宇宙學

[拼音]：Wo’ertaila jifen fangcheng

[英文]：Volterra integral equation

形如

(1)

和

(2)

的積分方程，依次稱為第一種沃爾泰拉積分方程和第二種沃爾泰拉積分方程。它與弗雷德霍姆積分方程的不同之處，僅在於它的積分上限是變數x，且α≤y≤x≤b，此處α、b是常量。沃爾泰拉積分方程可視為弗雷德霍姆積分方程的核K(x，y)當y>x時為零的情形。

第二種沃爾泰拉積分方程沒有特徵值，是區別於弗雷德霍姆積分方程的重要特點。 因此， 對一切復值λ，方程 (2)都存在解核

，式中

，此式，l是小於m的任何自然數。於是，對任意的自由項ƒ(x)，方程(2)都有惟一解，它可表為

。

對第一種沃爾泰拉積分方程(1)，假設K(x，x)≠0，ƒ(α)=0，且Kx(x，y)和ƒ″(x)都是連續的，則利用對(1)兩邊求導數的方法，可把它化為與之等價的第二種沃爾泰拉積分方程

最早被研究的一個帶弱奇性核的沃爾泰拉積分方程，是阿貝爾方程

，它是N.H.阿貝爾於1823年在求一個質點的落體運動軌跡與時間的關係中得到的，其中g是重力加速度，ƒ(x)是已知函式，φ(x)是未知函式。阿貝爾方程的一般形式為

(3)

式中0<α<1。若G、Gx和ƒ┡都是連續的，且G(x，x)≠0，則在方程(3)的兩邊各乘以(u-x)α-1，再對x從0到u取積分，可得

，

式中

。由於

·

，隨之得

(4)

式中

方程(4)是第二種沃爾泰拉積分方程。因此，一般形式的阿貝爾方程可歸結為與之等價的沃爾泰拉積分方程。

在方程(3)中當G(x，y)呏1時，則由(4)和(5)可得阿貝爾方程的求解公式

。

類似地，推廣的阿貝爾方程

，0<α<1，它的解為

。