燕山蛩

[拼音]：LiMan-Sidi’erjiesi jifen

[外文]：Riemann-Stieltjes integral

數學中常用的一種積分。它是黎曼積分的推廣。通常利用黎曼積分可以計算幾何形體的面積、體積，物理和力學中的功、能，物體的重心和轉動慣量以及更一般的矩等等。例如，設[α， b]上分佈了一些有質量的物質（或電荷）。如果分佈是非均勻的，但有密度，並且密度函式

ρ

(x)在[α，b]上是連續的或黎曼可積的，那麼物質（或電荷）對[α，b]外某點c的矩（或電位）可用形式為

的黎曼積分來計算。如果計算n次矩，ƒ(x)便是(x-c)n;如果計算位能，ƒ(x)便是

。然而，當分佈根本沒有密度函式時，黎曼積分對上述問題就失效了。因此，數學上有必要引入下面更廣泛的積分概念。

設ƒ(x)，g(x)是[α，b]上兩個函式（可以是復值函式）。對[α，b]上任何分點組

，作和式

，

式中

，記

，如果存在S，使得

，則稱ƒ(x)關於g(x)在[α，b]上是黎曼－斯蒂爾傑斯可積的，並稱S為ƒ(x)關於g(x)的黎曼－斯蒂爾傑斯積分(簡稱R-S積分)。通常記S為

。特別，當g(x)=x+с（с是常數）時，上面的積分S 就是ƒ(x)的黎曼積分。又如果g(x)表示[α，x]上總質量或總電荷量，那麼g(xi)-g(xi-1)便是(xi-1，xi]（當xi-1=α時，應是[xi-1，xi]）上總質量或總電荷量。因此，上述新積分就能用來計算非均勻分佈，特別是密度函式不存在時非均勻分佈關於某點с的矩或電位。R-S積分是建立一般的曲線積分的基礎。

黎曼－斯蒂爾傑斯積分有下面常用性質。

（1）如果ƒ(x)、g(x)有一個公共的不連續點，則積分不存在。

（2）線性性質。設α，β是任何兩個複數，如果ƒ(x)關於g1(x)和g2(x)可積，則

如果ƒ1(x)、ƒ2(x)關於g(x)都可積，則

（3）區間可加性。ƒ(x)關於g(x)在[α，b]上可積，當且僅當對任何с∈[α，b]，ƒ(x)關於g(x)分別在[α，с]，[с，b]上都可積，此時

。

（4）分部積分公式。如果ƒ(x)關於g(x)可積，則g(x)關於ƒ(x)也必可積，並且

。

（5）如果ƒ(x)是[α，b]上連續函式，g(x)是[α，b]上有界變差函式，則ƒ(x)關於g(x)可積。

（6）設ƒ(x)是[α，b]上有界函式，g(x)是[α，b]上的有界變差函式，ωi表示 ƒ(x)在[xi-1，xi]上的振幅，即

，

則ƒ(x)關於g(x)可積當且僅當對任何給定的 η>0，和對任何分點組

，

式中

。

（7）M-l不等式。如果ƒ(x)是有界函式，g(x)是有界變差函式，並且ƒ(x)關於g(x)可積，則

，

式中

是g的全變差（見有界變差函式）。

（8）如果 g(x)是[α，b]上有界變差函式，{ƒn(x)}是[α，b]上關於g(x)可積的一列有界函式，並且一致收斂於ƒ(x)，則ƒ(x)必關於g(x)可積，並且

。

（9）設ƒ(x)是[α，b]上連續函式，{gn(x)}是[α，b]上一列有界變差函式，且處處收斂於函式g(x)，又設存在常數K，使

，那麼ƒ(x)關於g(x)可積，且

。

隨著黎曼積分發展成勒貝格積分，黎曼-斯蒂爾傑斯積分也發展成勒貝格－斯蒂爾傑斯積分(見勒貝格積分)。