高中數學數列基礎知識
數列***sequence of number***是以正整數集***或它的有限子集***為定義域的函式，是一列有序的數。下面是小編為你整理的，一起來看看吧。
：等差數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列***arithmetic sequence***，這個常數叫做等差數列的公差***common difference***，公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.***Arithmetic Progression***。
通項公式
an=a1+***n-1***d
n=1時 a1=S1
n≥2時 an=Sn-Sn-1
an=kn+b***k,b為常數*** 推導過程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 則得到an=kn+b
等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項***arithmetic mean***。
有關係：A=***a+b***÷2
前n項和
倒序相加法推導前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3 +·····+an
=a1+***a1+d***+***a1+2d***+······+[a1+***n-1***d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+***an-d***+***an-2d***+······+[an-***n-1***d] ②
由①+②得2Sn=***a1+an***+***a1+an***+······+***a1+an******n個***=n***a1+an***
∴Sn=n***a1+an***÷2
等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：
Sn=n***a1+an***÷2=na1+n***n-1***d÷2
Sn=dn2÷2+n***a1-d÷2***
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=***2n-1***an，S2n+1=***2n+1***an+1
性質
一、任意兩項am，an的關係為：
an=am+***n-m***d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
二、從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
四、對任意的k∈N*，有
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S***n-1***k…成等差數列。
：等比數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列***geometric sequence***。這個常數叫做等比數列的公比***common ratio***，公比通常用字母q表示。
縮寫
等比數列可以縮寫為G.P.***Geometric Progression***。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。
通項公式
an=a1*q^***n-1*** ***其中首項是a1 ，公比是q***
an=Sn-S***n-1*** ***n≥2***
前n項和
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1***1-q^n***/***1-q***=***a1-a1*q^n***/***1-q*** ***q≠1***
當q=1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=na1
前n項和與通項的關係
an=a1=s1***n=1***
an=sn-s***n-1******n≥2***
性質
***1***若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
***2***在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。
***3***從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
***4***等比中項：q、r、p成等差數列，則aq·ap=ar²，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=***an***2n-1，π2n+1=***an+1***2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數後構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
***5*** 等比數列前n項之和Sn=a1***1-q^n***/***1-q***
***6***任意兩項am，an的關係為an=am·q^***n-m***
***7***在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a^n表示a的n次方。
：等和數列
定義
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續k***k≥2***項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列
性質
必定是迴圈數列
證明：對任意正整數n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以對任意正整數n，an = an+k，如果這個數列有n+k項的話。