什麼是等價關係有什麼應用知識
等價關係是集合上的一種特殊的二元關係,它同時具有自反性、對稱性和傳遞性。以下是由小編整理的等價關係的內容,希望大家喜歡!
等價關係的介紹
等價關係是集合上的一種特殊的二元關係,它同時具有自反性、對稱性和傳遞性。常用等價關係來劃分集合,選取每類的代表元素來降低問題的複雜度,如軟體測試時,可利用等價類來選擇測試用例。
等價關係的定義
設 R 是集合 A 上的一個二元關係,若R滿足:
自反性:∀ a ∈A, => ***a, a*** ∈ R
對稱性:***a, b*** ∈R∧ a ≠ b => ***b, a***∈R
傳遞性:***a, b***∈R,***b, c***∈R =>***a, c***∈R
則稱 R 是定義在 A 上的一個等價關係。設 R 是一個等價關係,若***a, b*** ∈ R,則稱 a 等價於 b,記作 a ~ b 。
等價關係的應用
例一:
設A = {1, 4, 7},定義A上的關係R如下:
R = { ***a, b*** | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }
其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同餘,即 a 除以 3 的餘數與 b 除以 3 的餘數相等。不難驗證 R 為 A 上的等價關係。
設 f 是從 A 到 B 的一個函式,定義 A 上的關係 R :aRb,當且僅當f***a*** = f***b***,R 是 A 上的等價關係。
例二:
設 R 為定義在集合 A 上的一個關係,若 R 是自反的、對稱的和傳遞的,則稱 R 為等價關係。設 R 為集合 A 上的等價關係,對任何a∈A,集合 [a] = {b | ***a, b*** ∈R} 稱為元素 a 形成的等價類,其等價類集合 {[a] | a∈A},稱作A關於R的商集,記作 A/R。定理 3.7.1 設給定非空集合 A 上等價關係 R ,對於 a, b ∈A,有 aRb 當且僅當 [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等價關係 R ,確定了 A 的一個劃分,該劃分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一個劃分,確定 A 的元素間的一個等價關係。
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