現代控制理論

[拼音]：nengliang yuanli

[英文]：energy principle

分析結構在荷載、溫差等外因影響下所產生的應力、變形和位移狀態的基本原理之一。能量是指結構作功的能力。彈性結構在載入時產生變形，在解除安裝後又能恢復原狀，說明若不計動能和熱能的變化，荷載在結構上所作之功，將全部轉化成結構的變形勢能儲存於結構之內，因而在解除安裝過程中具有恢復原狀的能力，這是能量原理的依據。能量原理根據荷載作功過程中變形勢能的變化規律，建立起一系列極值條件，作為解題的綜合判據，從而避免直接解算大量偏微分方程，以簡化解題手續。

用能量法分析結構，主要是尋求既滿足邊界條件，又同時滿足勢能為最小的位移函式或者餘能為最小的應力函式。對許多難於求得精確解的工程問題，可用下述各個能量原理以求問題的近似解答。因此，在分析複雜結構的靜力和動力問題中，能量原理得到廣泛應用。

能量原理可從虛位移原理、虛力原理兩個側面研究。又根據勢能和餘能的變化情況，建立相應的極值條件，以解答具體問題，形成最小勢能原理和最小余能原理。

虛位移原理

也稱勢能原理、虛功原理。設結構在荷載作用下處於平衡狀態。假定由於任何其他原因，使結構從其平衡位置偏離一個任意微小的、為邊界約束條件所允許的虛位移（可以看作是真實位移的一個變分），荷載在虛位移上所作的虛功，將等於其內部應力在相應應變上所積累的虛變形勢能。故虛位移原理可表述為：彈性結構平衡的必要與充分條件是，對於任意微小的虛位移，荷載所作的總虛功δW等於其內部所積累的虛變形勢能δU。即δU-δW＝0。

最小勢能原理

設結構在P力系作用下處於平衡。在某一可能虛位移過程中，與Pi力相應的虛位移設為墹i，則由可能虛位移引起的荷載勢能變化為

，將使結構增加變形。設由此引起的變形勢能的改變為δU，則結構的總勢能改變δП可定義為內外兩種勢能變化之差，即

但是，在這個虛位移中，荷載始終保持不變，因而П只是可能虛位移的函式。故此式可改寫成

泛函 П＝U-W代表結構在虛位移中的總勢能。當結構處於平衡狀態時，已知U＝W，從而有δП＝0，它說明：在一切滿足邊界條件的虛位移中，同時滿足平衡條件的虛位移對應於結構勢能的一個駐值，這就是結構勢能駐值原理。對於線彈性結構，勢能的二階變分恆為正，因而使總勢能取最小值，所以這個原理又稱最小勢能原理。它意味著在所有滿足邊界條件的虛位移中，能使結構勢能為最小的虛位移，滿足平衡條件，因而就是真實的位移。在這種情況下，結構勢能的駐值條件等價於平衡條件。

虛力原理

也稱餘能原理。設結構在荷載和支承位移影響下處於平衡狀態。在位移保持不變的情況下，若讓真實應力σ發生微小改變δσ，且使它們滿足平衡條件和應力邊界條件（稱為可能虛應力），則虛力原理可表述為：對一切可能虛應力δσ而言，結構滿足變形協調方程的必要和充分條件是，對於任意微小的可能虛應力，其變形餘能的一階變分δU*，等於位移邊界上的相應邊界反力所作荷載餘功的一階變分δW*，即