平板
[拼音]：zuiyouhua fangfa
[英文]：optimization method
為了達到最優化目的所提出的各種求解方法。從數學意義上說，最優化方法是一種求極值的方法，即在一組約束為等式或不等式的條件下，使系統的目標函式達到極值，即最大值或最小值。從經濟意義上說，是在一定的人力、物力和財力資源條件下，使經濟效果達到最大（如產值、利潤），或者在完成規定的生產或經濟任務下，使投入的人力、物力和財力等資源為最少。
發展簡史
公元前 500年古希臘在討論建築美學中就已發現了長方形長與寬的最佳比例為1.618,稱為黃金分割比。其倒數至今在優選法中仍得到廣泛應用。在微積分出現以前，已有許多學者開始研究用數學方法解決最優化問題。例如阿基米德證明：給定周長，圓所包圍的面積為最大。這就是歐洲古代城堡幾乎都建成圓形的原因。但是最優化方法真正形成為科學方法則在17世紀以後。17世紀，I.牛頓和G.W.萊布尼茨在他們所建立的微積分中，提出求解具有多個自變數的實值函式的最大值和最小值的方法。以後又進一步討論具有未知函式的函式極值，從而形成變分法。這一時期的最優化方法可以稱為古典最優化方法。第二次世界大戰前後，由於軍事上的需要和科學技術和生產的迅速發展，許多實際的最優化問題已經無法用古典方法來解決，這就促進了近代最優化方法的產生。近代最優化方法的形成和發展過程中最重要的事件有： 以蘇聯 Л.В.康託羅維奇和美國G.B.丹齊克為代表的線性規劃；以美國庫恩和塔克爾為代表的非線性規劃；以美國R.貝爾曼為代表的動態規劃；以蘇聯Л.С.龐特里亞金為代表的極大值原理等。這些方法後來都形成體系，成為近代很活躍的學科，對促進運籌學、管理科學、控制論和系統工程等學科的發展起了重要作用。
工作步驟
用最優化方法解決實際問題，一般可經過下列步驟：
（1）提出最優化問題，收集有關資料和資料；
（2）建立最優化問題的數學模型,確定變數,列出目標函式和約束條件；
（3）分析模型，選擇合適的最優化方法；
（4）求解，一般通過編制程式，用計算機求最優解；
（5）最優解的檢驗和實施。上述 5個步驟中的工作相互支援和相互制約，在實踐中常常是反覆交叉進行。
模型的基本要素
最優化模型一般包括變數、約束條件和目標函式三要素：
（1）變數:指最優化問題中待確定的某些量。變數可用x＝(x1，x2,…,xn)T表示。
（2）約束條件:指在求最優解時對變數的某些限制,包括技術上的約束、資源上的約束和時間上的約束等。列出的約束條件越接近實際系統，則所求得的系統最優解也就越接近實際最優解。約束條件可用 gi(x)≤0表示i＝1,2，…，m，m 表示約束條件數；或x∈R(R表示可行集合)。
（3）目標函式：最優化有一定的評價標準。目標函式就是這種標準的數學描述，一般可用f(x)來表示，即f(x)=f(x1，x2,xn)。要求目標函式為最大時可寫成
；要求最小時則可寫成
。目標函式可以是系統功能的函式或費用的函式。它必須在滿足規定的約束條件下達到最大或最小。
問題的分類
最優化問題根據其中的變數、約束、目標、問題性質、時間因素和函式關係等不同情況，可分成多種型別（見表）。
最優化方法
不同型別的最優化問題可以有不同的最優化方法，即使同一型別的問題也可有多種最優化方法。反之,某些最優化方法可適用於不同型別的模型。最優化問題的求解方法一般可以分成解析法、直接法、數值計演算法和其他方法。
（1）解析法：這種方法只適用於目標函式和約束條件有明顯的解析表示式的情況。求解方法是：先求出最優的必要條件，得到一組方程或不等式，再求解這組方程或不等式，一般是用求導數的方法或變分法求出必要條件，通過必要條件將問題簡化，因此也稱間接法。
（2）直接法：當目標函式較為複雜或者不能用變數顯函式描述時，無法用解析法求必要條件。此時可採用直接搜尋的方法經過若干次迭代搜尋到最優點。這種方法常常根據經驗或通過試驗得到所需結果。對於一維搜尋(單變數極值問題)，主要用消去法或多項式插值法；對於多維搜尋問題(多變數極值問題)主要應用爬山法。
（3）數值計演算法：這種方法也是一種直接法。它以梯度法為基礎，所以是一種解析與數值計算相結合的方法。
（4）其他方法：如網路最優化方法等(見網路理論)。
根據函式的解析性質，還可以對各種方法作進一步分類。例如，如果目標函式和約束條件都是線性的，就形成線性規劃。線性規劃有專門的解法，諸如單純形法、解乘數法、橢球法和卡馬卡法等。當目標或約束中有一非線性函式時,就形成非線性規劃。當目標是二次的,而約束是線性時，則稱為二次規劃。二次規劃的理論和方法都較成熟。如果目標函式具有一些函式的平方和的形式，則有專門求解平方和問題的優化方法。目標函式具有多項式形式時，可形成一類幾何規劃。
最優解的概念
最優化問題的解一般稱為最優解。如果只考察約束集合中某一區域性範圍內的優劣情況，則解稱為區域性最優解。如果是考察整個約束集合中的情況，則解稱為總體最優解。對於不同優化問題，最優解有不同的含意，因而還有專用的名稱。例如，在對策論和數理經濟模型中稱為平衡解；在控制問題中稱為最優控制或極值控制；在多目標決策問題中稱為非劣解（又稱帕雷託最優解或有效解）。在解決實際問題時情況錯綜複雜，有時這種理想的最優解不易求得，或者需要付出較大的代價，因而對解只要求能滿足一定限度範圍內的條件,不一定過分強調最優。50年代初,在運籌學發展的早期就有人提出次優化的概念及其相應的次優解。提出這些概念的背景是：最優化模型的建立本身就只是一種近似，因為實際問題中存在的某些因素，尤其是一些非定量因素很難在一個模型中全部加以考慮。另一方面，還缺乏一些求解較為複雜模型的有效方法。1961年H.A.西蒙進一步提出滿意解的概念，即只要決策者對解滿意即可。
最優化方法的應用
最優化一般可以分為最優設計、最優計劃、最優管理和最優控制等四個方面。
（1）最優設計:世界各國工程技術界,尤其是飛機、造船、機械、建築等部門都已廣泛應用最優化方法於設計中，從各種設計引數的優選到最佳結構形狀的選取等，結合有限元方法已使許多設計優化問題得到解決。一個新的發展動向是最優設計和計算機輔助設計相結合。電子線路的最優設計是另一個應用最優化方法的重要領域。配方配比的優選方面在化工、橡膠、塑料等工業部門都得到成功的應用,並向計算機輔助搜尋最佳配方、配比方向發展(見優選法)。
（2）最優計劃:現代國民經濟或部門經濟的計劃，直至企業的發展規劃和年度生產計劃，尤其是農業規劃、種植計劃、能源規劃和其他資源、環境和生態規劃的制訂,都已開始應用最優化方法。一個重要的發展趨勢是幫助領導部門進行各種優化決策。
（3）最優管理：一般在日常生產計劃的制訂、排程和執行中都可應用最優化方法。隨著管理資訊系統和決策支援系統的建立和使用，使最優管理得到迅速的發展。
（4）最優控制：主要用於對各種控制系統的優化。例如，導彈系統的最優控制，能保證用最少燃料完成飛行任務,用最短時間達到目標;再如飛機、船舶、電力系統等的最優控制，化工、冶金等工廠的最佳工況的控制。計算機介面裝置不斷完善和優化方法的進一步發展，還為計算機線上生產控制創造了有利條件。最優控制的物件也將從對機械、電氣、化工等硬系統的控制轉向對生態、環境以至社會經濟系統的控制。
參考書目
G.S.G.Beveridge and R.S.Schechter,Optimization:Theory and Practice，McGraw-Hill Book，New York，1970.
J.J.Moder and S.E.Elmaghraby ed.,Handbook of OperationsResearch,Vol.1,Foundations and Fundamentals,Vol.2,Models and applications，Van Nostrand Reinhold Company,New York,1978.