高二數學必修三理科期末試卷

　　單元練習題是所有考生最大的需求點，只有這樣才能保證答題的準確率和效率，以下是小編為您整理的關於的相關資料，供您閱讀。

　　

　　一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.

　　1.如果a>b>0，那麼下列不等式成立的是***　　***

　　A.a2>ab B.ab D. >

　　2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是***　　***

　　A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0

　　C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0

　　3.在等差數列{an}中，a5=5，a10=15，則a15=***　　***

　　A.20 B.25 C.45 D.75

　　4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，則b=***　　***

　　A. B. C. D.

　　5.函式y=lnx+x在點***1，1***處的切線方程是***　　***

　　A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0

　　6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的***　　***

　　A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

　　C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

　　7.函式f***x***的定義域為R，其導函式f′***x***的圖象如圖，則f***x***的極值點有***　　***

　　A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

　　8.已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=***　　***

　　A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

　　9.經過點***3，﹣ ***的雙曲線 ﹣ =1，其一條漸近線方程為y= x，該雙曲線的焦距為***　　***

　　A. B.2 C.2 D.4

　　10.若函式f***x***=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值，則9a+3b的最小值為***　　***

　　A.4 B.9 C.18 D.81

　　11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值是***　　***

　　A. B. C. D.

　　12.設橢圓 + =1***a>b>0***的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，|PF1|=λ|PF2|*** ≤λ≤2***，∠F1PF2= ，則橢圓離心率的取值範圍為***　　***

　　A.***0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1***

　　二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分.、共20分.

　　13.已知 =***2，3，1***， =***x，y，2***，若 ∥ ，則x+y=　　　　　　.

　　14.若變數x，y滿足約束條件 ，則z=x﹣2y的最小值為　　　　　　.

　　15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經過1小時後在觀測點P測得輪船位於北偏東60°方向B處，又經過t小時發現該輪船在北偏東45°方向C處，則t=　　　　　　.

　　16.對於正整數n，設曲線y=xn***2﹣x***在x=2處的切線與y軸交點的縱座標為an，則數列{an}的前n項和為Sn=　　　　　　.

　　三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

　　17.已知等差數列{an}，公差為2，的前n項和為Sn，且a1，S2，S4成等比數列，

　　***1***求數列{an}的通項公式;

　　***2***設bn= ***n∈N****，求數列{bn}的前n項和Tn.

　　18.△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知***a+c***2﹣b2=3ac

　　***1***求角B;

　　***2***當b=6，sinC=2sinA時，求△ABC的面積.

　　19.已知拋物線C：y2=2px***p>0***的焦點為F，C上一點***3，m***到焦點的距離為5.

　　***1***求C的方程;

　　***2***過F作直線l，交C於A、B兩點，若線段AB中點的縱座標為﹣1，求直線l的方程.

　　20.如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F為BC的中點.

　　***Ⅰ***求證：AF⊥BD;

　　***Ⅱ***求二面角A﹣BE﹣D的餘弦值.

　　21.已知函式f***x***=ax2+bx在x=1處取得極值2.

　　***Ⅰ***求f***x***的解析式;

　　***Ⅱ***若***m+3***x﹣x2ex+2x2≤f***x***對於任意的x∈***0，+∞***成立，求實數m的取值範圍.

　　22.曲線C上的動點M到定點F***1，0***的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： .

　　***Ⅰ***求曲線C的方程;

　　***Ⅱ***過點F***1，0***的直線l與C交於A，B兩點，當△ABO面積為 時，求直線l的方程.

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.

　　1.如果a>b>0，那麼下列不等式成立的是***　　***

　　A.a2>ab B.ab D. >

　　【分析】利用不等式的基本性質即可判斷出結論.

　　【解答】解：∵a>b>0，

　　∴a2>ab，ab>b2， ，b2

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬於基礎題.

　　2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是***　　***

　　A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0

　　C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0

　　【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.

　　【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，

　　即∃x0∈R，x ﹣2≤0，

　　故選：D.

　　【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.

　　3.在等差數列{an}中，a5=5，a10=15，則a15=***　　***

　　A.20 B.25 C.45 D.75

　　【分析】利用等差數列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數列的第15項.

　　【解答】解：∵在等差數列{an}中，a5=5，a10=15，

　　∴ ，

　　解得a1=﹣3，d=2，

　　∴a15=﹣3+14×2=25.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查等差數列的第15項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用.

　　4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，則b=***　　***

　　A. B. C. D.

　　【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.

　　【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，

　　∴由正弦定理可得：b= = = .

　　故選：B.

　　【點評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬於基礎題.

　　5.函式y=lnx+x在點***1，1***處的切線方程是***　　***

　　A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0

　　【分析】求函式的導數，利用導數的幾何意義進行求解即可.

　　【解答】解：函式的導數為f′***x***= +1，

　　則f′***1***=1+1=2，

　　即切線斜率k=2，

　　則函式y=lnx+x在點***1，1***處的切線方程是y﹣1=2***x﹣1***，

　　即2x﹣y﹣1=0，

　　故選：A.

　　【點評】本題主要考查函式的切線的求解，求函式的導數，利用導數的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關鍵.

　　6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的***　　***

　　A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

　　C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

　　【分析】x2+x+m=0無實根⇔△<0，即可判斷出結論.

　　【解答】解：x2+x+m=0無實根⇔△=1﹣4m<0，⇔m .

　　∴“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的必要不充分條件，

　　故選：B.

　　【點評】本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關係、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.

　　7.函式f***x***的定義域為R，其導函式f′***x***的圖象如圖，則f***x***的極值點有***　　***

　　A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

　　【分析】結合圖象，根據導數大於零，即導函式的圖象在x軸上方，說明原函式在該區間上是單調遞增，否則為減函式，極大值點兩側導數的符號，從左往右，符號相反，因此根據圖象即可求得極值點的個數，

　　【解答】解：結合函式圖象，根據極值的定義可知在該點處從左向右導數符號相反，

　　從圖象上可看出符合條件的有3點，

　　故選：A.

　　【點評】本題主要考查函式在某點取得極值的條件，以及學生的識圖能力.屬於基礎題.

　　8.已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=***　　***

　　A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

　　【分析】設等比數列{an}是公比為q的遞增的等比數列，運用等比數列的性質，求得a1=1，a5=16，再由等比數列的通項公式求得公比即可.

　　【解答】解：設等比數列{an}是公比為q的遞增的等比數列，

　　由a2a4=16，可得a1a5=16，

　　又a1+a5=17，解得 或 ***不合題意，捨去***，

　　即有q4=16，解得q=2***負的捨去***.

　　故選：D.

　　【點評】本題考查等比數列的通項公式的運用，是基礎題.

　　9.經過點***3，﹣ ***的雙曲線 ﹣ =1，其一條漸近線方程為y= x，該雙曲線的焦距為***　　***

　　A. B.2 C.2 D.4

　　【分析】將點***3，﹣ ***代入雙曲線的方程，由漸近線方程可得 = ，解得a，b，可得c=2，進而得到焦距2c=4.

　　【解答】解：點***3，﹣ ***在雙曲線 ﹣ =1上，可得

　　﹣ =1，

　　又漸近線方程為y=± x，一條漸近線方程為y= x，

　　可得 = ，

　　解得a= ，b=1，

　　可得c= =2，

　　即有焦距為2c=4.

　　故選：D.

　　【點評】本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運用點滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運用，考查運算能力，屬於基礎題.

　　10.若函式f***x***=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值，則9a+3b的最小值為***　　***

　　A.4 B.9 C.18 D.81

　　【分析】求出函式的導數，得到2a+b=4，根據基本不等式的性質求出代數式的最小值即可.

　　【解答】解：f′***x***=4x3﹣2ax﹣b，

　　若f***x***在x=1處有極值，

　　則f′***x***=4﹣2a﹣b=0，

　　∴2a+b=4，

　　∴9a+3b=32a+3b≥2 =18，

　　當且僅當9a=3b時“=”成立，

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了導數的應用，考查基本不等式的性質，是一道基礎題.

　　11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值是***　　***

　　A. B. C. D.

　　【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角座標系，利用向量法能求出直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值.

　　【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角座標系，

　　設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中稜長為1，

　　則D***0，0，0***，C1***0，1，1***，A1***1，0，1***，B***1，1，0***，

　　=***0，1，1***， =***1，0，1***， =***1，1，0***，

　　設平面A1BD的法向量 =***x，y，z***，

　　則 ，取x=1，得 =***1，﹣1，﹣1***，

　　設直線DC1與平面A1BD所成角為θ，

　　則sinθ= = = ，

　　∴cosθ= = .

　　∴直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值為 .

　　故選：C.

　　【點評】本題考查直線與平面所成角的餘弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.

　　12.設橢圓 + =1***a>b>0***的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，|PF1|=λ|PF2|*** ≤λ≤2***，∠F1PF2= ，則橢圓離心率的取值範圍為***　　***

　　A.***0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1***

　　【分析】設F1***﹣c，0***，F2***c，0***，運用橢圓的定義和勾股定理，求得e2= ，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有 = =2*** ﹣ ***2+ ，運用二次函式的最值的求法，解不等式可得所求範圍.

　　【解答】解：設F1***﹣c，0***，F2***c，0***，由橢圓的定義可得，|PF1|+|PF2|=2a，

　　可設|PF2|=t，可得|PF1|=λt，

　　即有***λ+1***t=2a①

　　由∠F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，

　　即為***λ2+1***t2=4c2，②

　　由②÷①2，可得e2= ，

　　令m=λ+1，可得λ=m﹣1，

　　即有 = =2*** ﹣ ***2+ ，

　　由 ≤λ≤2，可得 ≤m≤3，即 ≤ ≤ ，

　　則m=2時，取得最小值 ;m= 或3時，取得最大值 .

　　即有 ≤e2≤ ，解得 ≤e≤ .

　　故選：B.

　　【點評】本題考查橢圓的定義、方程和性質，主要考查離心率的範圍，同時考查不等式的解法，屬於中檔題.

　　二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分.、共20分.

　　13.已知 =***2，3，1***， =***x，y，2***，若 ∥ ，則x+y=　10　.

　　【分析】根據向量的共線定理，列出方程組求出x、y的值，再計算x+y的值.

　　【解答】解：∵ =***2，3，1***， =***x，y，2***，且 ∥ ，

　　∴ = = ，

　　解得x=4，y=6;

　　∴x+y=10.

　　故答案為：10.

　　【點評】本題考查了空間向量的座標運算與共線定理的應用問題，是基礎題.

　　14.若變數x，y滿足約束條件 ，則z=x﹣2y的最小值為　﹣2　.

　　【分析】作出可行域，變形目標函式，平移直線y= x可得結論.

　　【解答】解：作出約束條件 所對應的可行域***如圖△ABC***，

　　變形目標函式可得y= x﹣ z，平移直線y= x可知，

　　當直線經過點A*** ， ***時，直線的截距最大，z取最小值﹣2，

　　故答案為：﹣2.

　　【點評】本題考查簡單線性規劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題.

　　15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經過1小時後在觀測點P測得輪船位於北偏東60°方向B處，又經過t小時發現該輪船在北偏東45°方向C處，則t=　 　.

　　【分析】設輪船的速度為v，求出BC，即可得出結論.

　　【解答】解：設輪船的速度為v，則AB=v，PA=AC= v，

　　∴BC=*** ﹣1***v，

　　∴t= = .

　　故答案為： .

　　【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，屬於基礎題.

　　16.對於正整數n，設曲線y=xn***2﹣x***在x=2處的切線與y軸交點的縱座標為an，則數列{an}的前n項和為Sn=　2n+2﹣4　.

　　【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程為y=﹣2n***x﹣2***，從而得到an=2n+1，利用等比數列的求和公式能求出Sn.

　　【解答】解：∵y=xn***2﹣x***，∴y'=2nxn﹣1﹣***n+1***xn，

　　∴曲線y=xn***2﹣x***在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣***n+1***2n=﹣2n，

　　切點為***2，0***，

　　∴切線方程為y=﹣2n***x﹣2***，

　　令x=0得an=2n+1，

　　∴Sn= =2n+2﹣4，

　　故答案為：2n+2﹣4.

　　【點評】考查學生利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，以及利用等比數列的求和公式進行數列求和的能力.

　　三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

　　17.已知等差數列{an}，公差為2，的前n項和為Sn，且a1，S2，S4成等比數列，

　　***1***求數列{an}的通項公式;

　　***2***設bn= ***n∈N****，求數列{bn}的前n項和Tn.

　　【分析】***1******由a1，S2，S4成等比數列得 .化簡解得a1，再利用等差數列的通項公式即可得出;

　　***2***利用“裂項求和”即可得出.

　　【解答】解：***1******由a1，S2，S4成等比數列得 .

　　化簡得 ，又d=2，解得a1=1，

　　故數列{an}的通項公式 …

　　***2***∵ ∴由***1***得 ，

　　∴ = ….

　　【點評】本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.

　　18.△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知***a+c***2﹣b2=3ac

　　***1***求角B;

　　***2***當b=6，sinC=2sinA時，求△ABC的面積.

　　【分析】***1***由余弦定理變形已知式子可得cosB的值，可得B值;

　　***2***由題意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形為直角三角形，由面積公式可得.

　　【解答】解：***1***∵***a+c***2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，

　　∴ac=a2+c2﹣b2，∴

　　∵B∈***0，π***，∴ ;

　　***2***∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，

　　代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，

　　解得 ， ，滿足a2+b2=c2，

　　∴△ABC為直角三角形，

　　∴△ABC的面積S= ×2 ×6=6 .

　　【點評】本題考查正餘弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎題.

　　19.已知拋物線C：y2=2px***p>0***的焦點為F，C上一點***3，m***到焦點的距離為5.

　　***1***求C的方程;

　　***2***過F作直線l，交C於A、B兩點，若線段AB中點的縱座標為﹣1，求直線l的方程.

　　【分析】***1***利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程;

　　***2***利用點差法求出直線l的斜率，即可求直線l的方程.

　　【解答】解：***1***拋物線C：y2=2px***p>0***的準線方程為 ，

　　由拋物線的定義可知

　　解得p=4

　　∴C的方程為y2=8x.

　　***2***由***1***得拋物線C的方程為y2=8x，焦點F***2，0***

　　設A，B兩點的座標分別為A***x1，y1***，B***x2，y2***，

　　則

　　兩式相減.整理得

　　∵線段AB中點的縱座標為﹣1

　　∴直線l的斜率

　　直線l的方程為y﹣0=﹣4***x﹣2***即4x+y﹣8=0

　　【點評】本題考查拋物線的定義與方程，考查點差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬於中檔題.

　　20.如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F為BC的中點.

　　***Ⅰ***求證：AF⊥BD;

　　***Ⅱ***求二面角A﹣BE﹣D的餘弦值.

　　【分析】***1***推匯出AF⊥BC，從而AF⊥DC，進而AF⊥面BCD，由此能證明AF⊥BD.

　　***2***以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角座標系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的餘弦值.

　　【解答】證明：***1***∵AB=AC，F為BC的中點，

　　∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，

　　∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，

　　∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD.…

　　解：***2***以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角座標系如圖，

　　∴B***2，0，0***，D***0，2，2***，E***0，0，1***，

　　， ，

　　設面BED的一個法向量為 ，

　　則 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，

　　又面ABE的一個法向量為 ，

　　∴ ，

　　∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角，

　　∴二面角A﹣BE﹣D的餘弦值為 .…

　　【點評】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的餘弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.

　　21.已知函式f***x***=ax2+bx在x=1處取得極值2.

　　***Ⅰ***求f***x***的解析式;

　　***Ⅱ***若***m+3***x﹣x2ex+2x2≤f***x***對於任意的x∈***0，+∞***成立，求實數m的取值範圍.

　　【分析】***Ⅰ***根據極值的定義得到關於a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f***x***的表示式;

　　***Ⅱ***問題等價於m≤xex﹣x2﹣2x於任意的x∈***0，+∞***成立，設h***x***=xex﹣x2﹣2x，根據函式的單調性求出m的範圍即可.

　　【解答】解：***Ⅰ***∵函式f***x***=ax3+bx在x=1處取得極值2，

　　∴ ，解得 ，

　　∴f***x***=﹣x3+3x…

　　***Ⅱ***∵***m+3***x﹣x2ex+2x2≤f***x***對於任意的x∈***0，+∞***成立，

　　∴***m+3***x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x

　　⇔m≤xex﹣x2﹣2x於任意的x∈***0，+∞***成立

　　設h***x***=xex﹣x2﹣2x，

　　則h′***x***=ex+xex﹣2x﹣2=***x+1******ex﹣2***，

　　令h′***x***=0解得x=ln2，

　　且當0

　　當x>ln2時，h′***x***>0，

　　∴h***x***=xex﹣x2﹣2x在***0，ln2***上單調遞減，在***ln2，+∞***上單調遞增，

　　∴ ，

　　∴m≤﹣***ln2***2.

　　【點評】本題考查了函式的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及函式恆成立問題，是一道中檔題.

　　22.曲線C上的動點M到定點F***1，0***的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： .

　　***Ⅰ***求曲線C的方程;

　　***Ⅱ***過點F***1，0***的直線l與C交於A，B兩點，當△ABO面積為 時，求直線l的方程.

　　【分析】***Ⅰ***設M***x，y***，運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，化簡整理即可得到所求方程;

　　***Ⅱ***當l斜率不存在時，l方程為x=1，求得A，B的座標，以及△ABO的面積;由直線l斜率存在，設l方程為y=k***x﹣1***，代入橢圓方程，運用韋達定理和絃長公式，以及點到直線的距離公式，解方程可得斜率k，進而得到所求直線的方程.

　　【解答】解：***Ⅰ***設M***x，y***

　　由題意可得， ，

　　整理得 ，

　　則曲線C的方程為 ;

　　***Ⅱ***當l斜率不存在時，l方程為x=1，

　　此時l與C的交點分別為 ， ，

　　即有 ，

　　則 ，

　　由直線l斜率存在，設l方程為y=k***x﹣1***，

　　由 ，

　　得 ， ，

　　∴ .

　　設O到l的距離為d，則 ，

　　∴ ，

　　解得k=±1.

　　綜上所述，當△ABO面積為 時，l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1.

　　【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運用座標法，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和絃長公式，考查運算能力，屬於中檔題.