焦耳氣體自由膨脹實驗

[拼音]：banqun

[英文]：semigroup

群概念的推廣。一集合S稱為半群，是指S的所有元素對於S上的一個二元運算*滿足結合律，即(α*b)*с=α*(b*с)，α、b、с∈S。例如，整數集合對於加法運算是一半群；集合A 的所有子集合組成的集合S(A)對於集合的並，是一半群；集合A上的所有變換T(A)對於變換的乘法，是一半群；集合A 上的所有二元關係R（A）對於關係運算的乘法，是一半群。設 Χ 是一字元集合，Χ+是Χ 中的元素組成的有限字串的集合。若對Χ+中的兩個元素

、

定義二元運算*如下：

，則Χ+對於運算*是一半群，並稱之為由Χ 生成的自由半群。

對於半群，廣義結合律成立，即在有限個元素相乘時，不論以什麼樣的方式結合，只要元素排列的次序不變，結果總是相同的。

在半群中，如果對於正整數 n定義

，那麼對於正整數m、n有

，

。

若半群中存在元素e，使得對於所有的 α∈S，都有e*α=α，則e稱為半群的左單位元素。同樣可定義半群的右單位元素。如果一半群既有左單位元素，又有右單位元素，那麼這兩個元素必是同一個元素；這個元素稱為半群的單位元素。若一半群中存在元素Ζ，使得對於所有的α∈S，都有Ζ*α=Ζ，則Ζ稱為半群的左零元素。同樣可以定義半群的右零元素。如果一半群既有左零元素，又有右零元素，那麼這兩個元素必是同一個元素，並稱之為半群的零元素。若半群中的一個元素x滿足條件 x*x=x，則x稱為半群的冪等元素。顯然，單位元素和零元素都是冪等元素。

有單位元素的半群，稱為么半群。如果給定的一半群S不含單位元素，那麼可以給它補充一個單位元素e，使它成為么半群S┡=S ∪{e}，其中S的二元運算*已擴充套件到S┡上，即對所有α∈S，恆有e*α=α*e=α，並且e*e=e。在字元集合Χ上的字串半群Χ+中，可以補上空串，使之成為么半群Χ

。

如果一半群的元素的個數是有限的，那麼這個半群稱為有限半群。任何有限半群S必含有冪等元素，而且對於任何α∈S，都有一個形式為αk的冪等元素。

如果半群S的二元運算是可交換的，即對於α、b∈S，恆有α*b=b*α，那麼S稱為可交換半群。在可交換半群中，對於正整數n，有

。

如果半群S中存在一個元素α，使得

，那麼S稱為由α產生的迴圈半群，簡稱為迴圈半群。迴圈半群顯然是可交換半群。若迴圈半群的元素個數是無限的，則α的所有冪都是不同的。若迴圈半群的元素個數是有限的，則存在兩個正整數r和m，使得

，並且

，r稱為α的瞬態指數，m稱為 α的週期。如圖

所示，這時

是S的迴圈子半群。如果n是m的倍數，滿足r≤n≤r+m-1，那麼αn是冪等元素，且是半群Kα的單位元素。如果半群S的一個子集W對於S中規定的二元運算而言仍是一個半群，那麼W稱為S的子半群。

設S1和S2是兩個半群，ƒ是從S1到S2的一個對映，如果ƒ是保運算的，即對所有的α、b∈S有ƒ(α*b)=ƒ(α)*ƒ(b)，那麼ƒ稱為同態對映。當ƒ為滿射時，則稱S2是S1的同態像。當ƒ是雙射時，則稱ƒ是同構對映。此時就說半群S1和S2是同構的，記為

。如果S2是一個么半群，含有單位元素e2，那麼把S1中映成e2的那些元素組成的集合稱為同態對映ƒ的核，記為Ker(ƒ)。

如果一半群S有單位元素e且有逆，即對於任何α∈S總有元素b使得α*b=b*α=e，那麼半群S是一個群。如果半群S的一個子集A滿足條件

，那麼子集A稱為S的左理想。同樣可定義右理想。若A非空且A≠S，則稱A是S的真理想。若半群 S無真的左理想，則稱A是左單純的。同樣可定義S是右單純的。

一個半群是群的充分必要條件為：它既無左真理想，又無右真理想。一個有限么半群是群的充分必要條件為：單位元素是這個半群的惟一冪等元素。

設R是半群S上的一個等價關係，如果對所有的z∈S，當xRy時總有x*zRy*z，那麼等價關係R稱為右不變的。同樣可定義左不變的等價關係。如果半群 S上的等價關係R稽a href='http://www.baiven.com/baike/224/276460.html' target='_blank' >仁親蟛槐淶模質怯也槐淶模敲滁I>R稱為S上的合同關係。

設R是半群S上的合同關係，集合S/R是S在關係R之下的等價組集合，[x]R是S中和x等價的元素組成的等價組。若把等價組之間的二元運算*定義為