土壤水分

[拼音]：changweifen fangcheng chuzhi wenti

[英文]：initial value problem of ordinary differential equation

求常微分方程

(1)

滿足初值條件

(2)

的解的問題。其中，x屬於n維歐幾里得空間Rn，ƒ是由Rn+1中的開域G到Rn的對映。n=1時，(1)、(2)表示純量方程；n≥2時，它們表示向量方程。常微分方程初值問題包括以下的問題：初值問題(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在區間有多大；當初值(t0，x0)變化時，解如何變化；當方程(1)的右端函式ƒ添進引數λ，即方程(1)變為

時，解同參數λ有何依賴關係；等等。初值問題是A.-L.柯西於19世紀30年代首先提出的，所以又叫柯西問題。在這之前，求解常微分方程是企圖求其通解，但能夠求出通解的只是一些特殊的方程，而在力學和物理學中出現的大多數方程都無法求出通解。柯西從另一種觀點考慮，提出了初值問題，並採用優函式方法，在函式ƒ(t，x)於點(t0，x0)的某個鄰域裡解析的條件下第一次證明了初值問題 (1)+(2)的解析解的存在惟一性。所謂優函式是指：若ƒ(t，x)、F(t，x)均在點(t0，x0)的某一鄰域內解析，設

且滿足條件αmn>0，|αmn|<αmn，則F(t， x)稱為ƒ(t，x)的優函式，記為ƒ<

為簡單起見，以下沒有特別指明之處，都是對n=1的情況而言的，但所有結論對一般的n都成立。

解的定義

常微分方程解的定義甚多，不同意義下的解，初值問題的結果不同。最常見的是所謂牛頓解或稱經典解。若函式 φ(t)在某個區間I上有定義且連續可微；當t∈I時(t，φ(t))∈G；且在I上滿足方程(1)，即：

t∈I，則稱φ(t)是方程(1)的一個牛頓解或經典解，簡稱為(1)的解。其他意義下的解是其推廣。

解的存在性

初值問題(1)+(2)並非都有解存在。例如，初值問題

的解就不存在。甚至有的方程在它右端函式定義域上的任何一點都無解存在。例如方程

其中當x為無理數時ƒ(x)=0，當x為有理數時 ƒ(x)=1，就是如此。初值問題有解存在的基本定理是柯西-皮亞諾存在定理:若ƒ(t，x)在矩形域R(│t-t0│≤α│x-x0│≤b)上連續，則初值問題(1)+（2）在區間│t-t0│≤h上至少存在一個解x(t)。在這裡，

，（圖1）。

從點(t0，x0)向左右兩邊作尤拉折線序列{xm(t)}：

(3)

(3)由阿斯科利-阿爾澤拉引理（一個在閉區間[α，b]上一致有界且同等連續的無窮函式序列，必可從中選取一個在此區間上一致收斂的子序列）可以證明此序列存在一致收斂的子序列，它於|t-t0|≤h上收斂於初值問題的解，從而可以證明上述存在定理。這個定理也可以用紹德爾不動點定理給以證明。值得指出，上述尤拉折線公式(3)是常微分方程數值解法的基本公式之一。

解的開拓性

柯西－皮亞諾存在定理描述的是解在t0附近的一個區間上的存在性，因而是一個區域性性的定理。若 ƒ（t，x）在某一平面有界區域 G上連續，G 可能很大，這時，可以用如下方法把在小區間上有定義的解開拓到較大的區間上去。適當地選取 α0、b0> 0，作

使R0嶅G，則過點（t0，x0）至少有方程（1）的一個解x（t）在區間│t-t0│≤h0上存在。其中

令

顯然，

則又可適當地選取α1b1>0，作R1:

使

於是可向右邊開拓到區間 t1≤t≤t1+h1上(見圖2

)。如此繼續下去，可一直開拓到G的邊界嬠G的任何鄰近。同樣，也可將解 x(t)從點(t0-h0，x(t0-h0))向左邊開拓。如此經開拓而得的解稱為方程(1)過點(t0，x0)的飽和解。飽和解的定義區間稱為解的最大存在區間;它必為開區間。綜上所述有開拓定理:設ƒ(t，x)在平面有界開域G上連續，設x(t)為(1)的任一解（或積分曲線），其最大存在區間為(с，d)，則必有

式中ρ((t，x(t))，嬠G)表示點(t，x(t))到G的邊界嬠G的距離。即，只要ƒ在G上連續，則方程(1)過G中任一點的積分曲線必可延至與邊界嬠G無限接近。

當G無界時，G上的積分曲線或是開拓到無限接近G的境界線，或者趨向無窮遠。但在接近於G的境界線時，可能是振動的。事實上，不管G是有界還是無界，如果將G的無窮遠處也理解為其邊界，那麼方程(1)過G中任一點的積分曲線必可開拓到G的邊界。因此，下面的結論總是成立的：

設x(t)的最大存在區間是(α，b)，則t→α+或t→b－時有

(4)

式中M(t)=(t，x(t))為積分曲線上的點座標；

解的惟一性

ƒ(t，x) 的連續性不能保證初值問題(1)+(2)的解惟一。例如方程

其右端函式在整個平面R2上定義且連續，但過點(0，0)的解至少有兩個：x1(t)=0 和

實際上這時有無限個解通過這個點(圖3

)，形成過點(0，0)的一束解(稱其為皮亞諾束)。這是平面情形。對一般的n，若方程(1)在域

上過點(t0，x0)的解不惟一，則過此點的積分曲線的全體形成一個漏斗狀的集合，稱為積分漏斗。

惟一性條件

初值問題解的惟一性條件，最常用的是李普希茨條件。設ƒ(t，x)在R:|t-t0|≤α，│x-x0│≤b上連續，存在常數K 使

當

時，則說ƒ（t，x）在R上滿足李普希茨條件。此外，常見的還有奧斯古德條件:

當

時。其中ω(r)在r≥0上非負連續，

還有卡姆克條件:

當

時。其中ω(t，r)是 0

及條件r(0)=妝+(0)=0在區間0

如果ƒ(t，x)滿足這些惟一性條件，則方程(1)只能有一個滿足初值條件 (2)的解(惟一性定理)。這個定理可以用比較原理給以證明。在李普希茨條件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {xm(t)}於│t-t0│≤h上一致收斂於此解來證明。這些惟一性條件只保證解的區域性惟一性。但只要ƒ在域G中每一點都滿足惟一性條件，則方程(1)過G中任一點的飽和解都是惟一的。惟一性的討論已有一百多年的歷史，至今仍有人在研究，並相繼提出了許多惟一性條件。

解對初值和引數的相依性

在應用初值問題描述一個物理過程時，由於初值和方程(1)的右端函式通常由實驗測定，而小的測量誤差可能引起解的很大變化，因此在應用中（如在變分法和最優控制等學科中），就需要考察初值和引數變化時解的變化規律。於是解對初值和引數的依賴關係在理論上和應用上都很重要。

考慮帶引數的常微分方程

(1)λ

式中(t，x)∈G，G是Rn+1中的開域， λ∈Iλ，Iλ是開區間，ƒ:G×Iλ→Rn。為了表明解對初值和引數的依賴關係，把方程(1)λ滿足初值條件(2)的解記為 x=φ( t， t0， x0，λ)；而φ( t0， t0， x0，λ)= x0。

解對初值和引數連續的一般定理

設 ƒ（t，x，λ）在G×Iλ上連續，關於x滿足李普希茨條件，即存在常數K>0，使

那麼對每個(t0，x0)∈G，λ∈Iλ，存在通過(t0，x0)的惟一解 x=φ(t，t0，x0，λ)，其定義域是R1×G×Iλ中的開集E，在E上φ(t，t0，x0，λ)是連續的。這個定理只表明過點（t0，x0）的解在定義區域內是連續的，但並沒有反映當初值和引數變化時解在 t的定義區間上整體的變化情況。下面的定理指出了對某個大範圍內的t，解對初值和引數連續是一致的。

解對初值和引數的整體連續性定理

設ƒ(t，x，λ)滿足上述定理的條件，又設x＝ψ(t)是方程(1)λ當λ=憳時的解，其最大存在區間為(с，d)。對任一閉子區間[α，b]嶅（с，d），存在δ>0，使當

時，對任意

和λ∈(憳-δ，憳+δ)，則方程(1)λ的惟一解φ（t，t0，x0，λ）至少在[α，b]上有定義，且是變數t，t0，x0，λ在區域[α，b]×Uδ×（憳-δ，憳+δ）上的連續函式。並且對任意慪∈[α，b]，當

時，φ(t，t0，x0，λ)→ψ(t) 對 t∈[α，b]一致成立。對任意 ε>0，存在δ>0，使當│x0- ψ(t0)|<δ，|λ-憳|<δ時有 |φ(t，t0，x0，λ)-ψ(t)│<ε，t∈[α，b]。

上述兩定理中，ƒ（t，x，λ）關於x滿足李普希茨條件，目的是保證解的惟一性。事實上，只要初值問題(1)λ+(2)的解是惟一的，那麼上面兩定理仍然成立。

解對初值和引數的可微性定理

設ƒ（t，x，λ）在G×Iλ內關於(x，λ)連續可微，那麼初值問題(1)λ+(2)的解x＝φ(t，t0，x0，λ)作為變數(t，t0，x0，λ)的函式在其定義域內連續可微。

和

作為t的函式分別滿足初值問題

和

作為t的函式滿足矩陣微分方程的初值問題

Χ(0)=E。E為n×n單位矩陣。

在上面三個定理中，固定 λ時，就分別得到解對初值的有關依賴性定理。

初值問題的推廣

當ƒ(t，x)連續時，就能保證牛頓解的存在性，但在實際應用中出現了ƒ(t，x)為不連續的情形，這類方程已成為現代微分方程理論研究的一個重要課題。前面已有例子表明，ƒ(t，x)不連續時，不一定有牛頓解存在，因此很有必要推廣解的概念。到目前為止，已有多種解的推廣，下面簡述常遇到的卡拉西奧多裡解的概念和一個存在性定理。設 φ(t)是區間I上的絕對連續函式，對t∈I上除了一個測度為零的集合外，滿足方程