正弦定理證明推導方法

　　正弦定理應用的學科是數學，使用的領域範圍是幾何。下面是小編給大家整理的，供大家參閱!

　　

　　顯然，只需證明任意三角形內，任一角的邊與它所對應的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。

　　現將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設AB長度為c。若

　　1 ∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2R。

　　正弦定理∵

　　***特殊角正弦函式值***

　　正弦定理∴

　　2 若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O於C`，連線C'A，顯然BC'= 2R。

　　∵在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角。∴∠C'AB是直角。

　　2A 若∠C為銳角，則C'與C落於AB的同側，此時

　　∵在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等。

　　∴∠C'=∠C

　　正弦定理∴

　　，有

　　。

　　示意圖2B

　　若∠C為鈍角，則C'與C落於AB的異側，此時∠C'=180°-∠C，亦可推出

　　。

　　在△DAB中，應用正弦函式定義，知

　　因此，對任意三角形的任一角及其對邊，均有上述結論。

　　考慮同一個三角形內的三個角及三條邊，應用上述結果，分別列式可得

　　。故對任意三角形，定理得證。

　　實際上該定理也可以用向量方法證明。

　　正弦定理定義

　　正弦定理***The Law of Sines***是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R***R為外接圓半徑***。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。

　　正弦定理意義

　　正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。由正弦函式在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關係。

　　一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

　　正弦定理實際應用

　　1、在解三角形中，有以下的應用領域：

　　已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

　　已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

　　運用a:b:c=

　　注意：

　　銳角三角形解三角形時，已知兩角與一邊，三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由於該三角形具有不穩定性，所以其解不確定，可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題。

　　一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。若已知A、A的對邊a、A與a的夾邊C，則：

　　對於鈍角三角形，

　　若a≤b，則無解;

　　若a>b，則有一解;

　　對於銳角三角形，

　　若a

　　若a=bsinA，則有一解;

　　若bsinA

　　若a≥b，則有一解。

　　鈍角三角形2、三角形面積的計算。

　　

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