斑翅山鶉

[拼音]：Yakebi hanglieshi

[外文]：Jacobian determinant

通常稱為雅可比式(Jacobian)。它是以n個n元函式

(1)

的偏導數

為元素的行列式

常記為

事實上，在(1)中函式都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，J就是函式組(1)的微分形式

的係數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。

若因變數u1，u2，…，un對自變數x1，x2，…，xn連續可微，而自變數x1，x2，…，xn對新變數r1，r2，…，rn連續可微，則因變數(u1，u2，…，un)也對新變數(r1，r2，…，rn)連續可微，並且

這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。而公式(3)也類似於導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類似的公式；例如，當(u，v)對(x，y，z)連續可微，而(x，y，z)對(r，s，t)連續可微時，便有

如果(3)中的r能回到u，

，則(3)給出

。

這時必須有

(4)

於是以此為係數行列式的聯立線性方程組 (2)中能夠把(dx1，dx2，…，dxn)解出來，作為(du1，du2，…，dun)的函式。而根據隱函式存在定理，在(u1，u2，…，un)對(x1，x2，…，xn)連續可微的前提下，只須條件(4)便足以保證(x1，x2，…，xn)也對(u1，u2，…，un)連續可微，因而(4)必然成立。這樣，連續可微函式組(1)便在雅可比行列式不等於零的條件(4)之下，在每一對相應點u=(u1，u2，…，un)與x =(x1，x2，…，xn)的鄰近範圍內建立起點與點之間的一個一對一的對應關係。

在n=2的情形，以Δx1，Δx2為鄰邊的矩形(ΔR)對應到(u1，u2)平面上的一個曲邊四邊形(ΔS)，其面積ΔS關於Δx1，Δx2的線性主要部分，即面積微分是