高三數學導數的運算知識點

　　導數在高中數學中佔有重要的地位，因此對導數知識點的掌握就至關重要，下面是小編給大家帶來的，希望對你有幫助。

　　數學導數的運算知識點

　　第一、求函式定義域題忽視細節函式的定義域是使函式有意義的自變數的取值範圍，考生想要在考場上準確求出定義域，就要根據函式解析式把各種情況下的自變數的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函式的定義域。

　　在求一般函式定義域時，要注意以下幾點：分母不為0;偶次被開放式非負;真數大於0以及0的0次冪無意義。函式的定義域是非空的數集，在解答函式定義域類的題時千萬別忘了這一點。複合函式要注意外層函式的定義域由內層函式的值域決定。

　　第二、帶絕對值的函式單調性判斷錯誤帶絕對值的函式實質上就是分段函式，判斷分段函式的單調性有兩種方法：第一，在各個段上根據函式的解析式所表示的函式的單調性求出單調區間，然後對各個段上的單調區間進行整合;第二，畫出這個分段函式的圖象，結合函式圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函式題離不開函式圖象，而函式圖象反應了函式的所有性質，考生在解答函式題時，要第一時間在腦海中畫出函式圖象，從圖象上分析問題，解決問題。

　　對於函式不同的單調遞增***減***區間，千萬記住，不要使用並集，指明這幾個區間是該函式的單調遞增***減***區間即可。

　　第三、求函式奇偶性的常見錯誤求函式奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函式定義域或忽視函式定義域，對函式具有奇偶性的前提條件不清，對分段函式奇偶性判斷方法不當等等。判斷函式的奇偶性，首先要考慮函式的定義域，一個函式具備奇偶性的必要條件是這個函式的定義域區間關於原點對稱，如果不具備這個條件，函式一定是非奇非偶的函式。在定義域區間關於原點對稱的前提下，再根據奇偶函式的定義進行判斷。

　　在用定義進行判斷時，要注意自變數在定義域區間內的任意性。

　　第四、抽象函式推理不嚴謹很多抽象函式問題都是以抽象出某一類函式的共同“特徵”而設計的，在解答此類問題時，考生可以通過類比這類函式中一些具體函式的性質去解決抽象函式。多用特殊賦值法，通過特殊賦可以找到函式的不變性質，這往往是問題的突破口。

　　抽象函式性質的證明屬於代數推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過程層次分明，還要注意書寫規範。

　　第五、函式零點定理使用不當若函式y=f***x***在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f***a***f***b***<>

　　第六、混淆兩類切線曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。

　　因此，考生在求解曲線的切線問題時，首先要區分是什麼型別的切線。

　　第七、混淆導數與單調性的關係一個函式在某個區間上是增函式的這類題型，如果考生認為函式的導函式在此區間上恆大於0，很容易就會出錯。

　　解答函式的單調性與其導函式的關係時一定要注意，一個函式的導函式在某個區間上單調遞增***減***的充要條件是這個函式的導函式在此區間上恆大***小***於等於0，且導函式在此區間的任意子區間上都不恆為零。

　　第八、導數與極值關係不清考生在使用導數求函式極值類問題時，容易出現的錯誤就是求出使導函式等於0的點，卻沒有對這些點左右兩側導函式的符號進行判斷，誤以為使導函式等於0的點就是函式的極值點，往往就會出錯，出錯原因就是考生對導數與極值關係沒搞清楚。可導函式在一個點處的導函式值為零隻是這個函式在此點處取到極值的必要條件，小編在此提醒廣大考生，在使用導數求函式極值時，一定要對極值點進行仔細檢查。

　　高三數學導數的運算典例精析

　　題型一　求常見函式的定積分

　　【例1】 計算下列定積分的值.

　　***1*** ***x-1***5dx;

　　***2*** ***x+sin x***dx.

　　【解析】***1***因為[16***x-1***6]′=***x-1***5，

　　所以 ***x-1***5dx= =16.

　　***2***因為***x22-cos x***′=x+sin x，

　　所以 ***x+sin x***dx= =π28+1.

　　【點撥】***1***一般情況下，只要能找到被積函式的原函式，就能求出定積分的值;

　　***2***當被積函式是分段函式時，應對每個區間分段積分，再求和;

　　***3***對於含有絕對值符號的被積函式，應先去掉絕對值符號後積分;

　　***4***當被積函式具有奇偶性時，可用以下結論：

　　①若f***x***是偶函式 時，則 f***x***dx=2 f***x***dx;

　　②若f***x***是奇函式時，則 f***x***dx=0.

　　【變式訓練1】求 ***3x3+4sin x***dx.

　　【解析】 ***3x3+4sin x***dx表示直線x=-5，x=5，y=0和曲線 y=3x3+4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數和，且在x軸上方 的面積取正號，在x軸下方的面積取負號.

　　又f***-x***=3***-x***3+4sin***-x***

　　=-***3x3+4sin x***=-f***x***.

　　所以f***x***=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函式，

　　所以 ***3x3+4sin x***dx=- ***3x3+4sin x***dx，

　　所以 ***3x3+4sin x***dx= ***3x3+4sin x***dx+ ***3x3+4sin x***dx=0.

　　題型二　利用定積分計算曲邊梯形的面積

　　【例2】求拋物線y2=2x與直線y=4-x所圍成的平面圖形的面積.

　　【解析】方法一：如圖，

　　由

　　得交點A***2,2***，B***8，-4***，

　　則S= [2x-***-2x***]dx+ [4-x-***-2x***]dx

　　= +

　　=163+383=18.

　　方法二：S= [***4-y***-y22]dy

　　= =18.

　　【點撥】根據圖形的特徵，選擇不同的積分變數，可使計算簡捷，在以y為積分變數時，應注意將曲線方程變為x=φ***y***的形式，同時，積分上、下限必須對應y的取值.

　　【變式訓練2】設k 是一個正整數，***1+xk***k的展開式中x3的係數為116，則函式y=x2與y=kx-3的圖象所圍成的陰影部分***如圖***的面積為　　　　.

　　【解析】Tr+1=Crk***xk***r，令r=3，得x3的係數為C3k1k3=116，解得k=4.由 得函式y=x2與y=4x-3的圖象的交點的橫座標分別為1,3.

　　所以陰影部分的面積為S= ***4x-3-x2***dx=***2x2-3x- =43.

　　題型三　定積分在物理中的應用

　　【例3】 ***1*** 變速直線運動的物體的速度為v ***t***=1-t2，初始位置為x0=1，求它在前2秒內所走過的路程及2秒末所在的位置;

　　***2***一物體按規律x=bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比於速度的平方，試求物體由x=0運動到x=a時阻力所做的功.

　　【解析】***1***當0≤t≤1時，v***t***≥0，當1≤t≤2時，v***t***≤0，所以前2秒內所走過的路程為

　　s= v***t***dt+ ***-v***t******dt

　　= ***1-t2***dt+ ***t2-1***dt

　　= + =2.

　　2秒末所在的位置為

　　x1=x0+ v***t***dt=1+ ***1-t2***dt=13.

　　所以它在前2秒內所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1=13.

　　***2*** 物體的速度為v=***bt3***′=3bt2.

　　媒質阻力F阻=kv2=k***3bt2***2=9kb2t4，其中k為比例常數，且k>0.

　　當x=0時，t=0;

　　當x=a時，t=t1=***ab*** ，

　　又ds=vdt，故阻力所做的功為

　　W阻= ds = kv2•vdt=k v3dt

　　= k ***3bt 2***3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.

　　【點撥】定積分在物理學中的應用應注意：v***t***= a***t***dt，s***t***= v***t***dt和W= F***x***dx這三個公式.

　　【變式訓練3】定義F***x，y***=***1+x***y，x，y∈***0，+∞***.令函式f***x***=F[1，log2***x2-4x+9***]的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交於點A***0，m***，過座標原點O向曲線C1作切線，切點為B***n，t******n>0***，設曲線C1在點A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值.

　　【解析】因為F***x，y***=***1+x***y，所以f***x***=F***1，log2***x2-4x+9******= =x2-4x+9，故A***0,9***，又過座標原點O向曲線C1作切線，切點為B***n，t******n>0***，f′***x***=2x-4.

　　所以 解得B***3,6***，

　　所以S= ***x2-4x+9-2x***dx=***x33-3x2+9x*** =9.