高一學生學習數學函式的方法以及知識點歸納
函式在初中階段也介紹過，也是一個重點知識點，只是高中的函式難度加深了，那麼高一的同學如何學習好函式，在第一年打好數學的基礎呢?下面來看看小編整理的，僅供參考。
高一學生學習數學函式的方法
一、考點回顧
1.理解函式的概念，瞭解對映的概念.
2.瞭解函式的單調性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性的方法.
3.瞭解反函式的概念及互為反函式的函式圖象間的關係，會求一些簡單函式的反函式.
4.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函式的概念、圖象和性質.
5.理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函式的概念、圖象和性質.
6.能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題.
二、經典例題剖析
考點一：函式的性質與圖象
函式的性質是研究初等函式的基石，也是高考考查的重點內容.在複習中要肯於在對定義的深入理解上下功夫.
複習函式的性質，可以從“數”和“形”兩個方面，從理解函式的單調性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函式的性質的問題中得以鞏固，在求複合函式的單調區間、函式的最值及應用問題的過程中得以深化.具體要求是：
1.正確理解函式單調性和奇偶性的定義，能準確判斷函式的奇偶性，以及函式在某一區間的單調性，能熟練運用定義證明函式的單調性和奇偶性.
2.從數形結合的角度認識函式的單調性和奇偶性，深化對函式性質幾何特徵的理解和運用，歸納總結求函式最大值和最小值的常用方法.
3.培養學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力.
這部分內容的重點是對函式單調性和奇偶性定義的深入理解.
函式的單調性只能在函式的定義域內來討論.函式y=f***x***在給定區間上的單調性，反映了函式在區間上函式值的變化趨勢，是函式在區間上的整體性質，但不一定是函式在定義域上的整體性質.函式的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制.
對函式奇偶性定義的理解，不能只停留在f***-x***=f***x***和f***-x***=-f***x***這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個x，都有f***-x***=f***x***，f***-x***=-f***x***的實質是：函式的定義域關於原點對稱.這是函式具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函式f***x***的圖象關於直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f***x+a***=f***a-x***成立.函式的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映.
這部分的難點是函式的單調性和奇偶性的綜合運用.根據已知條件，調動相關知識，選擇恰當的方法解決問題，是對學生能力的較高要求.
高一學生學習數學函式的知識點歸納一
***一***、對映、函式、反函式
1、對應、對映、函式三個概念既有共性又有區別，對映是一種特殊的對應，而函式又是一種特殊的對映.
2、對於函式的概念，應注意如下幾點：
***1***掌握構成函式的三要素，會判斷兩個函式是否為同一函式.
***2***掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變數間的函式關係式，特別是會求分段函式的解析式.
***3***如果y=f***u***，u=g***x***，那麼y=f[g***x***]叫做f和g的複合函式，其中g***x***為內函式，f***u***為外函式.
3、求函式y=f***x***的反函式的一般步驟：
***1***確定原函式的值域，也就是反函式的定義域;
***2***由y=f***x***的解析式求出x=f-1***y***;
***3***將x，y對換，得反函式的習慣表示式y=f-1***x***，並註明定義域.
注意①：對於分段函式的反函式，先分別求出在各段上的反函式，然後再合併到一起.
②熟悉的應用，求f-1***x0***的值，合理利用這個結論，可以避免求反函式的過程，從而簡化運算.
***二***、函式的解析式與定義域
1、函式及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函式是不存在的，因此，要正確地寫出函式的解析式，必須是在求出變數間的對應法則的同時，求出函式的定義域.求函式的定義域一般有三種類型：
***1***有時一個函式來自於一個實際問題，這時自變數x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;
***2***已知一個函式的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
①分式的分母不得為零;
②偶次方根的被開方數不小於零;
③對數函式的真數必須大於零;
④指數函式和對數函式的底數必須大於零且不等於1;
⑤三角函式中的正切函式y=tanx***x∈R，且k∈Z***，餘切函式y=cotx***x∈R，x≠kπ，k∈Z***等.
應注意，一個函式的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變數取值的公共部分***即交集***.
***3***已知一個函式的定義域，求另一個函式的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f***x***的定義域是[a，b]，求f[g***x***]的定義域是指滿足a≤g***x***≤b的x的取值範圍，而已知f[g***x***]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f***x***的定義域，即g***x***的值域.
2、求函式的解析式一般有四種情況
***1***根據某實際問題需建立一種函式關係時，必須引入合適的變數，根據數學的有關知識尋求函式的解析式.
***2***有時題設給出函式特徵，求函式的解析式，可採用待定係數法.比如函式是一次函式，可設f***x***=ax+b***a≠0***，其中a，b為待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
***3***若題設給出複合函式f[g***x***]的表示式時，可用換元法求函式f***x***的表示式，這時必須求出g***x***的值域，這相當於求函式的定義域.
***4***若已知f***x***滿足某個等式，這個等式除f***x***是未知量外，還出現其他未知量***如f***-x***，等***，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f***x***的表示式.
高一學生學習數學函式的知識點歸納二
***三***、函式的值域與最值
1、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函式值域都應先考慮其定義域，求函式值域常用方法如下：
***1***直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函式，可由函式的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函式的值域.
***2***換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函式轉化成另一種簡單函式再求值域，若函式解析式中含有根式，當根式裡一次式時用代數換元，當根式裡是二次式時，用三角換元.
***3***反函式法：利用函式f***x***與其反函式f-1***x***的定義域和值域間的關係，通過求反函式的定義域而得到原函式的值域，形如***a≠0***的函式值域可採用此法求得.
***4***配方法：對於二次函式或二次函式有關的函式的值域問題可考慮用配方法.
***5***不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈***0，+∞***]可以求某些函式的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
***6***判別式法：把y=f***x***變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.
***7***利用函式的單調性求值域：當能確定函式在其定義域上***或某個定義域的子集上***的單調性，可採用單調性法求出函式的值域.
***8***數形結合法求函式的值域：利用函式所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函式的值域，即以數形結合求函式的值域.
2、求函式的最值與值域的區別和聯絡
求函式最值的常用方法和求函式值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函式的值域中存在一個最小***大***數，這個數就是函式的最小***大***值.因此求函式的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函式的值域是***0，16]，最大值是16，無最小值.再如函式的值域是***-∞，-2]∪[2，+∞***，但此函式無最大值和最小值，只有在改變函式定義域後，如x>0時，函式的最小值為2.可見定義域對函式的值域或最值的影響.
3、函式的最值在實際問題中的應用
函式的最值的應用主要體現在用函式知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積***體積***最大***最小***”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值.
***四***、函式的奇偶性
1、函式的奇偶性的定義：對於函式f***x***，如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f***-x***=-f***x******或f***-x***=f***x******，那麼函式f***x***就叫做奇函式***或偶函式***.
正確理解奇函式和偶函式的定義，要注意兩點：***1***定義域在數軸上關於原點對稱是函式f***x***為奇函式或偶函式的必要不充分條件;***2***f***x***=-f***x***或f***-x***=f***x***是定義域上的恆等式.***奇偶性是函式定義域上的整體性質***.
2、奇偶函式的定義是判斷函式奇偶性的主要依據。為了便於判斷函式的奇偶性，有時需要將函式化簡或應用定義的等價形式：
注意如下結論的運用：
***1***不論f***x***是奇函式還是偶函式，f***|x|***總是偶函式;
***2***f***x***、g***x***分別是定義域D1、D2上的奇函式，那麼在D1∩D2上，f***x***+g***x***是奇函式，f***x***·g***x***是偶函式，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
***3***奇偶函式的複合函式的奇偶性通常是偶函式;
***4***奇函式的導函式是偶函式，偶函式的導函式是奇函式。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
***1***一個函式為奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱;一個函式為偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱.
***2***如要函式的定義域關於原點對稱且函式值恆為零，那麼它既是奇函式又是偶函式.
***3***若奇函式f***x***在x=0處有意義，則f***0***=0成立.
***4***若f***x***是具有奇偶性的區間單調函式，則奇***偶***函式在正負對稱區間上的單調性是相同***反***的。
***5***若f***x***的定義域關於原點對稱，則F***x***=f***x***+f***-x***是偶函式，G***x***=f***x***-f***-x***是奇函式.
***6***奇偶性的推廣
函式y=f***x***對定義域內的任一x都有f***a+x***=f***a-x***，則y=f***x***的圖象關於直線x=a對稱，即y=f***a+x***為偶函式.函式y=f***x***對定義域內的任-x都有f***a+x***=-f***a-x***，則y=f***x***的圖象關於點***a，0***成中心對稱圖形，即y=f***a+x***為奇函式.