陳立

[拼音]：fuzhi

[英文]：valuation

實數（或複數）絕對值在任意域上的推廣。賦值這個概念最初是由J.屈爾沙克於1913年提出的。設 φ是定義在任意域F上的一個取非負實數值的函式，並滿足以下三個條件：

（1）φ(α)=0，當且僅當α=0，並對某個α∈F 有φ(α)≠1；

（2）φ(αb)=φ(α)φ(b)；

（3）φ(α+b)≤φ(α)+φ(b)，J.屈爾沙克把這樣的φ稱為F上的一個賦值。按照通行的叫法，後改稱之為F的絕對值。不久以後，A.奧斯特羅夫斯基引進了另一種絕對值φ，它滿足上述的①和②，以及④

，並把這種φ稱為非阿基米德絕對值，而把滿足①、②、③而不滿足④的那些φ稱為阿基米德絕對值。實數域R或複數域

C

的通常絕對值就是它們的阿基米德絕對值。有絕對值φ的域F，記作(F，φ)。

完全域

藉助於F的絕對值φ，可以把分析學上的一些概念移植於F。設｛αi｝是F的一個序列。若對於每個實數ε>0，總有一個自然數n0，使得當m，n≥n0時，恆有φ(αm－αn)<ε，則稱{αi}是(F，φ)的一個φ柯西序列。若對於序列｛αi｝，有α∈F，使得當n≥n0時恆有 φ(αn-α)<ε則稱{αi}是φ收斂的，而α稱為它的φ極限。若(F，φ)中每個φ柯西序列都是φ收斂的，則稱F關於φ是完全的，或者說(F，φ)是完全域(complete field)。實數域R或複數域

C

關於通常的絕對值是完全的，而K.亨澤爾的

P

進數域

Q

p則是一個非阿基米德絕對值的完全域。對這兩種域作統一的處理，正是發展賦值理論的一個主要出發點。F上所有形如

的級數，稱為F上關於文字X的形式冪級數。按照通常的加、乘運算，它們組成一個域，稱為F上的形式冪級數域，記作 F((x))。令

，以及ρ(0)=0，於是得到一個完全域(F((X))，φ)。

當φ是阿基米德絕對值時，有著名的奧斯特洛夫斯基定理：若F關於阿基米德絕對值φ是完全的，則F連續同構於R 或

C

。

賦值和賦值環

非阿基米德絕對值這個概念還可以作如下的推廣。設 Г是一個有序交換群，其運算為乘法，單位元素為1。設0是一個符號，它與Г的元素r，滿足r·0＝0·r＝0·0＝0，以及0

（1）φ(α)=0當且僅當α=0；

（2）φ(αb)=φ(α)·φ(b)；

（3）

，則稱φ是F的一個賦值.或者說F是有賦值φ的賦值域，記作(F，φ)。Г稱為φ的值群。當Г是正實數乘法群時，φ就是前面所說的非阿基米德絕對值。在賦值域(F，φ)中，子集

成一個環，稱為φ 的賦值環。F的子環 A成為某個賦值的賦值環，當且僅當對於F的每個元素α，必有α∈

A

或者α_1∈

A

。

從域F的一個子環

A

到某個域K 的一個同態對映B，如果滿足：

（1）對於α∈F-

A

，有α_1∈

A

以及α_1B=0；

（2）B把

A

的單位元素對映到K的單位元素，那麼B稱為F的一個位。域的每個位，顯然給出一個賦值環；反之，從域的賦值環也不難作出域的一個位。因此，賦值、賦值環和位這三個概念密切相關。位還是代數幾何中的一個重要概念，早在R.戴德金和H.韋伯的經典著作中就有了它的雛型。賦值自W.克魯爾於20世紀30年代初提出以後，賦值理論廣泛應用於代數數論、類域論以及代數幾何等方面；到了60年代，它又與泛函分析有著日益增長的關聯。

賦值的階

設Г是賦值φ的值群，Δ是Г的一個子群。若對於Δ的每個元素δ，Г中所有滿足δ-1<у<δ的元素у也屬於Δ，則Δ稱為Г的一個孤立子群。｛1｝和Г都可以作為Г的孤立子群。以下設Г≠｛1｝。由於Г是有序的，Г中所有的孤立子群按包含關係成一個全序的集。除Г 本身外的所有孤立子群，按包含關係所成全序集的序型定義為Г的階。若φ的值群Г的階是m，就稱φ是m階賦值。因此，所謂一階賦值，就是指值群只有｛1｝為其真孤立子群的賦值。有序交換群的階為1，當且僅當它保序同構於某個由實數所成的乘法群。這個事實表明，一階賦值正是前面所定義的非阿基米德絕對值。

離散賦值

當一階賦值φ的值群為無限迴圈群時，則φ稱為離散賦值。例如，關於有理數域

Q

。設 p是一個素數，那麼每個有理數α≠0都可惟一地寫成

的形式，其中b、с是與p互素的整數，v(α∈Z。規定

，以及φ(0)=0。不難驗知，φ滿足賦值的條件，而且是一個離散賦值，稱之為

Q

的p進賦值。

賦值的開拓

設(F，φ)是一個賦值域，K是F的一個擴域，若K有一個賦值ψ，使得對每個α∈F，都有ψ(α)=φ(α)，則ψ稱為φ在K上的開拓。關於賦值開拓有存在性定理：F的賦值在F的任何一個擴域上都至少有一個開拓。

拓撲域

如果域F有一個拓撲τ，使得F的四則運算關於τ是連續的，那麼F稱為關於τ的拓撲域，記作(F，τ)。庫爾雪剋意義下的賦值域，是拓撲域的最早例子。

賦值理論也可以從拓撲代數的角度來研究，是基於下述事實。對於有絕對值φ 的域 F，所有形如｛α∈F｜φ(α)<ε｝的子集構成零元素的一個基本鄰域族，從而生成F的一個域拓撲。在φ是F的賦值時，情形也相同。對拓撲域作系統的研究始於20世紀30年代初期D.von 丹齊克的工作。

區域性緊域

任何拓撲域(F，τ)只能是連通的，或者完全不連通的。如果τ是F的一個區域性緊拓撲，那麼(F，τ)稱為區域性緊域。離散拓撲也是一種區域性緊拓撲。僅就非平凡的和非離散的情形而論，區域性緊域有一些顯著的性質。首先，每個區域性緊域 (F，τ)都有一個絕對值φ，使得由φ所生成的拓撲與τ相同。其次，還有定理:設(F，τ)是一個區域性緊域。如果它是連通的，那麼它連續同構於R或