倍與倍數的區別

  “倍”與“倍數”雖然只有一字之差,卻是兩個不同的數學概念,只有真正明確它們各自的內涵和使用範圍,才不會在理解和應用上造成混淆。兩者的區別是什麼呢?下面就跟著小編一起來看看吧。

  “倍”與“倍數”有什麼區別

  “倍”指的是數量之間的關係,它建立在乘法概念的基礎上,在實際教學中,是從“個”和“份”逐步抽象出來的數學概念。

  例如:白布8米,花布的長度有4個8米;或者說把白布8米看作1份,花布的長度是4份。這裡所說的“個”與“份”,換成數學語言就是花布的長度是8米的4“倍”,花布的米數是8×4=32米。由此可見,“倍”的出現是從生活中的“個”與“份”逐步抽象出來的,是建立在乘法概念的基礎上的。

  “倍數”指的是數與數之間的聯絡,它建立在“數的整除性”這個大概念的基礎上,是在明確“整除”的前提下,與“約數”同時建立的。

  例如:28是7的倍數,因為28能被7整除。28÷7=4,28是7的4倍,如果用乘法表示這三個數的數量關係,則7×4=28,7的4倍是28。由此可見,前者的“倍數”是嚴格限制在“整除”的範圍內,而後者的“倍”只體現在乘法的概念當中,這是兩者的明確區別。

  在小學數學教材中,“倍數”的運用還有另一種情況,即在比例教學時,當闡述正、反比例關係所提到的“擴大或縮小相同的倍數”,這裡所提到的“倍數”,是一般除法中的概念,而不是“整除”範圍內的概念。比例中所出現的倍數,所表示的是兩個最相比而得到的數,這個數不一定是整數,也可能是小數。在研究“數的整除性”中的倍數,是不允許出現小數的。

  “倍”和“倍數”的區別

  “倍”指的是數量關係,它建立在乘法概念的基礎上,例如:公雞有10只,母雞有3個10只,我們就說,母雞的只數是公雞的3倍,也可以說,10的3倍,就是3個10,即10×3。

  “倍數”指的是數與數之間的聯絡,它建立在整除概念的基礎上,例如,30能被6整除,30是6的倍數。但30是6的5倍,因為6×5=30,“6×5”表示6的5倍。

  在闡述正、反比例關係時,提到“擴大”或“縮小”相同的“倍數”,這裡的“倍數”與前面提到的“倍數”的含義是不同的,前面提到的倍數是指整除中一個概念,指的是被除數,它只能是一個整數,後面提到的倍數,是一般除法中的一個概念,指的是商數,它表示兩個量相比而得到的數。

  隨著我們今後學習知識量的增加,倍數的範圍會不斷的擴大的。倍數既可以是一個整數,同時還可以是分數或者是小數,甚至可以用百分數來表示兩個數量之間的倍數關係。

  “數的整除性”有哪些性質

  “數的整除性”的性質很多,涉及到小學數學內容的有以下幾個:

  1如果兩個整數a、b都能被c整除,那麼a與b的和也能被c整除。

  例如:42÷7=6 56÷7=8

  42+56÷7=14

  42能被7整除,56也能被7整除,那麼42與56的和98也能被7整除。

  反之,如果整數a、b中,有一個數能被c整除,而其中一個數不能被c整除,那麼a與b的和就一定不能被c整除。

  例如:36÷9=4 83÷9=9……2

  36+83÷9=13……2

  36能被9整除,83不能被9整除,那麼36與83的和119不能被9整除。

  2如果兩個整數a、b都能被c整除,那麼a與b的差也能被C整除。

  例如:88÷11=8, 66÷11=6

  88-66÷11=2

  88能被11整除,66也能被11整除,那麼88與66的差22也能被11整除。

  反之,如果整數a、b中,有一個數能被c整除,另一個數不能被c整除,那麼a與b的差就一定不能被c整除。

  例如:91÷13=7 30÷13=2……4

  91-30÷13=4……9

  91能被13整除,30不能被13整除,那麼91與30的差61不能被13整除。

  3如果兩個整數a、b都不能被c整除。那麼a與b的和或差能或不能被c整除。這是一個不肯定的結論。

  例如:65÷7=9……2 33÷7=4……5

  65+33÷7=14

  65-33÷7=4……4

  65不能被7整除,33也不能被7整除,由於兩個餘數的和2+5=7,正好等於除數,因此,65與33的和98能被7整除;而65與33的差則不能被7整除。

  又如:85÷11=7……8 38÷11=3……5

  85+38÷11=11……2

  85-38÷11=4……3

  85不能被11整除,38也不能被11整除,此例中85與38的和123或差47都不能被11整除。

  4如果整數a能被自然數c整除,那麼a的倍數整數倍也能被c整除。

  例如:39÷13=3

  39×4÷13=12

  39能被13整除,39的4倍156也能被13整除。

  5如果a、b、c這三個數中,a能被b整除,b又能被c整除,那麼a一定能被c整除這是整除的傳遞性。

  例如:有84、21、7三個數

  84÷24=4 21÷7=3

  84÷7=12

  84能被21整除,21又能被7整除,那麼84就一定能被7整除。

  反之,如果a、b、c這三個數中,a與b或b與c之間只要出現一個不能整除的情況,a就一定不能被c整除。

  例如:有121、11、5三個數

  121÷11=11 11÷5=2……1

  121÷5=24……1

  121能被11整除,但11不能被5整除,那麼121就一定不能被5整除。

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