p是n+1維的。

向量空間的同構

域F上兩個向量空間V和V┡,如果存在V到V┡的一個雙射φ:V→V┡,且滿足條件φ(α

u

+b

v

)=αφ(

u

)+bφ(

v

),其中α、b是F中元素,

u

v

是V中元素,那麼向量空間V和V┡稱為同構的。域F上每一n維向量空間都與向量空間Fn同構。