九州島

[拼音]：xiangliang kongjian

[英文]：vector space

又稱線性空間。在解析幾何學裡引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯絡的向量空間概念。向量空間是線性代數的中心內容和基本概念之一。它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

設V是一個非空集合，F是一個域。在V的元素之間定義了所謂加法，即對於V 的任意一對元素

u

、

v

，V 中有惟一確定的元素與之對應，這個元素稱為

u

與

v

的和，記作

u

v

。在F 的元素與V的元素之間定義了所謂乘法，即對於F的任意元素α與V的任意元素

u

，V中有惟一確定的元素與之對應，這個元素稱為α與

u

的積，記作α

u

。如果所述的加法和乘法滿足以下規則，那麼集合V稱為域F上一個向量空間。

加法的四條規則①結合律，即

u

v

w

)=(

u

v

w

；

（2）交換律，即

u

v

u

；

（3）在V中存在一個“零元素”，記作0，對於V的任意元素

u

都有0+

u

；

（4）對於V的每一個元素

u

，在V中存在負元素－

u

，使得(-

u

=0。

乘法的兩條規則⑤結合律，即(αb)

u

=α(b

u

)；

（6）

u

是V中的任意元素，1是F的單位元素，1

u

。

加法和乘法的兩條規則 ⑦α(

u

v

)=α

u

+α

v

；

（8）(α+b)

u

=α

u

，以上各式中的

u

、

v

、

w

是V的任意元素，α、b是F的任意元素。

域F上向量空間V 的元素，稱為向量。V中的零元素，稱為零向量。V的元素

u

的負元素-

u

，稱為

u

的負向量。域F中的元素，稱為純量。

向量空間的加法和乘法表達出向量之間的基本關係。隨著所考慮的物件不同，這兩種運算的定義也不同。例如，令R是實數域，R3是一切三元實陣列所成的集合，即

，加法的定義是

，乘法的定義是

，這裡

都是R3中元素，α是R中元素。於是R3是實數域上一個向量空間。設F是一個域，n是任意取定的一個正整數，

定義加法為x+y=(x1+y1，x2+y2，…，xn+yn)，定義乘法為αx＝(αx1，αx2，…，αxn)，這裡x＝(x1，x2，…，xn)，y＝(y1，y2，…，yn)都是Fn中元素，α是F的元素，則Fn是域F上一個向量空間。Fn是R 3的推廣。在某一閉區間上連續的實函式全體所成的集合，對於函式的加法和實數與函式的乘法，是實數域上一個向量空間。次數不超過某一給定的非負整數 n的復係數多項式的全體與零多項式所成的集合p，對於多項式的加法和複數與多項式的乘法，是複數域上一個向量空間。

子空間

如果域F上一個向量空間V的非空子集W，對V的加法和乘法也構成F上一個向量空間，那麼W 稱為V的一個線性子空間，簡稱子空間。如果V的任一向量

v

可惟一的表為其子空間Wi的向量ui(i=1，2，…，n)的和，即

v

u

2+…+

u

n，那麼V稱為其子空間W1，W2，…，Wn的直和，記為

V的一個非空子集是V的子空間的充分必要條件為：對於V的任意向量

u

、

v

以及F的任意純量α、b，有α

u

v

在W中。例如，向量空間V本身以及由一個零向量所成的集合{0}，都是V的子空間，稱為V的平凡子空間。向量空間Fn的子集W＝{(x1，…，xn-1，0)|xj∈F，1≤i≤n-1}，是Fn的一個子空間。係數在域F中的n元齊次線性方程組的所有的解，是Fn的一個子空間，並稱為所給齊次線性方程組的解空間。

基、座標和維數

設

u

1，

u

2，…，

u

n是域F上一個向量空間V的向量，α1，α2，…，αn是域F的元素。表示式α1

u

1+α2

u

2+ … +αn

u

n，稱為

u

1，

u

2，…，

u

n的線性組合。如果存在F中不全為零的元素α1，α2，…，αn，使得線性組合

，那麼

u

1，

u

2，…，

u

n稱為線性相關。在相反情形，即α1

u

1＋α2

u

2＋…＋αn

u

n僅當

時才等於零向量，則稱

u

1，

u

2，…，

u

n線性無關。如果向量空間V的向量組

u

1，

u

2，…，

u

n滿足條件：

（1）

u

1，

u

2，…，

u

n線性無關；

（2）V的每一個向量都可以表為

u

1，

u

2，…，

u

n的線性組合，那麼向量組

u

1，

u

2，…，

u

n稱為V在F上的一個基，簡稱V的一個基。設尣是V的任意一個向量，

u

1，

u

2，…，

u

n是V的一個基，於是由基的定義可知，尣=x1

u

1+ x2

u

2+…+xn

u

n，其中x1，x2，xn是F的元素，稱為向量x關於基

u

1，

u

2，…，

u

n的座標。對於取定的一個基，V中向量尣的座標是惟一確定的。

一個向量空間如果有基，那麼不一定只有一個基，但是 V的任意兩個基所含向量的個數是相同的。一個向量空間V的基所含向量的個數，稱為V的維數。只含一個零向量的向量空間的維數，約定為零。如果對於每一個自然數n，V中都存在n個線性無關的向量，那麼V稱為無限維的。例如，向量空間R3是三維的，e1=(1，0，0)，e2=(0，1，0)，e3=(0，0，1)是R3的一個基。向量空間Fn是n維的;連續函式構成的向量空間是無限維的；向量空間p是n+1維的。