德爾塔號運載火箭

[拼音]：zhu de jiben lilun

[英文]：elementary theory of column

柱在軸向荷載作用下，由於荷載的偶然偏心，柱本身有初始彎曲，材質不均勻等原因，從載入開始時起即發生壓縮與彎曲的組合變形，即使材料遵循胡克定律，但柱的橫截面上的彎矩以及柱的側向位移（撓度）均不與荷載成線性關係。柱的效能的理論研究可按兩種不同型別的計算簡圖進行。在第一類簡圖中把柱視作本身有初始彎曲的杆或荷載有偏心的直杆，第二類簡圖則把柱視作理想中心壓桿，即認為杆是絕對直的、材料絕對均勻、荷載亦無任何偏心。

有初始彎曲的杆或偏心受壓直杆

兩端鉸支的柱作為偏心受壓直杆時（圖1a）。根據小剛度杆的計算理論，任意橫截面上的彎矩為M=P(e+v)，式中M為彎矩；P為荷載；e為偏心距；v為任意橫截面處杆的撓度。若杆的材料始終線上彈性範圍內工作，則由撓曲線近似微分方程EIv"＝－M＝－P(e＋v)可得杆的中點撓度δ與荷載P有如下非線性關係：

式中E為彈性模量;I為慣性矩；L為杆長。圖1b中的實線示出了上式所示的P-δ關係;當P→Pcr=π2EI/L2時，杆的撓度迅速增長，且以水平線AB為漸近線。事實上，撓度較大時就不能利用曲率的近似式1/ρ＝d2v/dx2，亦即不能利用撓曲線近似微分方程EIv"＝-M。如果利用曲率的精確表示式，則P-δ曲線將如圖 1b中虛線所示。

理想中心壓桿

把柱作為理想中心壓桿時（圖2a），若在分析中對杆不給予任何干擾，則P-δ曲線顯然為圖2b中的鉛垂線OAD;假設杆受到微小的干擾而彎曲，則由曲率的精確表示式1/ρ＝dθ/ds所列出的微分方程為

，據此可求得P-δ曲線如圖2b中實線OABC所示。由此可知，對於理想的中心壓桿，當荷載P低於臨界值Pcr時杆保持直線形式，此時如果杆受到微小的干擾而彎曲，則干擾除去後杆即恢復原有的直線形式，即 P

根據理想中心壓桿所得的臨界力稱為尤拉臨界力。當壓桿兩端為鉸支時，Pcr＝π2EI/L2。當端部約束條件不同時，柱的尤拉臨界力的計算公式可統一寫作

Pcr＝π2EI/(μL)2

式中μ為與端部約束條件有關的長度係數，μL稱為相當長度（有效長度）。將上式兩端除以柱的橫截面面積 A所得的應力，稱為尤拉臨界應力

σcr＝π2EI/(μL)2A＝π2E/λ2

式中

稱為柱的柔度，也稱為柱的長細比。

求臨界力和臨界應力的尤拉公式按其匯出的條件，只適用於臨界應力σcr不超過材料的比例極限σp，即π2E/λ2≤σp的情況，也就是

即所謂細長柱的情況。對於λ<λp的中長柱和短柱，常採用經驗公式計算臨界應力。

參考書目

王啟德著，林硯田等譯：《應用彈性理論》，機械工業出版社，北京， 1966。（Chi－Teh Wang， Applied Elasticity，McGraw-Hill，New York，1953.）