離散數學自學筆記聯結詞
1.1.2 聯結詞 今後“聯結詞”一詞均指邏輯聯結詞及其符號表示。重要的聯結詞有5個，它們已在例1.2中出現。
否定詞（negation）“並非”（not），用符號┐表示。設p表示一命題，那麼┐p表示命題p的否定。p真時┐p假，而p假時┐p真。┐p讀作“並非p”或“非p”。今後我們用1表示真值“真”，用0表示真值“假”，用類似表1.1的所謂真值表來規定聯結值的意義，描述複合命題的真值狀況。表1.1規定了否定詞┐的意義，表示┐p的真值狀況。
表1.1
例1.3 如果p表示命題“雪是白的”，那麼“並非雪是白的”、“雪不是白的”應表示為┐p，此時┐p為假，因為p為真。
當用否定詞“並非”代替自然語言中的“不”時（或者反過來），應注意保持原語句的意義。例如p 表示“我們都是好學生”時，┐p表示“並非我們都是好學生”或“我們不都是好學生”，而不是“我們都不是好學生”。
合取詞∧的意義和命題p∧q的真值狀況可由表1.2來刻劃。
表1.2
例1.4 如果p表示命題“你去了學校”q表示命題“我去了工廠”，那麼p∧q表示命題“你去了學校並且我去了工廠”。p∧q為真，當且僅當你、我分別去了學校和工廠。
析取詞（disjunction）“或”（or）用符號∨表示。設p，q表示兩命題，那麼p∨q表示p和q的析取，即當p和q有一為真時，p∨q為真，只有當p和q均假時p∨q為假。p∨q讀作“p或者q”、“p或q”。
表1.3
例1.5 如果p，q分別表示“今晚我看書”和“今晚我去看電影”，那麼p∨q表示“今晚我看書或者去看電影”。當我於當晚書，或者電影，或者既書又電影時，p∨q為真，只是在我既不看書也不看電影時p∨q為假。
值得注意的是，這裡的“或”是所謂可兼的，即當p和q均真時，確認p∨q為真。在日常生活中，“或”在有的場合下不同於上述意義。例如“人固有一死，或重於泰山，或輕於鴻毛”。其中的“或”是不可兼的，即當發現有人的死既重於泰山又輕於鴻毛時，上述論斷被認為假。看來這裡的“或”用∨表示不合適，可用表1.4規定的新聯結詞“不可兼或” 表示之。但是，像上述場合一樣的許多場合下，兩個析取命題事實上不可能同時為真，即表1.4的末行根本無需定義，這時用∨代替 就沒有問題，並且能使語句的表示簡化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示為“a>0∨a=0∨a<0”，而不必多此一舉地表示為“a>0 a=0 a<0”。
表1.4
蘊涵詞（implication）“如果……，那麼……”（if…then…），用符號→表示。設p，q表示兩命題，那麼p→q表示命題“如果p，那麼q”。當p真而q假時，命題p→q為假，否則均認為p→q為真。p→q中的p稱為蘊涵前件，q稱為蘊涵後件。p→q的讀法較多，可讀作“如果p則q”，“p蘊涵q”，“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”，“q當p”，“p僅當q”等等。數學中還常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分別叫做p→q的逆命題，否命題，逆否命題。
蘊涵詞→的意義及複合命題p→q的真值狀況規定見表1.5.
表1.5
例1.6 如果用p表示“天氣好”，q表示“我去接你”，那麼p→q表示命題“如果天氣好，那麼我去接你”。當天氣好時，我去接了你，這時諾言p→q真；我沒去接你，則諾言p→q假。當天氣不好時，我無論去或不去接你均未食言，此時認定p→q為真是適當的。
上述規定的蘊涵詞稱為實質蘊涵（substantive implication），因為它不要求p→q中的p，q有什麼關係，只要p，q為命題，p→q就有意義。例如“如果2+2=5，那麼雪是黑的”，就是一個有意義的命題，且據定義其真值為“真”。蘊涵詞的這種規定形式，在討論數學問題和邏輯問題時是正確的、充分的，但在某些情況下顯得有些不足，為此不少人對其它規定形式的蘊涵詞有興趣，對此本書不予介紹。
雙向蘊涵詞（two-way implication）“當且僅當”（if and only if），用符號？表示之。設p，q為兩命題，那麼p？q表示命題“p當且僅當q”，“p與q等價”，即當p與q同真值時p？q為真，否則為假。p？q讀作“p雙向蘊涵q”，“p當且僅當q”，“p等價於q”。由於“當且僅當”“等價”常在其它地方使用，因而用第一種讀法更好些。
雙向蘊涵詞的意義及p？q的真值狀況由表1.6給出。
表1.6
例1.7 如果p表示命題“△ABC@△A'B'C'”，q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三邊對應相等”，那麼p？q表示平面幾何中的一個真命題，因為p真時q顯然真，p假時q亦必然假，故p與q同真值。若q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三內角對應相等”，那麼p？q不再是恆真的了，因p假時q未必為假。
以上介紹的是五個最常用、最重要的聯結詞，自然語言中還有其它聯結詞，有的可以直接用它們中的一個來表示，例如“也”等同於“且”，“除非”等同於“當且僅當”；有的則可以用它們中的若干個來表示，例如“不可兼或”可用∨，∧與┐來表示。
否定詞（negation）“並非”（not），用符號┐表示。設p表示一命題，那麼┐p表示命題p的否定。p真時┐p假，而p假時┐p真。┐p讀作“並非p”或“非p”。今後我們用1表示真值“真”，用0表示真值“假”，用類似表1.1的所謂真值表來規定聯結值的意義，描述複合命題的真值狀況。表1.1規定了否定詞┐的意義，表示┐p的真值狀況。
表1.1
| p | ┐p |
|
0 1 |
1 0 |
例1.3 如果p表示命題“雪是白的”，那麼“並非雪是白的”、“雪不是白的”應表示為┐p，此時┐p為假，因為p為真。
當用否定詞“並非”代替自然語言中的“不”時（或者反過來），應注意保持原語句的意義。例如p 表示“我們都是好學生”時，┐p表示“並非我們都是好學生”或“我們不都是好學生”，而不是“我們都不是好學生”。
合取詞∧的意義和命題p∧q的真值狀況可由表1.2來刻劃。
表1.2
| p | q | p∧q |
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 1 |
例1.4 如果p表示命題“你去了學校”q表示命題“我去了工廠”，那麼p∧q表示命題“你去了學校並且我去了工廠”。p∧q為真，當且僅當你、我分別去了學校和工廠。
析取詞（disjunction）“或”（or）用符號∨表示。設p，q表示兩命題，那麼p∨q表示p和q的析取，即當p和q有一為真時，p∨q為真，只有當p和q均假時p∨q為假。p∨q讀作“p或者q”、“p或q”。
表1.3
| p | q | p∨q |
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 1 1 |
例1.5 如果p，q分別表示“今晚我看書”和“今晚我去看電影”，那麼p∨q表示“今晚我看書或者去看電影”。當我於當晚書，或者電影，或者既書又電影時，p∨q為真，只是在我既不看書也不看電影時p∨q為假。
值得注意的是，這裡的“或”是所謂可兼的，即當p和q均真時，確認p∨q為真。在日常生活中，“或”在有的場合下不同於上述意義。例如“人固有一死，或重於泰山，或輕於鴻毛”。其中的“或”是不可兼的，即當發現有人的死既重於泰山又輕於鴻毛時，上述論斷被認為假。看來這裡的“或”用∨表示不合適，可用表1.4規定的新聯結詞“不可兼或” 表示之。但是，像上述場合一樣的許多場合下，兩個析取命題事實上不可能同時為真，即表1.4的末行根本無需定義，這時用∨代替 就沒有問題，並且能使語句的表示簡化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示為“a>0∨a=0∨a<0”，而不必多此一舉地表示為“a>0 a=0 a<0”。
表1.4
| p | q | p q |
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 1 0 |
蘊涵詞（implication）“如果……，那麼……”（if…then…），用符號→表示。設p，q表示兩命題，那麼p→q表示命題“如果p，那麼q”。當p真而q假時，命題p→q為假，否則均認為p→q為真。p→q中的p稱為蘊涵前件，q稱為蘊涵後件。p→q的讀法較多，可讀作“如果p則q”，“p蘊涵q”，“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”，“q當p”，“p僅當q”等等。數學中還常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分別叫做p→q的逆命題，否命題，逆否命題。
蘊涵詞→的意義及複合命題p→q的真值狀況規定見表1.5.
表1.5
| p | q | p→q |
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 1 0 1 |
例1.6 如果用p表示“天氣好”，q表示“我去接你”，那麼p→q表示命題“如果天氣好，那麼我去接你”。當天氣好時，我去接了你，這時諾言p→q真；我沒去接你，則諾言p→q假。當天氣不好時，我無論去或不去接你均未食言，此時認定p→q為真是適當的。
上述規定的蘊涵詞稱為實質蘊涵（substantive implication），因為它不要求p→q中的p，q有什麼關係，只要p，q為命題，p→q就有意義。例如“如果2+2=5，那麼雪是黑的”，就是一個有意義的命題，且據定義其真值為“真”。蘊涵詞的這種規定形式，在討論數學問題和邏輯問題時是正確的、充分的，但在某些情況下顯得有些不足，為此不少人對其它規定形式的蘊涵詞有興趣，對此本書不予介紹。
雙向蘊涵詞（two-way implication）“當且僅當”（if and only if），用符號？表示之。設p，q為兩命題，那麼p？q表示命題“p當且僅當q”，“p與q等價”，即當p與q同真值時p？q為真，否則為假。p？q讀作“p雙向蘊涵q”，“p當且僅當q”，“p等價於q”。由於“當且僅當”“等價”常在其它地方使用，因而用第一種讀法更好些。
雙向蘊涵詞的意義及p？q的真值狀況由表1.6給出。
表1.6
| p | q | p«q |
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 1 |
例1.7 如果p表示命題“△ABC@△A'B'C'”，q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三邊對應相等”，那麼p？q表示平面幾何中的一個真命題，因為p真時q顯然真，p假時q亦必然假，故p與q同真值。若q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三內角對應相等”，那麼p？q不再是恆真的了，因p假時q未必為假。
以上介紹的是五個最常用、最重要的聯結詞，自然語言中還有其它聯結詞，有的可以直接用它們中的一個來表示，例如“也”等同於“且”，“除非”等同於“當且僅當”；有的則可以用它們中的若干個來表示，例如“不可兼或”可用∨，∧與┐來表示。