高考數學解析幾何解題技巧及高考題例析

　　考試是檢測學生學習效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知識儲備。下面是小編為大家整理的高考數學解析幾何解題技巧，希望對大家有所幫助!

　　

　　每次和同學們談及高考數學，大家似乎都有同感：高中數學難，高考數學解析幾何又是難中之難。實在不然，解析幾何題目自有路徑可循，方法可依。只要經過認真的預備和正確的點撥，完全可以讓高考數學的解析幾何壓軸題變成讓同學們都很有信心的中等題目。

　　我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：

　　***1***題型穩定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩定在三***或二***個選擇題，一個填空題，一個解答題上，分值約為30分左釉冬 佔總分值的20%左右。

　　***2***整體平衡，重點突出：《考試說明》中解析幾何部分原有33個知識點，現縮為19個知識點，一般考查的知識點超過50%，其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既留意全面，更留意突出重點，對支撐數學科知識體系的主幹知識，考查時保證較高的比例並保持必要深度。近四年新教材高考對解析幾何內容的考查主要集中在如下幾個型別：

　　① 求曲線方程***型別確定、型別未定***;

　　②直線與圓錐曲線的交點題目***含切線題目***;

　　③與曲線有關的最***極***值題目;

　　④與曲線有關的幾何證實***對稱性或求對稱曲線、平行、垂直***;

　　⑤探求曲線方程中幾何量及引數間的數目特徵;

　　***3***能力立意，滲透數學思想：如2000年第***22***題，以梯形為背景，將雙曲線的概念、性質與座標法、定比分點的座標公式、離心率等知識融為一體，有很強的綜合性。一些雖是常見的基本題型，但假如藉助於數形結合的思想，就能快速正確的得到答案。

　　***4***題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處於壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關知識的聯絡***如向量、函式、方程、不等式等***，凸現教材中研究性學習的能力要求。加大探索性題型的分量。

　　在近年高考中，對直線與圓內容的考查主要分兩部分：

　　***1***以選擇題題型考查本章的基本概念和性質，此類題一般難度不大，但每年必考，考查內容主要有以下幾類：

　　①與本章概念***傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規劃等***有關的題目;

　　②對痴光目***包括關於點對稱，關於直線對稱***要熟記解法;

　　③與圓的位置有關的題目，其常規方法是研究圓心到直線的間隔.

　　以及其他“標準件”型別的基礎題。

　　***2***以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關係，此類題綜合性比較強，難度也較大。

　　預計在今後一、二年內，高考對本章的考查會保持相對穩定，即在題型、題量、難度、重點考查內容等方面不會有太大的變化。

　　相比較而言，圓錐曲線內容是平面解析幾何的核心內容，因而是高考重點考查的內容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線的概念和性質，直線與圓錐的位置關係等，從近十年高考試題看大致有以下三類：

　　***1***考查圓錐曲線的概念與性質;

　　***2***求曲線方程和求軌跡;

　　***3***關於直線與圓及圓錐曲線的位置關係的題目.

　　選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查物件，填空題以拋物線為考查物件，解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關係為主，對於求曲線方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學生的想象能力、分析題目的能力，從而體現解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨考查，總是與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，座標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現.解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查瞭解析幾何的基本方法——座標法以及二次曲線性質的運用的命題趨向要引起我們的重視.

　　請同學們留意圓錐曲線的定義在解題中的應用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質.從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.引數方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是引數方程與普通方程互化及等價變換的數學思想方法。

　　考試大綱這部分的變動就是***1***、簡單線性規劃由08年的瞭解進步到理解，***2***、橢圓的引數方程由08年的瞭解進步到理解。

　　04----08年，解析幾何部分的命題都是“一大兩小”——一個解答題兩個客觀題，多是以平面向量為載體，綜合圓錐曲線交匯處為主幹，構築成知識網路型圓錐曲線題目，使平面向量的知識與解析幾何的知識得到了很好的整合。集中體現對考生綜合知識和應變能力的考查。

　　考查的重點落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關係，往往是通過直線與圓錐曲線方程的聯立、消元，藉助於韋達定理代人、向量搭橋建立等量關係。考查題型涉及的知識點題目有求曲線方程題目、引數的取值範圍題目、最值題目、定值題目、直線過定點題目、對痴光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。

　　命題特別留意對思維嚴密性的考查，解題時需要留意考慮以下幾個題目：

　　1、設曲線方程時看清焦點在哪條座標軸上;留意方程待定形式及引數方程的使用。

　　2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。

　　3、命題結論給出的方式：搞清題目所給的幾個小題是並列關係還是遞進關係。假如前後小題各自有強化條件，則為並列關係，前面小題結論後面小題不能用;不過考題經常給出的是遞進關係，有***1***、第一問求曲線方程、第二問討論直線和圓錐曲線的位置關係，***2***第一問求離心率、第二問結合圓錐曲線性質求曲線方程，***3***探索型題目等。解題時要根據不同情況考慮施加不同的解答技巧。

　　4、題目條件如與向量知識結合，也要留意向量的給出形式：

　　***1***、直接反映圖形位置關係和性質的,如?=0，=*** ***，λ,以及過三角形“四心”的向量表示式等;

　　***2***、=λ：假如已知M的座標，按向量展開;假如未知M的座標，按定比分點公式代進表示M點座標。

　　***3***、若題目條件由多個向量表示式給出，則考慮其圖形特徵***數形結合***。

　　5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區別使用，留意圓錐曲線的性質的應用。

　　6、留意數形結合，特別留意圖形反映的平面幾何性質。

　　7、解析幾何題的另一個考查的重點就是學生的基本運算能力，所以解析幾何考題學生普遍感覺較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過程中，發現積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對痴規換的技巧，構造對稱式用韋達定理代進的技巧，構造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。

　　8、平面解析幾何與平面向量都具有數與形結合的特徵，所以這兩者多有結合，在它們的知識點交匯處命題，也是高考命題的一大亮點.直線與圓錐曲線的位置關係題目是常考常新、經久不衰的一個考查重點，另外，圓錐曲線中引數的取值範圍題目、最值題目、定值題目、對痴光目等綜合性題目也是高考的常考題型.解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個綜合性較強的題目，對考生的意志品質和數學機智都是一種考驗，是高考試題中區分度較大的一個題目，有可能作為今年高考的一個壓軸題出現.

　　例1已知點A***-1，0***，B***1，-1***和拋物線.，O為座標原點，過點A的動直線l交拋物線C於M、P，直線MB交拋物線C於另一點Q，如圖.

　　***1***若△POM的面積為，求向量與的夾角

　　***2***試證實直線PQ恆過一個定點。

　　高考命題雖說千變萬化，但只要認真研究考綱和近三年高考試題以及2010年的模擬試題，找出相應的一些規律，我們就大膽地猜想高考解答題命題的一些思路和趨勢，指導我們後面的溫習。對待高考，我們應該採取正確的態度，再大膽猜測的同時，更要注重基礎知識的進一步鞏固，多做一些簡單的綜合練習，進步自己的解題能力.

　　一、高考溫習建議：

　　本章內容是高考重點考查的內容，在每年的高考考試卷中佔總分的15%左釉冬分值一直保持穩定，一般有2-3道客觀題和一道解答題。選擇題、填空題不僅重視基礎知識和基本方法，而且具有一定的靈活性與綜合性，難度以中檔題居多，解答題注重考生對基本方法，數學思想的理解、把握和靈活運用，綜合性強，難度較大，常作為把關題或壓軸題，其重點是直線與圓錐曲線的位置關係，求曲線方程，關於圓錐曲線的最值題目。考查數形結合、等價轉換、分類討論、函式與方程、邏輯推理諸方面的能力，對思維能力、思維方法的要求較高。

　　近幾年，解析幾何考查的熱門有以下幾個

　　――求曲線方程或點的軌跡

　　――求引數的取值範圍

　　――求值域或最值

　　――直線與圓錐曲線的位置關係

　　以上幾個題目往往是相互交叉的，例如求軌跡方程時就要考慮引數的範圍，而引數範圍題目或者最值題目，又要結合直線與圓錐曲線關係進行。

　　總結近幾年的高考試題，溫習時應留意以下題目：

　　1、重點把握橢圓、雙曲線、拋物線的定義或性質

　　這是由於橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質是本章的基石，高考所考的題目都要涉及到這些內容，要善於多角度、多層次不斷鞏固強化三基，努力促進知識的深化、昇華。

　　2、重視求曲線的方程或曲線的軌跡

　　曲線的方程或軌跡題目往往是高考解答題的命題物件，而且難度較大，所以要把握求曲線的方程或曲線的軌跡的一般方法：定義法、直接法、待定係數法、代進法***中間變數法***、相關點法等，還應留意與向量、三角等知知趣結合。

　　3、加強直線與圓錐曲線的位置關係題目的溫習

　　由於直線與圓錐曲線的位置關係一直為高考的熱門，這類題目常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直題目，因此分析題目時利用數形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯絡往解決題目，這樣就加強了對數學各種能力的考查，其中著力抓好“運算關”，增強抽象運算與變形能力。解析幾何的解題思路輕易分析出來，往往由於運算不過關中途而廢，在學習過程中，應當通過解題，尋求公道運算方案，以及簡化運算的基本途徑和方法，親身經歷運算困難的發生與克服困難的完整過程，增強解決複雜題目的信心。

　　4、重視對數學思想、方法進行回納提煉，達到優化解題思路，簡化解題過程的目的。

　　用好方程思想。解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長題目利用韋達定理進行整體處理，就可簡化解題運算量。

　　用好函式思想。

　　把握座標法。

　　二、學習目標

　　三、知識梳理

　　●求曲線方程或點的軌跡

　　求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個熱門和重點，在歷年高考中出現的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學生的創新意識為突破口，注重考查學生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門，則能很好地反映學生在這些方面能力的把握程度。

　　下面先容幾種常用的方法

　　***1*** 直接法：動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關係，我們只需把這種關係“翻譯”成含x、粉底液哪個牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。

　　***2*** 定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動點的軌跡方程。

　　***3*** 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質***如線段中垂線、角平分線性質等***，可以用幾何法，列出幾何式，再代進點的座標較簡單。

　　***4*** 相關點法***代進法***：有些題目中，某動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點***稱為相關點***而運動的，假如相關點所滿足的條件是明顯的，這時我們可以用動點座標表示相關點座標，再把相關點代進其所滿足的方程，即可求得動點的軌跡方程。

　　***5*** 引數法：有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發現這個動點的運動經常受到另一個變數***角度、斜率、比值、截距***等的制約，即動點座標***x、y***中的x、y分別隨另一變數的變化而變化，我們可稱這個變數為引數，建立軌跡的引數方程，這種方法叫引數法。消往引數，即可得到軌跡普通方程。選定參變數要特別留意它的取值範圍對動點座標取值範圍的影響。

　　***6*** 交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡題目，這類題目常通過解方程組得出交點***含引數***的座標，再消往引數求出所求軌跡方程，該法經常與引數法並用。

　　例1、***2000安徽春***已知A、B為拋物線y2 = 4px ***p>0*** 上原點以外的兩個動點, OA⊥OB，OM⊥AB，M為垂足，求點M的軌跡方程，並說明它表示什麼曲線。

　　例2、好用的粉底液***1997全國***如圖，給出定點A***a ，0****** a>0 ***和直線l ：x = -1 , B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB於C，求點C的軌跡方程，並討論方程表示的曲線型別與a值的關係

　　●求引數範圍題目

　　在解析幾何題目中，常用到引數來刻劃點和曲線的運動和變化，對於參變數範圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉化，需要用函式和變數往思考，因此要用函式和方程的思想作指導，利用已知變數的取值範圍以及方程的根的狀況求出引數的取值範圍。

　　例1、已知橢圓C： 試確定m的範圍，使得對於直線l: y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點關於直線 l 對稱。

　　例2、***2004浙江***已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A***1，0***,點P、Q在雙曲線的右支上，點M ***m , 0 *** 到直線AP的間隔為1，

　　***1***若直線AP的斜率為k ，且 ，求實數 m 的取值範圍

　　***2***當 時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程

　　●值域和最值題目

　　與解析幾何有關的函式的值域或弦長、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函式的綜合題目，需要以函式為工具來處理。

　　解析幾何中的最值題目，一般是根據條件列出所求目標――函式的關係式，然後根據函式關係式的特徵選用引數法、配方法、判別式法，應用不等式的性質，以及三角函式最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可藉助圖形，利用數形結正當求最值。

　　例1、如圖，已知拋物線 y2 = 4x 的頂點為O，點A 的座標為***5，0***,傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交***不過O點或A點***，且交拋物線於M、N兩點，求△AMN面積最大時直線的方程，並求△AMN的最大面積。

　　●直線與圓錐曲線關係題目

　　1、直線與圓錐曲線的位置關係題目，從代數角度轉化為一個方程組實解個數研究***如能數形結合，可藉助圖形的幾何性質則較為簡便***。即判定直線與圓錐曲線C的位置關係時，可將直線方程帶進曲線C的方程，消往y***有時消往x更方便***，得到一個關於x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

　　當a=0時，這是一個一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時只有一個公共點。若C為雙曲線，則 l 平行與雙曲線的漸進線;若C為拋物線，則 l 平行與拋物線的對稱軸。所以當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相交，也可能相切。

　　當 a≠0 時，若Δ>0 l與C相交

　　Δ=0 l與C相切

　　Δ<0 l與C相離

　　2、涉及圓錐曲線的弦長，一般用弦長公式結合韋達定理求解，若是過交點的弦利用圓錐曲線的定***題則較為方便

　　弦長公式

　　解決弦中點有兩種常用辦法：一是利用韋達定理及中點座標公式;二是利用端點在曲線上，座標滿足方程，作差構造出中點座標和斜率的關係***點差法***

　　中點弦題目就是當直線與圓錐曲線相交時，得到一條顯冬進一步研究弦的中點的題目. 中點弦題目是解析幾何中的重點和熱門題目，在高考試題中經常出現. 解決圓錐曲線的中點弦題目，“點差法”是一個行之有效的方法，“點差法”顧名思義是代點作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為：①設出弦的兩個端點的座標;②將端點的座標代進圓錐曲線方程相減;③得到弦的中點座標與所在直線的斜率的關係，從而求出直線的方程;④ 作簡

　　要的檢驗. 本文試圖通過對一道高考試題解法的探討，談點個人見解.

　　一、高考試題

　　***2006年北京市高考卷第19題***橢圓C： + = 1***a> b > 0***的兩個焦點為F1，F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=， |PF2| = .

　　***1*** 求橢圓C的方程;

　　***2*** 若直線l過圓x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圓心M，交橢圓C於A，B兩點，竊讀，B關於點M對稱，求直線l的方程.

　　二、解題思路

　　第***1***題的解法不再贅述，答案是：+ = 1，在此基礎上研究第***2***題的解法.

　　1. 運用方程組的思路

　　設A***x1，y1***，B***x2，y2***，已知圓的方程為***x + 2***2 + ***y - 1***2 = 5，所以圓心M的座標為***-2，1***，從而可設直線l的方程為：y= k***x+ 2***+1.

　　∴y= k***x+ 2***+ 1，+=1.消y得

　　***4 + 9k2***x2 + ***36k2 + 18k***x + 36k2 + 36k - 27 = 0.

　　∵ A，B關於點M對稱，

　　∴ = - = -2，解得 k =.

　　∴ 直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0.

　　2. 運用“點差法”的思路

　　已知圓的方程為***x+ 2***2+ ***y- 1***2= 5，所以圓心M的座標為***-2，1***.

　　設A***x1，y1***，B***x2，y2***，由題意x1≠x2且

　　+ = 1***1***+= 1***2***

　　由***1***- ***2***得

　　+ = 0***3***

　　由於A，B關於點M對稱，所以x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 2，代進***3***得 k1 = =，所以，直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0. 經檢驗，所求直線方程符合題意.

　　三、對兩種思路的熟悉

　　思路1運算較複雜，尤其是消元得到方程這一步，很多學生是不能順利過關的;思路2運算較簡潔，學生易把握. 對於兩種思路都必須分析到：直線l經過圓心，而且圓心是弦的中點. 這些方法在考題中經常有所涉及.

　　四、對“點差法”的思考

　　1. “點差法”使用條件的反思

　　“點差法”使用起來較為簡潔，那麼使用“點差法”的條件是什麼?

　　假設一條直線與曲線mx2 + ny2 = 1***n，m是不為零的常數，且不同時為負數***相交於A，B兩點，設A***x1，x2***，B***x2，y2***，則mx12 + ny12= 1，mx22 + ny22 = 1， 兩式相減有：m***x1 - x2******x1 + x2*** = -n***y1 - y2******y1 + y2***. 其中x1+x2與y1 + y2和線段AB的中點座標有關; 為AB的斜率. 由此可見，知道其中一個可以求出另外一個，意思是說：要用“點差法”，需知道AB的中點和AB的斜率之一才可求另一個. 然後進行扼要的檢驗.

　　2. 先容一種處理中點弦題目時的巧妙的獨到的解法

　　例題 已知雙曲線x2 - = 1，問是否存在直線l，使得M***1，1***為直線l被雙曲線所截弦AB的中點.若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

　　由題意得M***1，1***為顯讀B的中點，可設A***1+ s，1+ t***，B***1- s，1- t***，***s，t∈T訂，由於A，B，M不重合可知， s，t不全為零. 又點A，B在雙曲線x2-= 1上，將點的座標代進方程得

　　***1+ s***2-= 1***1******1- s***2-= 1***2***

　　***1***+ ***2*** 可得s2= t2 ***3***

　　***1***- ***2*** 可得t = 2s ***4***

　　將***4***代進***3***可得s= 0，t= 0，不可能，故不存在這樣的直線.

　　這裡我們回納一下解題思路：

　　已知直線l與圓錐曲線：ax2 + by2 = 1***a，b使得方程為圓錐曲線***相交於A，B兩點，設中點為M***m，n***，求直線l方程.

　　解題思路 設A***m+ s，n+ t***，B***m - s，n - t***， ***s，t∈T訂，由於A，B，M不重合可知，s，t不全為零. 又點A，B在雙曲線ax2 + by2 = 1上，將點的座標代進方程得a***m + s***2- b***n+ t***2= 1， a***m-s***2 - b***n- t***2= 1.解得：ams = bnt，am2 +s2 = bn2 + t2. ***由於這裡全是字母運算，表示式複雜，不再求出所有的表示式的具體形式，只是談一下思路***進一步解出s，t的值，從而知道A，B的座標，運用兩點式求出直線l的方程.

看過" "的還: