河流

[拼音]：shuxue jichu

[英文]：foundations of mathematics

從事數學奠基的數學研究。

數學基礎學家要根據他們的數學觀，即“什麼是數學”、“什麼是數學的基礎”等問題的回答，以及他們對數學方法、數學概念、數學命題、數學理論的看法來進行奠定數學基礎的工作。數學基礎學家要根據他們對數學真理的性質的看法，根據他們的數學哲學來作研究。由於各家數學觀的不同，在長期的爭論中形成了不同的數學基礎學派。儘管如此，人們在從事這一領域的研究工作中所取得的數學成果卻應當或至少企圖為數學基礎學家所公認，為一切數學家所公認。這是問題的一方面。問題的另一方面，數學基礎學家對於所有的成果又都是依照自己的數學觀來作解釋的。因之，數學基礎學可以看成是由兩部分組成：一是數學基礎研究中形成的數學，在20世紀逐步形成了數理邏輯的幾個重要分支；二是數學基礎學家由這些成果得出的數學觀。

數學哲學與數學基礎學不同。前者是數學的哲學，是哲學，不是數學。後者是數學，不是哲學。但是，在數學基礎的研究中，人們往往是從不同的哲學觀點出發來研究數學中具有普遍性和本質性的問題，並從而形成和發展自己的數學哲學觀點，乃至形成不同的數學哲學學派。因此，數學基礎的研究常常涉及數學哲學的內容，而數學哲學的研究不能不涉及數學奠基問題。所以，它們之間的關係相當密切。數學哲學較多地涉及數學思想史、哲學史和哲學家的觀點，而數學基礎則更多地涉及數學家的數學工作、數學觀和他們對數學基礎研究成果的理解；不論他們自己願意把他們的數學觀溯源到以往什麼哲學，他們的數學觀總不能違背數學基礎研究的數學成果，因之他們的觀點必然隨著數學的發展而變化。

20世紀上半葉，在數學基礎的論戰中被講得最多的有三個學派，即邏輯主義、形式主義和直覺主義。

邏輯主義

邏輯主義認為數學就是邏輯，奠定數學基礎的工作就是把數學從一個邏輯系統中推匯出來。也就是說，按照邏輯主義的主張，數學概念都可以借邏輯概念由定義給出；數學定理都可以由邏輯公理用邏輯規則推出。這樣，他們認為全部數學就可以由邏輯推匯出來。

在數學基礎的文獻中，一般都把B.A.W.羅素作為邏輯主義的代表人物，並常將（F.L.）G.弗雷格與羅素合稱為邏輯主義者。而A.N.懷特海與羅素合著的《數學原理》一書則被公認為邏輯主義的代表作。在這一鉅著中，作者從邏輯演算出發再加上集合論的選擇公理和無窮公理把當時的數學嚴格地推導了出來。故而羅素曾在書中宣稱：“從邏輯中展開純數學的工作，已由懷特海和我在《數學原理》中詳細地做了出來。”但是，事實並非如此。作者在書中從一個邏輯系統推導數學時使用了集合論的選擇公理和無窮公理，這是不可或缺的，否則不能完成。所以，作者並未將數學化歸到邏輯，而是化歸到集合論。但是1937年羅素在寫《數學的原理》第二版導言時，還堅持數學就是邏輯，並進一步表示，無窮公理和選擇公理都是邏輯公理，沒有必要改變他“數學就是邏輯”的觀點。懷特海在1939年12月的講演中顯示了放棄邏輯主義的觀點。

數學基礎學家一般都不接受“數學就是邏輯”的觀點；同樣也不能接受“一切數學思維都是邏輯思維”的說法。但是，儘管如此，懷特海與羅素合著的《數學原理》一書在20世紀的科學發展中影響很大。它以當時最嚴格的形式化的符號語言來陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標誌符號邏輯方法的成功，並顯示了數學的邏輯基礎研究的意義。因而進一步地顯示了現代邏輯的科學意義。

《數學原理》一書不失為一部名著。儘管邏輯主義的主張不能實現，邏輯主義的數學觀雖不能為數學基礎學者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們的活動推動了大量的新見解和新知識的出現，並且形成了象型別論（見集合論公理系統）這樣的邏輯體系，這些對於數學的發展是積極的，影響很大。

形式主義

D.希爾伯特的數學觀和數學基礎觀，常被人們稱作“形式主義”，這是不妥當的。

羅素和L.E.J.布勞威爾是稱希爾伯特為形式主義者的代表人物，他們是指希爾伯特奠定數學基礎的形式化方法，不一定是指他的某種主張。他也沒有自稱是形式主義者的那種主張。P.貝爾奈斯就不認為希爾伯特是形式主義者。

希爾伯特要保衛經典數學和經典的數學方法，並且發展它們。他認為，經典數學，包括由集合論的出現而發展起來的新的數學方向，都是人類最有價值的精神財富;數學中的公理方法和邏輯推理(包括使用經典邏輯中的排中律)就象天文學家手中的望遠鏡那樣重要，是不能丟棄的。希爾伯特根據自己的數學觀提出了奠定數學基礎的希爾伯特計劃。希爾伯特計劃的主要思想是：奠定一門數學的基礎，應該嚴格地、數學地證明該門數學的協調性(即無矛盾性或一致性、相容性)；希爾伯特計劃的數學內容就是數理邏輯中的證明論。希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數學基礎》是希爾伯特計劃的代表作。希爾伯特的研究工作得到貝爾奈斯很大的幫助，《數學基礎》一書就是貝爾奈斯執筆的。他忠實地按希爾伯特計劃完成了這一著作，並發展了希爾伯特的思想。因之，希爾伯特的數學基礎思想可以稱作“希爾伯特主義”、"希爾伯特－貝爾奈斯主義"或“格丁根數學基礎學派”。

希爾伯特原來設想，數學的協調性證明可以限於有窮的構造性方法範圍之內。但是研究結果表明，這個範圍應當加以擴充。K.哥德爾的不完備性定理說，證明一門數學的無矛盾性不可能在本門數學內做出，必須在一門較之更強的數學中才可能做出。這定理說明了希爾伯特的原計劃是不能成功的。但是基於希爾伯特的數學基礎思想卻發展出了數理邏輯中的證明論分支。可是希爾伯特並沒有60～70年代中自稱形式主義者那樣的思想。

形式主義的代表人物有A.魯賓孫（非標準分析的發現者，模型論的創立者之一）和P.J.科恩（連續統假設和選擇公理獨立性的證明者）等人。

形式主義者認為：在現實世界中不存在數學研究的物件。比如，以N表示所有自然數構成的集N={0，1，2，…}，我們不能說N存在。同樣地，說“N中包括所有的偶數”是沒有意義的，因為這話涉及到N 這一無窮整體。再如，假定以戴德金切(Dedkind cut)來定義實數，我們就不能說

這個數是存在的，因為據定義

是一個戴德金切，定義中用到了無窮整體。按形式主義者的觀點，嚴格意義下的“

存在”，“

”等等，都是沒有意義的。他們否認無窮整體的存在，但在進行研究和工作時，又把它們當作“好象是真的存在”著。

形式主義者還認為，數學是研究推理或形式推理的，即從一定的形式前提(公理)，按照演繹推理的規則，把一定的語句作為數學定理推匯出來。他們認為，一門數學就是一個形式系統，即一個符號系統。把形式前提表作具有一定形式的符號排列（符號串），把推理規則表作具有某種形式的符號排列之間的形式關係。按他們的觀點，數學應看作是一種純粹的符號遊戲。對這種遊戲的惟一要求是，從形式前提（形式公理）推導不出矛盾。比如，按形式主義的觀點看，集合論只是一個協調的形式系統。集合論中的定理只是一種特定的符號串。象集合論中的連續統那樣的無窮整體，客觀上是不存在的。

根據科恩的研究，可以肯定，存在無窮多個ZF集合論公理系統的模型，其中每兩個模型中連續統的勢都不相同。關於這一點，科恩論證說，正象平行公理成立的歐幾里得幾何之外，還有平行公理不成立的非歐幾何那樣，除了連續統假設成立的“康托爾集合論”之外還可以有連續統假設不成立的“非康托爾集合論”！他們認為，既然可以存在各種不同的非康托爾集合論，那麼關於肯定連續統假設是否是真，還有什麼意義呢？數學物件客觀性的主張，據形式主義者看，是不成立的，按科恩的觀點，他已經解決了希爾伯特第1問題即連續統問題，因為按他的觀點，“連續統客觀地應多麼大”那樣的問題是沒有意義的。這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張不同。

直覺主義

布勞威爾是現代直覺主義者的代表。他的數學觀包括兩個方面：

（1）他對數學物件的觀點，②對數學所用的邏輯的觀點。布勞威爾認為純粹數學是：“心智的數學構造自身”，是“反省的構造”。這種數學構造之成為構造，與這種構造物的性質無關，與其本身是否獨立於人們的知識無關，與人們持有的哲學觀點也無關。構造物應該怎樣就是怎樣，數學判斷應該是永恆的真理。數學獨立於邏輯和語言，數學的基礎在於一種先驗的原始直覺，這種直覺使人認識到作為“知覺單位”的“一”，然後通過不斷的聯結來創造有窮數以及無終止的無窮序列，並從而構造出各種數學物件，而且只有當我們把一個數學構造物構造出來之後，才能說，有這樣一個數學物件。因此，布勞威爾不承認有客觀存在的、封閉的和已完成的實無窮體系（簡稱為實無窮）。無窮只是潛在的，只是無限增長的可能性，只是一個永無休止的創造過程（簡稱為潛無窮）。

布勞威爾對數學物件的觀點直接匯出了他對數學所用的邏輯的觀點；認為“邏輯不是發現真理的絕對可靠的工具”，並認為，在真正的數學證明中不能使用排中律，因為排中律和其他經典邏輯規律是從有窮集抽象出來的規律，因此不能無限制地使用到無窮集上去。同樣不能使用反證法。布勞威爾對數學所用邏輯的觀點可以進一步說明他對數學物件的觀點。例如，設有兩個自然數m0，n0，按通常的數學習慣對它們作以下兩個定義：

（1）m0是m與m-1都是素數的那些素數中最大的素數，如果這樣一個素數不存在，則m0=1。

（2）n0是n與n-2都是素數的那些自然數中最大的素數，如果這樣一個素數不存在，則n0=1。

直覺主義者認為，經典數學忽視了①與②兩個定義的不同。m0是可以計算出來的，即m0=3。但我們並不知道是否存在著無窮多個孿生數(即p與p+2都是素數)偶。直覺主義者否認②是一個自然數的定義。他們認為，只有把一個數計算出來(構造出來)的方法已經有了之後，才能認為這個數有了合理的定義。根據這種觀點，布勞威爾否認排中律。因為，如果承認了排中律，就得承認“孿生數有窮，或孿生數非有窮”。由此，如果認為②是合理的定義，那麼若孿生數有窮，n0就是最大孿生數偶中的那個較大的素數；否則n0=1。布勞威爾認為，經典數學之所以承認②是一個“合理”的定義，是出於一種哲學思想，即：有一個包含數學物件的世界，這裡存在著獨立於我們知識的真理。這樣就使數學與哲學有關了。但是，數學是不應當與任何哲學有關的。在直覺主義者看來，數學的“存在”等同於“被構造出來”。

不同意直覺主義的人會問:照你的說法，假定於2000年1月1日證明了孿生數無窮，那麼，是否到了那一天②就突然成為一個定義，且n0=1?而在這一天之前n0就不是1呢?這是發展了布勞威爾維度理論的K.門傑於1930年對直覺主義提問的大意。直覺主義者的回答是：數學所肯定的是某種數學構造做出來了，你所說的“那一天到來之前”如何，就是這個數學構造還沒有做出來。

數學界起初覺得，布勞威爾在陳述他的數學觀時用詞缺乏明確含義、沒有嚴格定義，因此很難判斷他的觀點是否正確。布勞威爾於1907年在《數學基礎》一文中比較系統地提出了他的數學基礎觀之後，直覺主義者作了巨大的努力，對有關概念和直覺主義數學所使用的邏輯作了嚴格的數學陳述。到了20世紀50年代發展出了系統的直覺主義邏輯和數學，推進了構造性數學的發展，也回答了責難者的疑問。構造性數學已經成為數學科學中一個重要的數學學科群體，與電腦科學密切相關。

布勞威爾從意識、美學、哲學、自然科學、語言學、邏輯學等各個角度來比較直覺主義數學與經典數學。他認為，經典數學不能算純數學。1940年他在《意識、哲學與數學》一文中說，經典數學是用邏輯來產生定理的，相信未知真理是客觀存在的，特別是用排中律來表達一個數學判斷的真或不真。他對經典數學的形成作了說明。他說，人們把觀察到的因果序列群的質的方面剝去（或抽象掉、或捨棄掉），得到數學的基本素材，再把它推廣為一種假設，這假設就是一個包容更廣、更可供研究的經典數學系統。他還在文章中說，經典數學系統中所抽象表達的因果序列，常常要在以後才有可能觀察到，而目前還沒有，也沒有可能去觀察。他在這裡明顯地表達了他對經典數學在科學思維、科學發展以及科學預見中的作用的看法。按布勞威爾的觀點看，經典數學是重要的，但不是真正的數學。只有直覺主義的數學才是真正的數學，而且是最美的。他認為，人們一旦理解了這種數學，就會為之奉獻自己的生命。他還認為，數學中嚴格的直覺主義數學之所以能為人們接受，比之現實生活和科學要晚得多。

布勞威爾對數學的看法，包括對直覺主義和非直覺主義數學的看法，是和他早年對自然科學的哲學觀有密切聯絡的。他的直覺主義數學基礎思想在1907年的博士論文中就已經表述得很系統，基本上已經完備，只是陳述得比較含混。1907年論文發表後約10年的時間裡，他對直覺主義數學思想講得不多，而是大力從事經典的幾何、分析、拓撲與力學的研究；拓撲學方面的工作尤為重要。眾所周知，他是現代拓撲學的開創者之一。從1918年開始，他按直覺主義觀點對經典數學進行系統的改造。結果表明，有些數學證明是不能改造的。布勞威爾在經典數學方面的造詣是公認的。如果對這方面沒有充分的認識和深厚的功力，即令一個數學證明可以按直覺主義的要求改寫，也是難以成功的。1927年以後，他發表的論文越來越多是論戰性的，這是應答不同意他直覺主義觀點的學者的責詢。上面提到的1940年的文章相當全面地代表了他對數學科學，包括他稱之為“經典數學”和他的直覺主義數學的看法。

數學基礎觀點的發展

在20世紀30年代之前，上述的幾種數學基礎觀點之間有過劇烈的爭論，這可以布勞威爾和希爾伯特為代表。那時，自稱形式主義的觀點尚未出現。

30～50年代，數學基礎的數學研究取得了重大成果。特別應當提到的是哥德爾的不完備性定理(1931)和《連續統假設的協調性》(1941)的發表。這兩項工作促進了希爾伯特-貝爾奈斯數學基礎思想的發展。起初，希爾伯特以為，不完備性定理使他的計劃不能成立，因而用以奠定數學基礎的證明論就成問題了，後來與貝爾奈斯一起弄清了，情況並不如此，而是證明論所使用的構造性方法應當不斷髮展。哥德爾於1941年證明，如果原來的ZF集合論公理無矛盾，那麼加上選擇公理和連續統假設也一定無矛盾。他用了一個比ZF系統更強的系統，得到的卻是證明論中很突出的結果。哥德爾的工作使希爾伯特的證明論有了進一步的發展。

在這期間，哥德爾、A.海丁等數學基礎學者對直覺主義數學進行了研究，並澄清數學研究中本來就存在著構造性和非構造性兩種傾向。1931年哥德爾發現，經典邏輯可以在直覺主義邏輯中表達，從而這兩種數學的關係在理論上更加清楚，構造性數學有了較大的發展。按王浩的說法，構造性數學就是做的數學(mathematics ofdoing)，非構造性數學就是在的數學（mathematics ofbeing）。這很確切地反映了兩種數學的本質特性。

關於連續統有多大的問題，非形式主義者認為，連續統應該多麼大就只能多麼大，這是有客觀標準的。貝爾奈斯在1956年說，科恩研究連續統假設的獨立性的結果是關於集論公理系統的證明論的，不是直接關於集合論本身的結果。換言之，貝爾奈斯認為科恩只解決了在怎樣的形式系統中不能推匯出表示連續統假設的公式，而沒有解決集合論本身的問題，所以，不承認科恩解決了連續統問題。我們現在還不能確定連續統的勢，因為我們的知識不夠，隨著數學知識的積累，這問題是有可能解決的。希爾伯特是一貫這樣看待數學問題的。

非形式主義者認為，數學物件是獨立於人的構造的(即不承認直覺主義者所說，數學是“心智的構造自身”，是反省的構造)，並且和我們對它有沒有直觀無關，它是獨立地存在的(而形式主義者是不承認這種存在的)；數學概念必須充分清楚，即能使我們承認它是合理的，公理都是真的。他們認為，數學可以看作是結構的科學。貝爾奈斯在1975年曾明確地這樣說過。希爾伯特在早年的論著中也有過這種思想。懷特海於1939年曾說過，數學是研究模式的科學（“模式”與“結構”從字源講是相同的）。數學所研究的是理想的結構或模式，但不是隨意構造出來的，是由對客觀世界的抽象而得，在追求科學理想和研究問題中知道它們是客觀存在的。

布林巴基學派也有“數學是研究抽象結構”的觀點。他們對數學基礎的見解，與前述各流派都有不同。

關於數學物件的客觀性的觀點可以集中於對實無窮（如自然數集、連續統等無窮物件）的看法。非形式主義者認為，實無窮的存在要從數學本身的發展（希爾伯特，1925）以至從整個科學文化的發展中去考察（懷特海，1939，1940）。任何有窮的物件都存在一個無窮的背景，這個情況反映到數學中來就是實無窮是客觀存在的。實無窮的存在關係到無窮與有窮、理想與現實、理論與實踐的相互關係問題。20世紀的數學基礎學者對這些大問題有過相當深入的討論。

上面綜合介紹的非形式主義各家之間的觀點可能存在著或大或小的差別。但是，記錄非形式主義各家言論的文獻中卻不曾發現他們之間有過什麼爭議。他們反形式主義的觀點對於數學的理論與實踐的基本特點是有共同認識的。

給人印象最深刻的幾個數學的特點，就是確切性、抽象性與嚴格性，應用的廣泛性，和它特有的一種美（王浩稱之為“dry beauty”）。這種美是理性的美。數學的嚴格性和確切性在很大程度上是由於它的抽象性，也部分地說明了應用的廣泛性。數學研究的物件雖然是“思想事物”(見恩格斯在《自然辯證法》中論同一性的一段話)，是與理想密切相關的（懷特海，1939），是理想的結構或模式。但是它與物理世界緊密相聯。這一點非常重要，是數學的本質特點，它決定了數學不能只是符號遊戲。一切科學和理論都必須嚴格，都具有嚴格性。數學與一切科學、理論中的嚴格性相符合，數學反映這種嚴格性。

數學基礎觀點之間的爭議，到20世紀70年代末、進入80年代時，漸漸地不象過去那樣劇烈了。數學基礎研究中，構造性與非構造性數學之間的相互關係的問題顯得十分重要，但這是數學問題。數學基礎學家一般相信，這種問題的研究對於數學發展的意義是不可忽視的。

參考書目

王憲鈞編：《數理邏輯引論》，北京大學出版社，北京，1982。

，郭士銘等譯：《數學基礎研究三十年：1930至1964年數理邏輯和數學基礎研究發展狀況講演錄》，華中工學院出版社，武漢，1983。

P.Benacerraf and H.Putnam，ed.，Philosophy of Mαthemαtics，Selected Reαdings， Prentice- Hall， Englewood Cliffs， New Jersey， 1964.

D.Hilbert and P.Bernays，Grundlαgen der Mαthemαtik，J.Springer， Berlin， 1934～1939.

B.Russell，The Principles of Mαthemαtics，2nd ed.，G.Allen Unwin，London，1937.

Wang Hao，From Mαthemαtics to Philosophy，Routledge & Kegan Paul， London， 1974.

A.N.Whitehead and B.Russell，PrincipiαMαthemαticα，2nd ed.，Cambridge Univ.Press， Cambridge， 1962.