環化酶
[拼音]：Liu Hui
中國魏晉間傑出的數學家，中國古典數學理論的奠基者之一。籍貫及生卒年月不詳。幼年曾學習過《九章算術》，成年後又繼續深入研究，在魏景元四年(263)注《九章算術》，並撰《重差》作為《九章算術》注第十卷。唐初以後，《重差》以《海島算經》為名單行。劉徽全面論述了《九章算術》所載的方法和公式，指出並且糾正了其中的錯誤，在數學方法和數學理論上作出了傑出的貢獻。
割圓術
劉徽創造的運用極限思想證明圓面積公式及計算圓周率的方法。《九章算術》
提出圓面積公式："半周半徑相乘得積步"。在劉徽之前是將圓內接正12邊形分割拼補成一個長為圓內接正六邊形周長之半，寬為圓半徑的長方形，近似推斷這個公式的。劉徽指出此“合徑率一而外周率三”，極不準確。為了嚴格證明這個公式，他首先從圓內接正6邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形的面積與圓面積之差越小，“割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”另一方面，這些正多邊形每邊外有一餘徑，以邊長乘餘徑，加到相應的正多邊形上，則大於圓面積；然而，當正多邊形與圓周合體時，“則表無餘徑，表無餘徑，則冪不外出矣。”這就從上界和下界兩個方面證明了圓面積是兩個多邊形面積序列的極限。然後，將與圓合體的正多邊形分割成無限多個以每邊為底，以圓心為頂點的等腰三角形。由於以一邊長乘半徑，等於每個三角形面積的兩倍，“故以半周乘半徑而為圓冪”，從而完成了圓面積公式的證明。劉徽指出，上述圓面積公式中的“周徑，謂至然之數，非周三徑一之率也”。劉徽之前，劉歆、張衡等人曾改進圓周率值，成績都不佳。劉徽用割圓術，從直徑為2尺的圓內接正6邊形開始割圓，求出圓內接正96、192邊形的面積，根據不等式
，確定314平方寸為圓面積近似值，用已證明的圓面積公式，求得圓周長為6尺2寸8分，與直徑2尺相約，得圓周率
。又給192邊形面積
平方寸增加估值
平方寸，得
平方寸為近似值， 用同樣方法得到圓周率為
，並計算了3072邊形面積，驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學方法，奠定了此後千餘年中國圓周率計算在世界上的領先地位。祖沖之後來進一步將其可靠數字推進到八位。
劉徽原理
劉徽用無限分割的方法解決錐體體積時提出的一條重要原理：將一個壍堵（用一平面沿長方體相對兩稜切割得到的楔形立體）分解為一個陽馬（直角四稜錐）與一個鱉臑（四面均為直角三角形的四面體），則“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也”，即一個壍堵內陽馬的體積與鱉臑的體積之比恆為2∶1。這個原理是證明《九章算術》中提出的陽馬體積公式
和鱉臑體積公式
的關鍵。在長、寬、高相等的情形中上述原理和公式是顯然的，但是劉徽認為這不能簡單地推廣到長、寬、高不等的一般情形。於是他提出並用極限方法證明了上述原理。他用三個互相垂直的平面平分壍堵的長、寬、高，則陽馬分成一個小立方Ⅰ，兩個小壍堵Ⅱ、Ⅲ和兩個小陽馬Ⅳ、Ⅴ，鱉臑分成兩個小壍堵Ⅱ┡、Ⅲ┡和兩個小鱉臑 Ⅳ┡、Ⅴ┡（見圖
）。它們可以拼成四個小立方:Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ┡、Ⅲ-Ⅲ┡、Ⅳ-Ⅳ┡-Ⅴ-Ⅴ┡。顯然，在前三個小立方中，亦即在壍堵的四分之三中，屬於陽馬與屬於鱉臑的體積之比為2∶1，第四個小立方中體積之比尚未知，但它的兩小壍堵的構成與原壍堵完全相似，且其長、寬、高為原壍堵的一半。對這兩個小壍堵重複上述的分割、拼合，即“置餘廣、袤、高之數各半之，則四分之三又可知也”。如此繼續下去，“半之彌少，其餘彌細，至細曰微，微則無形。由是言之，安取餘哉？”從而在整個壍堵中證明了劉徽原理。由此原理，陽馬和鱉臑體積公式是顯而易見的。劉徽把四面體看成解決多面體體積問題的關鍵，明確指出：“不有鱉臑，無以審陽馬之數，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也”，這完全符合現代數學的觀點。
劉徽關於解決球體積的設想
《九章算術》開立圓術所用的球體積公式相當於
，劉徽指出這個公式是錯誤的，其原因在於當時錯誤地把球與外切圓柱體積之比看成為3∶4。劉徽設計了一個牟合方蓋(兩個相等的圓柱體正交所得公共部分，(見圖及彩圖)，提出球與牟臺方蓋的體積之比才是π∶4 ，指出瞭解決球體積公式的正確途徑。但他未能求出牟合方蓋的體積。然而劉徽為人謙虛，相信後學，表示“以俟能言者”。二百年後，祖?提出“冪勢既同則積不容異”的原理（即祖?原理），求出了牟合方蓋的體積，得出了正確的球體積公式。劉徽在證明羨除（楔形體）體積公式時，提出了“上連無成不方，故方錐與陽馬同實”的論斷，他還提出圓錐、圓亭分別與其外切方錐、方亭體積之比為π∶4，從而證明了它們的體積公式。劉徽的這些思想為後來祖?原理的完成作了準備。此外，劉徽還提出圓錐與方錐側面積之比為π∶4的論斷，從而求出了圓錐側面積公式。
關於率的應用
劉徽給出率的定義是：“凡數相與者謂之率”。他把分數看成兩個量相與，指出率具有“粗者俱粗，細者俱細”等性質，從而可以“乘以散之，約以聚之，齊同以通之”，認為它們是數學運算的綱紀。並提出“凡九數以為篇名，可以廣施諸率”，而《九章算術》所提出的今有術──“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一”是普遍方法。他用率特別是用今有術註解了《九章算術》的大部分術文，近200個問題。他認為，只要能根據問題的數量關係找出各物的率(因物成率)，並“平其偏頗，齊其參差”，則無不歸於今有術。所謂“平其偏頗，齊其參差，”就是齊同原理。劉徽不僅用齊同原理論證了分數運算、一般比例、連鎖比例和比例分配問題（多集中在方田、粟米、衰分、均輸諸章中），也論證了盈不足術、方程術和勾股、測望類問題解決的正確性。
劉徽在數學上貢獻極多。他發展了天文觀測中的重差術，說：“凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、勾股，則必以重差為率，故曰重差也。”他在《海島算經》中提出重表法、連索法、累矩法三種基本方法，總結出“孤離者三望，離而又旁求者四望”。
劉徽在開方不盡的問題中提出求微數的思想，這方法與後來求無理根近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數的產生。線上性方程組解法中，他創造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現今解法基本一致，他提出整行整行相減不影響方程組的解（“舉率以相減，不害餘數之課”）的論斷，作為線性方程組解法的基礎；他還將衰分術用於線性方程組解法，創造了方程新術。他指出“五家共井”的解是“舉率以言之”，在中國數學史上第一次提出不定方程問題，他還建立了等差級數前n項和公式（相當於S=[α+(n-1)d/2]n，式中α、d分別為首項、公差）。此外，他改進了重今有、勾股容方、容圓以及某些盈不足、商功和勾股問題的解法。
劉徽認為數學所探討的範圍沒有止境，但是並不是難於研究的，因為它的方法都是來自於客觀世界的“規矩”（空間形式）和“度量”（數量關係）的統一。劉徽通過“觀陰陽之割裂，總算術之根源”，深刻認識了數學的精理。他認為“事類相推，各有攸歸”，因此，數學像一株大樹雖然分成許多枝條卻有同一個本乾的原因，是“發其一端”，有同一本源，形成了一個體系。
劉徽提出並定義了許多數學概念，如冪(面積):“凡廣從相乘謂之冪”；方程（即線性方程組）：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，並列為行，故謂之方程。行之左右無所同存，且為有所據而言耳”；正負數：“兩算得失相反，要令正負以名之”：等等，從而改變了自墨學衰微以來靠約定俗成確定數學概念的涵義的作法。劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提。他的大多數推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把《九章算術》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎之上。儘管劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術》所運用的數學知識實際上已經形成了一個獨具特色，包括概念和判斷，並以數學證明為其聯絡紐帶的理論體系。
參考書目
錢寶琮校點：《算經十書》，上冊，中華書局，北京，1963。