溼潤區水文

[拼音]：gangti de dingdian yundong

[外文]：motion of a rigid body about a fixed point

剛體上某一點始終保持不動的一種運動。如陀螺繞定點O的運動（圖1）。

尤拉角

作定點運動的剛體有三個自由度。通常取如下定義的三個尤拉角作為確定剛體位置的獨立引數。建立一個固結在剛體上的動座標系Oxyz和一個以定點O為原點的定座標系Oξηζ(圖2)。定座標系的座標平面ξOη和動座標系的座標平面xOy的交線

稱為節線。

和Ox軸的夾角嗞稱為剛體的自轉角;

和Ox軸之間的夾角嗞稱為進動角;Oz軸和Oζ 軸之間的夾角θ稱為剛體的章動角。嗞、嗞、θ都叫做尤拉角，因此，剛體定點運動的運動方程可用三個尤拉角的時間函式來表示：

。

剛體上點的速度和加速度設任一瞬時剛體的角速度向量為ω，角加速度向量為

α

，如取定點O為矢徑原點時，則剛體上任一點P的速度向量

，式中

r

p是P點對於O的矢徑。加速度向量

。

本體極面

定點運動的剛體的任何有限位移可用繞過定點的某軸的一次轉動而達到。因此，剛體每一瞬時運動都可看成是繞通過定點的某一瞬時轉軸所作的瞬時轉動，這一瞬時轉軸就是該瞬時剛體角速度向量ω的方向軸(圖3)，在此瞬時轉軸上的每一點的速度都是零。瞬時轉軸在隨剛體運動的空間中所描繪出的錐面稱為本體極面。瞬時轉軸在固定空間中所描繪出的錐面稱為空間極面。剛體定點運動可用幾何方法描述為，本體極面在空間極面上作無滑動的滾動。

尤拉運動學方程

剛體作定點運動的角速度向量

，

式中夗、夝、夗分別為進動角嗞，章動角θ，自轉角嗞對時間t的一階導數，它們分別稱為進動角速度，章動角速度，自轉角速度；

k

、

n

、

k

┡分別是Oζ軸，節線

， Oz軸上的單位向量 (圖2)。把ω投影到動座標Oxyz上得

此三個方程稱為尤拉運動學方程。

尤拉動力學方程

如取過定點O 的剛體的三個互相垂直的慣量主軸（見慣量張量）為座標系Oxyz的座標軸，並設剛體對這三個座標軸的主轉動慣量分別為A、B、C。外力系對O點的主矩向量在這三個軸上的投影分別為M x、My、Mz，則定點運動的剛體的運動微分方程為

這就是L.尤拉於1758年得出的剛體定點運動的微分方程，稱為尤拉動力學方程。尤拉動力學方程和尤拉運動學方程聯立，在已知外力矩Mx、My、Mz和初始條件（三個尤拉角的初值和它們的初始導數值）下，可積分求得剛體定點運動的運動方程，就知道了三個尤拉角隨時間變化的規律。在任意外力系的作用和任意形狀剛體的情況下，這一組方程至今沒有得到用求積形式表示的精確解。困難主要來自方程的非線性。但因剛體定點運動的理論分析在陀螺技術中具有重要作用，所以這個問題的解決仍然是剛體動力學的重大研究課題之一。這一組方程，目前只在下述三種特殊情況下得到了精確解：

（1）尤拉－潘索情況。作用於剛體上的外力的合力通過固定點O，則Mx、My、Mz都恆為零。此時剛體繞定點作慣性轉動，尤拉動力學方程簡化為