四川省高二上學期期末數學試卷及解析

　　數學的學習少不了勤奮的練習，只有在題目中才能將數學的知識點理解透徹。以下是小編為您整理的關於的相關資料，供您閱讀。

　　一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

　　1.已知圓C：***x﹣2***2+***y+1***2=4，則圓C的圓心和半徑分別為***　　***

　　A.***2，1***，4 B.***2，﹣1***，2 C.***﹣2，1***，2 D.***﹣2，﹣1***，2

　　【考點】圓的標準方程.

　　【分析】利用圓的標準方程，直接寫出圓心與半徑即可.

　　【解答】解：圓C：***x﹣2***2+***y+1***2=4，則圓C的圓心和半徑分別為：***2，﹣1***，2.

　　故選：B.

　　2.當m∈N*，命題“若m>0，則方程x2+x﹣m=0有實根”的逆否命題是***　　***

　　A.若方程x2+x﹣m=0有實根，則m>0

　　B.若方程x2+x﹣m=0有實根，則m≤0

　　C.若方程x2+x﹣m=0沒有實根，則m>0

　　D.若方程x2+x﹣m=0沒有實根，則m≤0

　　【考點】四種命題間的逆否關係.

　　【分析】直接利用逆否命題的定義寫出結果判斷選項即可.

　　【解答】解：由逆否命題的定義可知：當m∈N*，命題“若m>0，則方程x2+x﹣m=0有實根”的逆否命題是：若方程x2+x﹣m=0沒有實根，則m≤0.

　　故選：D.

　　3.已知命題p：∀x>0，x3>0，那麼￢p是***　　***

　　A.∀x>0，x3≤0 B.

　　C.∀x<0，x3≤0 D.

　　【考點】命題的否定.

　　【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結果即可.

　　【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題p：∀x>0，x3>0，那麼￢p是 .

　　故選：D.

　　4.已知一個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為***　　***

　　A.8π B.4π C.2π D.π

　　【考點】由三檢視求面積、體積.

　　【分析】首先將幾何體還原，然後求體積.

　　【解答】解：由已知得到幾何體是底面直徑為2，高為2的圓柱，所以其體積為π×12×2=2π;

　　故選C.

　　5.已知變數x與y正相關，且由觀測資料算得樣本平均數 =3， =3.5，則由該觀測資料算得的線性迴歸方程可能是***　　***

　　A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

　　【考點】線性迴歸方程.

　　【分析】變數x與y正相關，可以排除C，D;樣本平均數代入可求這組樣本資料的迴歸直線方程.

　　【解答】解：∵變數x與y正相關，

　　∴可以排除C，D;

　　樣本平均數 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，

　　故選：A.

　　6.在區間[0，3]上隨機地取一個實數x，則事件“1≤2x﹣1≤3”發生的概率為***　　***

　　A. B. C. D.

　　【考點】幾何概型.

　　【分析】首先求出事件“1≤2x﹣1≤3”發生對應的區間長度，利用幾何概型公式解答.

　　【解答】解：在區間[0，3]上隨機地取一個實數x，則事件“1≤2x﹣1≤3”發生，即1≤x≤2，區間長度為1，

　　由幾何概型公式得到事件“1≤2x﹣1≤3”發生的概率為 ;

　　故選：B.

　　7.如圖程式框圖的演算法思路源於我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程式框圖，若輸入a，b分別為6，4，則輸出a的值為***　　***

　　A.0 B.2 C.4 D.6

　　【考點】程式框圖.

　　【分析】由迴圈結構的特點，先判斷，再執行，分別計算出當前的a，b的值，即可得到結論.

　　【解答】解：由a=6，b=4，a>b，

　　則a變為6﹣4=2，

　　由a

　　由a=b=2，

　　則輸出的a=2.

　　故選：B.

　　8.在班級的演講比賽中，將甲、乙兩名同學的得分情況製成如圖所示的莖葉圖.記甲、乙兩名同學所得分數的平均分分別為甲、乙，則下列判斷正確的是***　　***

　　A. 甲< 乙，甲比乙成績穩定 B. 甲> 乙，甲比乙成績穩定

　　C. 甲< 乙，乙比甲成績穩定 D. 甲> 乙，乙比甲成績穩定

　　【考點】眾數、中位數、平均數.

　　【分析】由莖葉圖知分別求出兩組資料的平均數和方差，由此能求出結果.

　　【解答】解：由莖葉圖知：

　　= ***76+77+88+90+94***=85，

　　= [***76﹣85***2+***77﹣85***2+***88﹣85***2+***90﹣85***2+***94﹣85***2]=52，

　　= ***75+86+88+88+93***=86，

　　= [***75﹣86***2+***86﹣86***2+***88﹣86***2+***88﹣86***2+***93﹣86***2]=35.6，

　　∴ 甲< 乙，乙比甲成績穩定.

　　故選：C.

　　9.設m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是***　　***

　　A.當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件

　　B.當m⊂α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件

　　C.當m⊂α時，“n∥α”是“m∥n”必要不充分條件

　　D.當m⊂α時，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件

　　【考點】平面的基本性質及推論.

　　【分析】當n⊥α時，“n⊥β”⇔“α∥β”;當m⊂α時，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”;當m⊂α時，“n∥α”⇒“m∥n或m與n異面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”;當m⊂α時，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”.

　　【解答】解：當n⊥α時，“n⊥β”⇔“α∥β”，故A正確;

　　當m⊂α時，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”，故B正確;

　　當m⊂α時，“n∥α”⇒“m∥n或m與n異面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”，故C不正確;

　　當m⊂α時，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”，故D正確.

　　故選C

　　10.如圖，三稜錐A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的餘弦值為***　　***

　　A. B. C. D.

　　【考點】異面直線及其所成的角.

　　【分析】連結ND，取ND的中點E，連結ME，推匯出異面直線AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出結果.

　　【解答】解：連結ND，取ND的中點E，連結ME，

　　則ME∥AN，∴∠EMC是異面直線AN，CM所成的角，

　　∵AN=2 ，∴ME= =EN，MC=2 ，

　　又∵EN⊥NC，∴EC= = ，

　　∴cos∠EMC= = = ，

　　∴異面直線AN，CM所成的角的餘弦值為 .

　　故選：A.

　　11.已知命題p：函式f***x***=x2﹣2mx+4在[2，+∞***上單調遞增;命題q：關於x的不等式mx2+2***m﹣2***x+1>0對任意x∈R恆成立.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數m的取值範圍為***　　***

　　A.***1，4*** B.[﹣2，4] C.***﹣∞，1]∪***2，4*** D.***﹣∞，1***∪***2，4***

　　【考點】複合命題的真假.

　　【分析】根據二次函式的單調性，以及一元二次不等式的解的情況和判別式△的關係即可求出命題p，q為真命題時m的取值範圍.根據p∨q為真命題，p∧q為假命題得到p真q假或p假q真，求出這兩種情況下m的範圍求並集即可.

　　【解答】解：若命題p為真，∵函式f***x***的對稱軸為x=m，∴m≤2;

　　若命題q為真，當m=0時原不等式為﹣4x+1>0，該不等式的解集不為R，即這種情況不存在;

　　當m≠0時，則有，

　　解得1

　　又∵P∨q為真，P∧q為假，∴P與q一真一假;

　　若P真q假，則，

　　解得m≤1;

　　若P假q真，則，解得2

　　綜上所述，m的取值範圍是m≤1或2

　　故選：C.

　　12.如圖，在稜長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出以下結論：

　　①直線A1B與B1C所成的角為60°;

　　②若M是線段AC1上的動點，則直線CM與平面BC1D所成角的正弦值的取值範圍是 ;

　　③若P，Q是線段AC上的動點，且PQ=1，則四面體B1D1PQ的體積恆為 .

　　其中，正確結論的個數是***　　***

　　A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

　　【考點】命題的真假判斷與應用.

　　【分析】①先證明A1B與A1D所成角為60°，又B1C∥A1D，可得直線A1B與B1C所成的角為60°，判斷①正確;

　　②由平面BDC1⊥平面ACC1，結合線面角的定義分別求出直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最大值與最小值判斷②正確;

　　③在PQ變化過程中，四面體PQB1D1的頂點D1到底面B1PQ的距離不變，底面積不變，則體積不變，求出體積判斷③正確.

　　【解答】解：①在△A1BD中，每條邊都是，即為等邊三角形，∴A1B與A1D所成角為60°，

　　又B1C∥A1D，∴直線A1B與B1C所成的角為60°，正確;

　　②如圖，由正方體可得平面BDC1⊥平面ACC1，當M點位於AC1上，且使CM⊥平面BDC1時，直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最大為1，

　　當M與C1重合時，連線CM交平面BDC1所得斜線最長，直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最小等於，

　　∴直線CM與平面BDC1所成角的正弦值的取值範圍是[ ，1]，正確;

　　③連線B1P，B1Q，設D1到平面B1AC的距離為h，則h= ，B1到直線AC的距離為，

　　則四面體PQB1D1的體積V= ，正確.

　　∴正確的命題是①②③.

　　故選：D

　　二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

　　13.根據如圖所示的演算法語句，當輸入的x為50時，輸出的y的值為　35　.

　　【考點】虛擬碼.

　　【分析】演算法的功能是求y= 的值，當輸入x=50時，計算輸出y的值.

　　【解答】解：由演算法語句知：演算法的功能是求y= 的值，

　　當輸入x=50時，

　　輸出y=30+0.5×10=35.

　　故答案為：35.

　　14.某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為　25　.

　　【考點】分層抽樣方法.

　　【分析】根據分層抽樣的定義求出在各層中的抽樣比，即樣本容量比上總體容量，按此比例求出應抽取的男生人數.

　　【解答】解：根據題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為 = ，

　　則應抽取的男生人數是500× =25人，

　　故答案為：25.

　　15.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只紅球、2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為　　.

　　【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.

　　【分析】根據題意，把4個小球分別編號，用列舉法求出基本事件數，計算對應的概率即可.

　　【解答】解：根據題意，記白球為A，紅球為B，黃球為C1、C2，則

　　一次取出2只球，基本事件為AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6種，

　　其中2只球的顏色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5種;

　　所以所求的概率是P= ，

　　故答案為： .

　　16.若直線y=x+b與曲線y=3﹣ 有兩個公共點，則b的取值範圍是　1﹣2

　　【考點】直線與圓的位置關係.

　　【分析】曲線方程變形後，表示圓心為***2，3***，半徑為2的下半圓，如圖所示，根據直線y=x+b與圓有2個公共點，

　　【解答】解：曲線方程變形為***x﹣2***2+***y﹣3***2=4，表示圓心A為***2，3***，半徑為2的下半圓，根據題意畫出圖形，如圖所示，

　　當直線y=x+b過B***4，3***時，將B座標代入直線方程得：3=4+b，即b=﹣1;

　　當直線y=x+b與半圓相切時，圓心A到直線的距離d=r，即 =2，即b﹣1=2 ***不合題意捨去***或b﹣1=﹣2 ，

　　解得：b=1﹣2 ，

　　則直線與曲線有兩個公共點時b的範圍為1﹣2

　　故答案為：1﹣2

　　三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

　　17.已知命題p：x2﹣8x﹣20≤0，命題q：[x﹣***1+m***]•[x﹣***1﹣m***]≤0***m>0***，若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值範圍.

　　【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

　　【分析】由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10.由於p是q的充分不必要條件，可得[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m].即可得出.

　　【解答】解：由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，

　　∵p是q的充分不必要條件，

　　∴[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m].

　　則，或，

　　解得m≥9.

　　故實數m的取值範圍為[9，+∞***.

　　18.已知圓C過點A***1，4***，B***3，2***，且圓心在x軸上，求圓C的方程.

　　【考點】圓的標準方程.

　　【分析】法一：設圓C：***x﹣a***2+y2=r2，利用待定係數法能求出圓C的方程.

　　法二：設圓C：x2+y2+Dx+F=0，利用待定係數法能求出圓C的方程.

　　法三：由已知圓心C必線上段AB的垂直平分線l上，AB的中點為***2，3***，由此能求出圓心C的座標和半徑，從而能求出圓C的方程.

　　【解答】解法一：設圓C：***x﹣a***2+y2=r2，

　　則

　　解得所以圓C的方程為***x+1***2+y2=20.

　　解法二：設圓C：x2+y2+Dx+F=0，

　　則

　　解得所以圓C的方程為x2+y2+2x﹣19=0.

　　解法三：因為圓C過兩點A***1，4***，B***3，2***，所以圓心C必線上段AB的垂直平分線l上，

　　又因為，所以kl=1，又AB的中點為***2，3***，

　　故AB的垂直平分線l的方程為y﹣3=x﹣2，即y=x+1.

　　又圓心C在x軸上，所以圓心C的座標為***﹣1，0***，

　　所以半徑，

　　所以圓C的方程為***x+1***2+y2=20.

　　19.如圖，在三稜柱ABC﹣A1B1C1中，側稜AA1⊥底面ABC，底面ABC等邊三角形，E，F分別是BC，CC1的中點.求證：

　　***Ⅰ*** EF∥平面A1BC1;

　　***Ⅱ*** 平面AEF⊥平面BCC1B1.

　　【考點】平面與平面垂直的判定;直線與平面平行的判定.

　　【分析】***Ⅰ***由三角形中位線定理得EF∥BC1，由此能證明EF∥平面A1BC1.

　　***Ⅱ***由三稜柱ABC﹣A1B1C1是直三稜柱，得AE⊥BB1，由正三角形性質得AE⊥BC，由此能證明平面AEF⊥平面BCC1B1.

　　【解答】證明：***Ⅰ***因為E，F分別是BC，CC1的中點，

　　所以EF∥BC1.

　　又因為BC1⊂平面A1BC1，EF⊄平面A1BC1，

　　所以EF∥平面A1BC1.

　　***Ⅱ***因為三稜柱ABC﹣A1B1C1是直三稜柱，

　　所以BB1⊥平面ABC.又AE⊂平面ABC，

　　所以AE⊥BB1.

　　又因為△ABC為正三角形，E為BC的中點，

　　所以AE⊥BC.

　　又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1.

　　又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1.

　　20.某校高中一年級組織學生參加了環保知識競賽，並抽取了20名學生的成績進行分析，如圖是這20名學生競賽成績***單位：分***的頻率分佈直方圖，其分組為[100，110***，[110，120***，…，[130，140***，[140，150].

　　***Ⅰ*** 求圖中a的值及成績分別落在[100，110***與[110，120***中的學生人數;

　　***Ⅱ*** 學校決定從成績在[100，120***的學生中任選2名進行座談，求此2人的成績都在[110，120***中的概率.

　　【考點】古典概型及其概率計算公式;頻率分佈直方圖.

　　【分析】***Ⅰ***根據頻率分佈直方圖知組距為10，由頻率分佈直方圖中小矩形面積之和為1，求出a，由此能求出成績分別落在[100，110***與[110，120***中的學生人數.

　　***Ⅱ***記成績落在[100，110***中的2人為A1，A2，成績落在[110，120***中的3人為B1，B2，B3，由此利用列舉法能求出此2人的成績都在[110，120***中的概率.

　　【解答】解：***Ⅰ***根據頻率分佈直方圖知組距為10，

　　由***2a+3a+7a+6a+2a***×10=1，

　　解得 ;

　　所以成績落在[100，110***中的人數為2×0.005×10×20=2;

　　成績落在[110，120***中的人數為3×0.005×10×20=3.

　　***Ⅱ***記成績落在[100，110***中的2人為A1，A2，

　　成績落在[110，120***中的3人為B1，B2，B3，

　　則從成績在[100，120***的學生中任選2人的基本事件共有10個：

　　{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，

　　其中2人的成績都在[110，120***中的基本事件有3個：

　　{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，

　　所以所求概率為 .

　　21.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四稜錐A1﹣BCDE.

　　***Ⅰ*** 證明：CD⊥平面A1OC;

　　***Ⅱ*** 若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角***銳角***的餘弦值.

　　【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定.

　　【分析】***Ⅰ***根據線面垂直的判定定理即可證明：CD⊥平面A1OC;

　　***Ⅱ***若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空間座標系，利用向量法即可求平面A1BC與平面A1CD夾角的餘弦值.

　　【解答】證明：***Ⅰ***在圖1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD= ，

　　∴BE⊥AC，

　　即在圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

　　則BE⊥平面A1OC;

　　∵CD∥BE，

　　∴CD⊥平面A1OC.

　　解：***Ⅱ***若平面A1BE⊥平面BCDE，

　　由***Ⅰ***知BE⊥OA1，BE⊥OC，

　　∴∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，

　　∴∠A1OC= ，

　　如圖，建立空間座標系，

　　∵A1B=A1E=BC=ED=1.BC∥ED

　　∴B*** ，0，0***，E***﹣ ，0，0***，A1***0，0， ***，C***0，，0***，

　　=***﹣ ，，0***， =***0，，﹣ ***， = =***﹣ ，0，0***，

　　設平面A1BC的法向量為 =***x，y，z***，平面A1CD的法向量為 =***a，b，c***，

　　則，得，令x=1，則y=1，z=1，即 =***1，1，1***，

　　由，得，取b=1，得 =***0，1，1***，

　　則cos< ， >= = = ，

　　∴平面A1BC與平面A1CD夾角***銳角***的餘弦值為 .

　　22.已知圓C：x2﹣***1+a***x+y2﹣ay+a=0***a∈R***.

　　***Ⅰ*** 若a=1，求直線y=x被圓C所截得的弦長;

　　***Ⅱ*** 若a>1，如圖，圓C與x軸相交於兩點M，N***點M在點N的左側***.過點M的動直線l與圓O：x2+y2=4相交於A，B兩點.問：是否存在實數a，使得對任意的直線l均有∠ANM=∠BNM?若存在，求出實數a的值，若不存在，請說明理由.

　　【考點】圓方程的綜合應用.

　　【分析】***Ⅰ***當a=1時，求出圓心C***1， ***，半徑r= ，求出圓心C到直線y=x的距離，由此利用勾股定理能求出直線y=x被圓C所截得的弦長.

　　***Ⅱ***先求出所以M***1，0***，N***a，0***，假設存在實數a，當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k***x﹣1***，代入x2+y2=4，利用韋達定理，根據NA、NB的斜率之和等於零求得a的值.經過檢驗，當直線AB與x軸垂直時，這個a值仍然滿足∠ANM=∠BNM，從而得出結論.

　　【解答】解：***Ⅰ*** 當a=1時，圓C：x2﹣2x+y2﹣y+1=0，

　　圓心C***1， ***，半徑r= = ，

　　圓心C***1， ***到直線y=x的距離d= = ，

　　∴直線y=x被圓C所截得的弦長為：2 = .

　　***Ⅱ***令y=0，得x2﹣***1+a***x+a=0，即***x﹣1******x﹣a***=0，解得x=1，或x=a，

　　∴M***1，0***，N***a，0***.

　　假設存在實數a，當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k***x﹣1***，

　　代入x2+y2=4得，***1+k2***x2﹣2k2x+k2﹣4=0，

　　設A***x1，y1***，B***x2，y2***，從而，x1x2= .

　　∵NA、NB的斜率之和為 + = ，

　　而***x1﹣1******x2﹣a***+***x2﹣1******x1﹣a***

　　=2x1x2﹣***a+1******x2+x1***+2a= +2a= ，