太陽風

[拼音]：tongyu

[英文]：congruence

數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果二整數α、b)滿足m│α-b)(α-b)被m整除)，就稱整數α、b)對模m同餘，記作α呏b)(mod m)。對模m同餘是整數的一個等價關係。利用同餘的定義可得以下基本性質：

（1）若α1呏b)1(mod m)，α2呏b)2(mod m)，則α1±α2呏b)1±b)2(mod m)，α1α2呏b)1b)2(mod m)。

（2）若αс呏b)с(mod m)，則

。

剩餘類和完全剩餘系

餘數相同的整數集合，就叫做剩餘類。確切地說，若m是一個給定的正整數，則全體整數可以分成m個集，記作C0，C1，…，Cm-1，其中Cr(r=0，1，…，m-1)是由一切形如qm＋r(q=0，±1，±2，…)的整數所組成的集。這些集合具有性質：

（1）每一個整數必包含在而且僅包含在上述一個集合裡。

（2）兩個整數同在一個集合的充分必要條件是它們對模m同餘。這樣的m個集C0，C1，…，Cm-1叫做模m的剩餘類。由此可引出抽象代數中重要的概念，如群論中的陪集，環論中的剩餘類等。任取

，這m 個數α0，α1，…，αm-1稱為模m的一個完全剩餘系。最常用的完全剩餘系是0，1，…， m-1。如果(k，m)＝1，l是任給的整數，α0，α1，…，αm-1是模m 的一個完全剩餘系，那麼，kα0+l，kα1+l，…，kαm-1+l也是模m的一個完全剩餘系。但是，當m呏0(mod2)時，如果α0，α1，…，αm-1和 b)0，b)1，…，b)m-1分別是模m的一個完全剩餘系，那麼α0+b)0，α1+b)1，…，αm-1+b)m-1就不是模m 的一個完全剩餘系。1948年，S.喬拉等人證明了:設m>2，如果α0，α1，…，αm-1和b)0，b)1，…， b)m-1分別是模m 的一個完全剩餘系， 那麼α0b)0，α1b)1，…，αm-1b)m-1不是模m 的一個完全剩餘系。

費馬小定理和尤拉定理

1640年，P.de費馬宣佈他證明了：如果p是一個素數，x是一個整數，滿足p凲x，則p｜xp-1-1。這個重要的定理叫做費馬小定理。1736年，L.尤拉首先給出了這一定理的證明。1760年，他又作了重要推廣:若m是一個正整數，對於每一個滿足(x，m)=1的整數x，則有

，這就是尤拉定理。其中φ(m)叫做尤拉函式，它表示0，1，…，m-1中與m互素的數的個數。在C0，C1，…，Cm-1中， 恰有φ(m)個類，其中每一個數都和m互素，在這φ(m)個類中各取一數，得到φ(m)個數，叫做模m的一個縮系。運用縮系的性質，很容易證明尤拉定理。設

是模m的一個縮系，(x，m)=1，那麼

也是模m的一個縮系，於是

，即得出尤拉定理

。當m是素數時，就得到費馬小定理。設m的標準分解式為

，利用縮系的性質可證

。

一次同餘式和孫子定理

同餘式的求解中，一次同餘式是最基本的。設整係數n次(n>0)多項式ƒ(x)=αnxn+…+α1x+α0，m是一個正整數且不能整除αn，則

(1)

叫做模m 的n 次同餘式。如果整數 α是（1）的解且α呏α┡(mod m)，那麼α┡也是(1)的解，因此，(1)的不同解是指滿足(1)的模 m互不同餘的數。對於一次同餘式 αx呏b)(mod m)有解的充分必要條件是(α，m)│b)，若有解則有(α，m)個解。一次同餘式組是指

。 (2)

在中國古代《孫子算經》中，對某些具體的一次同餘式組已有解法，把這一解法加以推廣，就是著名的孫子剩餘定理：設m1， m2，…， mk是k個兩兩互素的正整數

，

則同餘式組(2)的解是

，

式中

。孫子剩餘定理又被稱之為中國剩餘定理，是數論中一個重要的定理，除了數論本身，數學的許多其他分支以及一些應用學科都要用到它。例如，設m＝m1m2…mk，m1， m2，…，mk兩兩互素，利用孫子剩餘定理可將同餘式(1)的求解問題化為同餘式組ƒ(x)呏0(mod mi)(i＝1，2，…，k)的求解問題，於是就只需要研究(1)中m是素數方冪的情形了。又如，可將0≤x

表示，這叫做模係數記數法，這裡m＝m1m2…mk，m1，m2，…，mk兩兩互素，而

表示x模mi的最小非負剩餘。

如果已知x的模係數記數法，就可用孫子定理找出x。這個記數法的優點是加法和乘法無須進位，它在計算機方面有應用。

素數為模的同餘式

關於素數為模的同餘式，1770年，J.-L.拉格朗日證明了如下定理：設p是素數，那麼模 p的n次同餘式

的解數不大於 n（重解也計算在內）。人們稱之為拉格朗日定理。由此立即可以得威爾森定理：如果 p是素數，那麼(p-1)!+1呏0(mod p)。因為xp-1-1呏0(mod p)有p-1個解1，…，p-1，故由拉格朗日定理可得

xp-1-1呏(x-1)(x-2)…(x-(p-1))(mod p)，

將x=0代入上式得-1呏(-1)p(p-1)!(mod p)，這就證明了威爾森定理。威爾森定理的逆定理也是成立的，可用反證法簡單證出。用拉格朗日定理還可證明：當p≥5是一個素數時，則有

。這個定理是1862年，由J.沃斯頓霍姆證明的。

設ƒ(x1，x2，…，xn)是n元整係數多項式，p是一個奇素數，對於同餘式ƒ(x1，x2，…，xn) 呏0(mod p)的解(x1，x2，…，xn)(0≤xj

早在1801年，C.F.高斯就研究了同餘式αx3-b)y3呏1(mod p)的解的個數，這裡p呏1(mod 3)和同餘式αx4-b)y4呏1(mod p)的解的個數，這裡p呏1(mod 4)。

設ƒ(x)模 p無重因式，1924年，E.阿廷猜想同餘式y2呏ƒ(x)(mod p)，在ƒ(x)的次數為3和4時，N 分別滿足

和

，1936年，H.哈塞證明了這一猜想，並且還證明了對於一般含q個元的有限域，把以上兩式中p換成q，也是對的。1948年，韋伊對於一般的ƒ(x，y)=0在有限域上得到類似的結果， 他猜想對於ƒ(x1，x2，…，xn)=0也有類似的結果。1973年，P.德利涅證明了韋伊猜想。他的傑出工作獲得了1978年的國際數學家會議的費爾茲獎。

參考書目

W.M.Schmidt，Equations over Finite Fields: an Elementary Approach， Lecture Notes in Math.536，Springer-Verlag， New York， 1976.