九年級數學上冊第三次月考試卷
九年級的新學期開始不久，同學們即將迎來第三次月考的時刻了，同學們需要準備哪些數學月考試卷來練習呢?下面是小編為大家帶來的關於，希望會給大家帶來幫助。
及答案解析：
一、選擇題***本大題共11小題，每小題4分，共40分***
1.拋物線y=***x﹣1***2+2的頂點是*** ***
A.***1，﹣2*** B.***1，2*** C.***﹣1，2*** D.***﹣1，﹣2***
【考點】二次函式的性質.
【分析】已知拋物線解析式為頂點式，根據頂點式的座標特點，直接寫成頂點座標.
【解答】解：因為拋物線y=2***x﹣1***2+2是頂點式，
根據頂點式的座標特點，頂點座標為***1，2***.
故選B.
【點評】拋物線的頂點式的應用.
2.⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數為*** ***
A.20° B.40° C.60° D.80°
【考點】圓周角定理.
【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC=40°，根據圓周角定理，即可求得答案.
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°.
故選：D.
【點評】此題考查了圓周角定理.此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用.
3.某廠一月份的總產量為500噸，三月份的總產量達到為720噸.若平均每月增長率是x，則可以列方程*** ***
A.500***1+2x***=720 B.500***1+x***2=720 C.500***1+x2***=720 D.720***1+x***2=500
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【專題】增長率問題.
【分析】主要考查增長率問題，一般用增長後的量=增長前的量×***1+增長率***，如果設平均每月增率是x，那麼根據三月份的產量可以列出方程.
【解答】解：設平均每月增率是x，
二月份的產量為：500×***1+x***;
三月份的產量為：500***1+x***2=720;
故本題選B.
【點評】找到關鍵描述語，找到等量關係是解決問題的關鍵;本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為a，變化後的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化後的數量關係為a***1±x***2=b***當增長時中間的“±”號選“+”，當降低時中間的“±”號選“﹣”***.
4.如果關於x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有實數根，則a的取值範圍是*** ***
A.a>﹣ B.a≥﹣ C.a≥﹣ 且a≠0 D.a> 且a≠0
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】在判斷一元二次方程根的情況的問題中，必須滿足下列條件：
***1***二次項係數不為零;
***2***在有實數根的情況下必須滿足△=b2﹣4ac≥0.
【解答】解：依題意列方程組
，
解得a≥﹣ 且a≠0.故選C.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項係數不為零這一隱含條件.
5.下列形中，是中心對稱形的是*** ***
A. B. C. D.
【考點】中心對稱形.
【分析】根據中心對稱形的概念，即可求解.
【解答】解：中心對稱形，即把一個形繞一個點旋轉180°後能和原來的形重合，只有A符合;
B，C，D不是中心對稱形.
故選;A.
【點評】本題考查了中心對稱形的概念：在同一平面內，如果把一個形繞某一點旋轉180度，旋轉後的形能和原形完全重合，那麼這個形就叫做中心對稱形.
6.下列事件是隨機事件的為*** ***
A.度量三角形的內角和，結果是180°
B.經過城市中有交通訊號燈的路口，遇到紅燈
C.爸爸的年齡比爺爺大
D.通常加熱到100℃時，水沸騰
【考點】隨機事件.
【分析】隨機事件就是可能發生，也可能不發生的事件，依據定義即可作出判斷.
【解答】A、是必然事件，選項錯誤;
B、正確;
C、是不可能事件，選項錯誤;
D、是必然事件，選項錯誤.
故選B.
【點評】解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.
7.將二次函式y=x2﹣2x+3化為y=***x﹣h***2+k的形式，結果為*** ***
A.y=***x+1***2+4 B.y=***x﹣1***2+4 C.y=***x+1***2+2 D.y=***x﹣1***2+2
【考點】二次函式的三種形式.
【分析】本題是將一般式化為頂點式，由於二次項係數是1，只需加上一次項係數的一半的平方來湊成完全平方式即可.
【解答】解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=***x﹣1***2+2.
故選：D.
【點評】二次函式的解析式有三種形式：
***1***一般式：y=ax2+bx+c***a≠0，a、b、c為常數***;
***2***頂點式：y=a***x﹣h***2+k;
***3***交點式***與x軸***：y=a***x﹣x1******x﹣x2***.
8.已知一個圓錐的側面積是150π，母線為15，則這個圓錐的底面半徑是*** ***
A.5 B.10 C.15 D.20
【考點】圓錐的計算.
【分析】根據圓錐的側面積=底面半徑×母線長×π，進而求出即可.
【解答】解：∵母線為15，設圓錐的底面半徑為x，
∴圓錐的側面積=π×15×x=150π.
解得：x=10.
故選：B.
【點評】本題考查了圓錐的計算，熟練利用圓錐公式求出是解題關鍵.
9.將拋物線y=x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為*** ***
A.y=x2﹣2 B.y=x2+2 C.y=***x+2***2 D.y=***x﹣2***2
【考點】二次函式象與幾何變換.
【專題】存在型.
【分析】直接根據“左加右減”的原則進行解答即可.
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2向左平移2個單位，所得拋物線的解析式為：y=***x+2***2.
故選C.
【點評】本題考查的是二次函式的象與幾何變換，熟知函式象平移的法則是解答此題的關鍵.
10.CD是⊙O的直徑，AB是弦***不是直徑***，AB⊥CD於點E，則下列結論正確的是*** ***
A.AE>BE B. = C.∠AEC=2∠D D.∠B=∠C.
【考點】垂徑定理;圓周角定理.
【分析】根據垂徑定理和圓周角定理判斷即可.
【解答】解：∵AB⊥CD，CD過O，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，
連線OA，
則∠AOC=2∠ADE，
∵∠AEC>∠AOC，
∴∠AEC=2∠D錯誤;
∵AB不是直徑，
∴根據已知不能推出弧AC=弧BD，
∴∠B和∠C不相等，
即只有選項B正確;選項A、C、D都錯誤;
故選A.
【點評】本題考查了垂徑定理和圓周角定理的應用，主要考查學生的推理能力和辨析能力.
11.P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點***P與A、C不重合***，點E在射線BC上，且PE=PB.設AP=x，△PBE的面積為y.則下列象中，能表示y與x的函式關係的象大致是*** ***
A.. B.. C.. D..
【考點】動點問題的函式象.
【分析】過點P作PF⊥BC於F，若要求△PBE的面積，則需要求出BE，PF的值，利用已知條件和正方形的性質以及勾股定理可求出BE，PF的值.再利用三角形的面積公式得到y與x的關係式，此時還要考慮到自變數x的取值範圍和y的取值範圍.
【解答】解：過點P作PF⊥BC於F，
∵PE=PB，
∴BF=EF，
∵正方形ABCD的邊長是1，
∴AC= = ，
∵AP=x，∴PC= ﹣x，
∴PF=FC= *** ﹣x***=1﹣ x，
∴BF=FE=1﹣FC= x，
∴S△PBE= BE•PF= x***1﹣ x***=﹣ x2+ x，
即y=﹣ x2+ x***0
∴y是x的二次函式***0
故選D.
【點評】本題考查了動點問題的函式象，和正方形的性質;等於直角三角形的性質;三角形的面積公式.對於此類問題來說是典型的數形結合，象應用資訊廣泛，通過看獲取資訊，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.用象解決問題時，要理清象的含義即會識.
二、填空題***本大題共7小題，每小題3分，共21分***
12.已知⊙O的半徑為4cm，如果圓心O到直線L的距離為3.5cm，那麼直線L與⊙O的位置關係是相交.
【考點】直線與圓的位置關係.
【分析】運用直線與圓的三種位置關係，結合3.5<4，即可解決問題.
【解答】解：∵⊙O的半徑為4，
圓心O到直線L的距離為3.5，而3.5<4，
∴直線L與⊙O相交.
故答案為：相交.
【點評】該題主要考查了直線與圓的位置關係及其應用問題;若圓的半徑為λ，圓心到直線的距離為μ，當λ>μ時，直線與圓相交;當λ=μ時，直線與圓相切;當λ<μ時，直線與圓相離.
13.如果扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，那麼扇形的面積是3πcm2，弧長2πcm.
【考點】扇形面積的計算;弧長的計算.
【分析】先根據扇形的面積公式計算出扇形的面積，再根據弧長公式計算出其弧長即可.
【解答】解：∵扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，
∴S扇形= =3π***cm2***;l= =2π***cm***.
故答案為：3π，2π.
【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵.
14.一個口袋裡放有三枚除顏色外都相同的棋子，其中有兩枚是白色的，一枚是紅色的.從中隨機摸出一枚記下顏色，放回口袋攪勻，再從中隨機摸出一枚記下顏色，兩次摸出棋子顏色不同的概率是 .
【考點】列表法與樹狀法.
【專題】計算題.
【分析】根據題意列出表格得出所有等可能的情況數，找出顏色不同的情況數，即可求出所求的概率.
【解答】解：列表如下：
白 白 紅
白 ***白，白*** ***白，白*** ***紅，白***
白 ***白，白*** ***白，白*** ***紅，白***
紅 ***白，紅*** ***白，紅*** ***紅，紅***
所有等可能的情況有9種，其中兩次摸出棋子顏色不同的情況有5種，
則P***顏色不同***= .
故答案為： .
【點評】此題考查了列表法與樹狀法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
15.所示，圓O的半徑為5，AB為弦，OC⊥AB，垂足為E，如果CE=2，那麼AB的長是8.
【考點】垂徑定理;勾股定理.
【分析】連線OA;首先求出OE的長度;藉助勾股定理求出AE的長度，即可解決問題.
【解答】 解：連線OA;
OE=OC﹣CE=5﹣2=3;
∵OC⊥AB，
∴AE=BE;
由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，
∵OA=5，OE=3，
∴AE=4，AB=2AE=8.
故答案為8.
【點評】該題主要考查了勾股定理、垂徑定理等的應用問題;作輔助線，構造直角三角形，靈活運用勾股定理、垂徑定理來分析、判斷、解答是解題的關鍵.
16.在平面直角座標系中，拋物線y= 經過平移得到拋物線y= ，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為4.
【考點】二次函式象與幾何變換.
【分析】確定出拋物線y= x2﹣2x的頂點座標，然後求出拋物線的對稱軸與原拋物線的交點座標，從而判斷出陰影部分的面積等於三角形的面積，再根據三角形的面積公式列式計算即可得解.
【解答】解：∵y= x2﹣2x= ***x﹣2***2﹣2，
∴平移後拋物線的頂點座標為***2，﹣2***，對稱軸為直線x=2，
當x=2時，y= ×22=2，
∴平移後陰影部分的面積等於三角形的面積，
×***2+2***×2=4.
故答案為：4.
【點評】本題考查了二次函式象與幾何變換，確定出與陰影部分面積相等的三角形是解題的關鍵.
17.若a、b***a
【考點】解一元二次方程-因式分解法;關於x軸、y軸對稱的點的座標.
【專題】計算題.
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解確定出a與b的值，即可得出***a，b***關於x軸的對稱點座標.
【解答】解：方程2x2﹣7x+3=0，
分解因式得：***2x﹣1******x﹣3***=0，
解得：x1= ，x2=3，
∴a= ，b=3，
則*** ，3***關於x軸的對稱點座標為*** ，﹣3***，
故答案為：*** ，﹣3***
【點評】此題考查瞭解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.
18.所示，點A是半圓上的一個三等分點，B是劣弧 的中點，點P是直徑MN上的一個動點，⊙O的半徑為1，則AP+PB的最小值 .
【考點】垂徑定理;軸對稱-最短路線問題.
【專題】動點型.
【分析】本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，設A′是A關於MN的對稱點，連線A′B，與MN的交點即為點P.此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結果.
【解答】解：作點A關於MN的對稱點A′，連線A′B，交MN於點P，連線OA′，OA，OB，PA，AA′.
∵點A與A′關於MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵點B是弧AN的中點，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B= .
∴PA+PB=PA′+PB=A′B= .
故答案為： .
【點評】本題結合形的性質，考查軸對稱﹣﹣最短路線問題.其中求出∠BOA′的度數是解題的關鍵.
三、解答題***本大題共8題，共89分***
19.已知二次函式y=x2+2x﹣1.
***1***寫出它的頂點座標;
***2***當x取何值時，y隨x的增大而增大;
***3***求出象與x軸的交點座標.
【考點】二次函式的性質;拋物線與x軸的交點.
【分析】***1***配方後直接寫出頂點座標即可;
***2***確定對稱軸後根據其開口方向確定其增減性即可;
***3***令y=0後求得x的值後即可確定與x軸的交點座標;
【解答】解：***1***y=x2+2x﹣1=***x+1***2﹣2，
∴頂點座標為：***﹣1，﹣2***;
***2***∵y=x2+2x﹣1=***x+1***2﹣2的對稱軸為：x=﹣1，開口向上，
∴當x>﹣1時，y隨x的增大而增大;
***3***令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ ，
∴象與x軸的交點座標為***﹣1﹣ ，0***，***﹣1+ ，0***.
【點評】本題考查了二次函式的性質，解題的關鍵是瞭解拋物線的有關性質.
20.設點A的座標為***x，y***，其中橫座標x可取﹣1、2，縱座標y可取﹣1、1、2.
***1***求出點A的座標的所有等可能結果***用樹狀或列表法求解***;
***2***試求點A與點B***1，﹣1***關於原點對稱的概率.
【考點】列表法與樹狀法;關於原點對稱的點的座標.
【分析】列舉出所有情況，讓所求的情況數除以總情況數即為所求的概率.
【解答】解：***解法一***
***1***列舉所有等可能結果，畫出樹狀如下
由上可知，點A的座標的所有等可能結果為：***﹣1，﹣1***、***﹣1，1***、***﹣1，2***、
***2，﹣1***、***2，1***、***2，2***，共有6種，
***2***由***1***知，能與點B***1，﹣1***關於原點對稱的結果有1種.
∴P***點A與點B關於原點對稱***=
***解法二******1***列表如下
﹣1 1 2
﹣1 ***﹣1，﹣1*** ***﹣1，1*** ***﹣1，2***
2 ***2，﹣1*** ***2，1*** ***21，2***
由一表可知，點A的座標的所有等可能結果為：***﹣1，﹣1***、***﹣1，1***、***﹣1，2***、
***2，﹣1***、***2，1***、***2，2***，共有6種，
***2***由***1***知，能與點B***1，﹣1***關於原點對稱的結果有1種.
∴P***點A與點B關於原點對稱***= .
【點評】用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.兩點關於原點對稱，橫縱座標均互為相反數.
21.為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優惠政策，使農民收入大幅度增加.某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發現，該產品每天的銷售量y***千克***與銷售價x***元/千克***有如下關係：y=﹣2x+80.設這種產品每天的銷售利潤為w元.
***1***求w與x之間的函式關係式.
***2***該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
***3***如果物價部門規定這種產品的銷售價不高於每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元?
【考點】二次函式的應用.
【專題】壓軸題.
【分析】***1***根據銷售額=銷售量×銷售單價，列出函式關係式;
***2***用配方法將***1***的函式關係式變形，利用二次函式的性質求最大值;
***3***把y=150代入***2***的函式關係式中，解一元二次方程求x，根據x的取值範圍求x的值.
【解答】解：***1***由題意得出：
w=***x﹣20***∙y
=***x﹣20******﹣2x+80***
=﹣2x2+120x﹣1600，
故w與x的函式關係式為：w=﹣2x2+120x﹣1600;
***2***w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2***x﹣30***2+200，
∵﹣2<0，
∴當x=30時，w有最大值.w最大值為200.
答：該產品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.
***3***當w=150時，可得方程﹣2***x﹣30***2+200=150.
解得 x1=25，x2=35.
∵35>28，
∴x2=35不符合題意，應捨去.
答：該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元.
【點評】本題考查了二次函式的運用.關鍵是根據題意列出函式關係式，運用二次函式的性質解決問題.
22.已知二次函式y=x2﹣4x+3的象交x軸於A，B兩點***點A在點B的左側***，交y軸於點C.
***1***求直線BC的解析式;
***2***點D是在直線BC下方的拋物線上的一個動點，當△BCD的面積最大時，求D點座標.
【考點】拋物線與x軸的交點;待定係數法求一次函式解析式;二次函式象上點的座標特徵.
【專題】計算題.
【分析】***1***利用y=x2﹣4x+3的象交x軸於A、B兩點***點A在點B的左側***，拋物線y=x2﹣4x+3交y軸於點C，即可得出A，B，C點的座標，將B，C點的座標分別代入y=kx+b***k≠0***，即可得出解析式;
***2***設過D點的直線與直線BC平行，且拋物線只有一個交點時，△BCD的面積最大.
【解答】解：***1***設直線BC的解析式為：y=kx+b***k≠0***.
令x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
則A***1，0***，B***3，0***，C***0，3***，
將B***3，0***，C***0，3***，代入y=kx+b***k≠0***，得
，
解得：k=﹣1，b=3，
BC所在直線為：y=﹣x+3;
***2***設過D點的直線與直線BC平行，且拋物線只有一個交點時，△BCD的面積最大.
∵直線BC為y=﹣x+3，∴設過D點的直線為y=﹣x+b，
∴ ，∴x2﹣3x+3﹣b=0，
∴△=9﹣4***3﹣b***=0，
解得b= ，
∴ ，
解得， ，
則點D的座標為：*** ，﹣ ***.
【點評】本題考查了二次函式綜合題型，主要考查了待定係數法求二次函式解析式，待定係數法求一次函式解析式，利用平行線確定點到直線的最大距離問題.
23.所示，已知△ABC的三個頂點的座標分別為A***﹣2，3***，B***﹣6，0***，C***﹣1，0***.
***1***請直接寫出點A關於原點O對稱的點的座標;
***2***將△ABC繞座標原點O逆時針旋轉90°，求A點經過的路徑長;
***3***請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的座標.
【考點】作-旋轉變換;平行四邊形的性質.
【分析】***1***直接寫出點A關於原點O對稱的點的座標即可.
***2***根據網格結構找出點A、B、C繞座標原點O逆時針旋轉90°對應點A′、B′、C′的位置，然後順次連線即可，再根據平面直角座標系寫出點B′的座標，根據弧長公式列式計算即可得解;
***3***根據平行四邊形的對邊平行且相等，分AB、BC、AC是對角線三種情況分別寫出即可.
【解答】解：***1***點A關於原點O對稱的點的座標為***2，﹣3***;
***2***△ABC旋轉後的△A′B′C′所示，
點A′的對應點的座標為***﹣3，﹣2***;
OA′= = ，
即點A所經過的路徑長為 = ;
***3***若AB是對角線，則點D***﹣7，3***，
若BC是對角線，則點D***﹣5，﹣3***，
若AC是對角線，則點D***3，3***.
【點評】本題考查了利用旋轉變換作，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，弧長公式，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵，難點在於***3***分情況討論.
24.OC平分∠MON，點A在射線OC上，以點A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切於點B，連線BA並延長交⊙A於點D，交ON於點E.
***1***求證：ON是⊙A的切線;
***2***若∠MON=60°，求中陰影部分的面積.***結果保留π***
【考點】切線的判定;扇形面積的計算.
【分析】***1***首先過點A作AF⊥ON於點F，易證得AF=AB，即可得ON是⊙A的切線;
***2***由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的長，又由S陰影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案.
【解答】***1***證明：過點A作AF⊥ON於點F，
∵⊙A與OM相切於點B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切線;
***2***解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE= ，
∴EF=AF•tan60°=2 ，
∴S陰影=S△AEF﹣S扇形ADF= AF•EF﹣ ×π×AF2=2 ﹣ π.
【點評】此題考查了切線的判定與性質、扇形的面積以及三角函式的性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.
25.***13分***已知關於x的一元二次方程kx2+***3k+1***x+3=0***k≠0***.
***1***求證：無論k取何值，方程總有兩個實數根;
***2***若二次函式y=kx2+***3k+1***x+3的象與x軸兩個交點的橫座標均為整數，且k為整數，求k的值.
解：
【考點】根的判別式;拋物線與x軸的交點.
【專題】證明題.
【分析】***1***先計算判別式得值得到△=***3k+1***2﹣4k×3=***3k﹣1***2，然後根據非負數的性質得到△≥0，則根據判別式的意義即可得到結論;
***2***先理由求根公式得到kx2+***3k+1***x+3=0***k≠0***的解為x1=﹣ ，x2=﹣3，則二次函式y=kx2+***3k+1***x+3的象與x軸兩個交點的橫座標分別為﹣ 和﹣3，然後根據整數的整除性可確定整數k的值.
【解答】***1***證明：△=***3k+1***2﹣4k×3
=***3k﹣1***2，
∵***3k﹣1***2，≥0，
∴△≥0，
∴無論k取何值，方程總有兩個實數根;
***2***解：kx2+***3k+1***x+3=0***k≠0***
x= ，
x1=﹣ ，x2=﹣3，
所以二次函式y=kx2+***3k+1***x+3的象與x軸兩個交點的橫座標分別為﹣ 和﹣3，
根據題意得﹣ 為整數，
所以整數k為±1.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0***a≠0***的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.也考查了拋物線與x軸的交點.
26.***14分***所示，在平面直角座標系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半⊙Oˊ與y軸正半軸交於點C，連線BC，AC.CD是半⊙Oˊ的切線，AD⊥CD於點D.
***1***求證：∠CAD=∠CAB;
***2***已知拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點，AB=10，AC=2BC.
①求拋物線的解析式;
②判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，並說明理由.
【考點】二次函式綜合題.
【分析】***1***連線O′C，由CD是⊙O的切線，可得O′C⊥CD，則可證得O′C∥AD，又由O′A=O′C，則可證得∠CAD=∠CAB;
***2***①首先證得△CAO∽△BCO，根據相似三角形的對應邊成比例，可得OC2=OA•OB，又由AC=2BC則可求得CO，AO，BO的長，然後利用待定係數法即可求得二次函式的解析式;
②首先證得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的對應邊成比例，即可得到F的座標，求得直線DC的解析式，然後將拋物線的頂點座標代入檢驗即可求得答案.
【解答】***1***證明：連線O′C，
∵CD是⊙O′的切線，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB;
***2***解：①∵AB是⊙O′的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴ = ，
即OC2=OA•OB，
∵AC=2BC，
∴tan∠CAO=tan∠CAB= ，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO***10﹣2CO***，
解得CO1=4，CO2=0***捨去***，
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO>0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A***﹣8，0***，B***2，0***，C***0，4***，
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，C三點，
∴c=4，
由題意得： ，
解得： ，
∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2﹣ x+4;
②設直線DC交x軸於點F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴ = ，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8***BF+5***=5***BF+10***，
∴BF= ，F*** ，0***;
設直線DC的解析式為y=kx+m，
則 ，
解得： ，
∴直線DC的解析式為y=﹣ x+4，
由y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ ***x+3***2+ 得頂點E的座標為***﹣3， ***，
將E***﹣3， ***代入直線DC的解析式y=﹣ x+4中，
右邊=﹣ ×***﹣3***+4= =左邊，
∴拋物線頂點E在直線CD上.
【點評】此題考查了待定係數法求函式的解析式，相似三角形的判定與性質，點與函式的關係，直角梯形等知識.此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用.