大陸坡

[拼音]：suiji jifen

[英文]：stochastic integral

對某些隨機過程類適當定義的各種積分的總稱。它們在隨機過程與隨機微分方程的研究和應用中各有其重要的作用。

伊藤積分

這是對布朗運動定義的一種隨機積分。布朗運動的樣本函式雖然連續，但幾乎所有的樣本函式非有界變差，甚至處處不可微，因而無法按樣本函式來定義通常的黎曼－斯蒂爾傑斯積分（簡稱RS積分）或勒貝格-斯蒂爾傑斯積分（簡稱LS積分）。一般來說，RS積分定義中的達布和不會以概率1收斂到一定的極限，但在適當的條件下，達布和的均方極限存在。伊藤清正是利用這一性質定義了對布朗運動的隨機積分。設{

，t∈R+=[0，∞)}是一族上升的子σ域，布朗運動W＝{W(t)，t∈R+}是(

)鞅。如果樣本連續的有界隨機過程φ＝{φ(t)，t∈R+}是(

)適應的，那麼當有限區間[α，b]嶅R+的分割

的直徑

趨於零時，達布和

的均方極限存在，記作

，它稱為φ在區間[α，b]上對W 的伊藤積分。值得注意的是，在達布和的構造中，被積過程在[tk-1，tk]上的取值點不是隨意一點，而只能是它的左端點 tk-1。這是一個嚴格的限制。完全不加限制時其極限不存在，如作其他的限制，則可能得到另外的極限，從而定義出另外的積分，但最有用的是這種限制。伊藤積分最重要的性質是著名的伊藤公式:設F是二次連續可微的實函式，則

這一公式及其各種推廣在理論上和應用上都有重要的作用。例如，可以用來證明關於布朗運動的鞅刻畫的萊維定理：一個從零出發的樣本連續過程W={W(t)，t∈R+}為布朗運動的充要條件，是W 和{W 2(t)-t，t∈R+}都為鞅。

對平方可積鞅的隨機積分

使E

的鞅x＝{x(t)，t∈R+}稱為平方可積鞅，其中x(∞)是當t→∞時，x(t)以概率1 收斂的極限。對一個平方可積鞅x， -x2是類(D)上鞅，因此根據上鞅分解定理，x 2可惟一地表成一致可積鞅M和可料增過程A 之和， X 2(t)＝M(t)+A(t)。由此，對任何樣本連續的有界適應過程 φ，當［α，b)］的分割

的直徑δ(墹)趨於零時，達布和

的均方極限存在，這個極限就稱為φ 在[α，b)]上對x的隨機積分

。這種積分也有相應的伊藤公式：對二次連續可微的函式F，

右邊最後一項是按軌道的LS積分，可料增過程A的軌道是右連續增函式。這種隨機積分還可以進一步推廣到對區域性鞅以至半鞅的積分。

斯特拉託諾維奇積分

在伊藤積分定義的達布和中，如果用在小區間[tk-1，tk]中點的被積過程值φ

(或者等價地，用在兩個區間端點的過程值的算術平均

代替左端點的過程值φ(tk-1)，則均方極限也存在，但此極限與伊藤積分不相同，它定義了用斯特拉託諾維奇命名的另一種積分，記作

這種積分的一個優點是，對一個三次連續可微的函式F，

，

它保持了普通微積分中牛頓-萊布尼茨公式的形式。

其他型別的隨機積分

常見的還有均方隨機積分和對正交增量過程的積分。對一個均方連續的隨機過程x，即對一切t0∈R+滿足

的x，達布和

的均方極限存在，它定義了x在區間[α，b)]上的均方隨機積分，記作

其中

是[α，b]的分割，sk可在[tk-1，tk]上任取，均方極限是在δ(墹)趨於零的條件下取的。設Z 是一個正交增量過程，即對一切

那麼對任一［α，b］上的連續函式ƒ，達布和

的均方極限定義了ƒ在［α，b］上對Z的積分，記作

。這種對正交增量過程積分的最重要的應用是寬平穩過程的譜表示（見平穩過程）。

隨機微分方程

形如

的方程稱為伊藤方程，其中α(s，x)、σ(s，x)是一次連續可微的二元函式，W是布朗運動，X是待求的半鞅。由於形式上還可以將方程改寫為 dx（t）＝α(t，x(t))dt+σ(t，x(t))dW(t)這種微分表示，習慣上常稱為(伊藤)隨機微分方程。理論上對它已有很多研究，解的存在惟一性問題已經解決，並且有各種形式的推廣，如用半鞅代替布朗運動等。但能把解明確表達出來的還只有少數簡單的特例，如對x(0)=1，α(s，x)呏0，σ(s，x)呏x，方程