數學常用解題方法技巧

  熟悉化方法

  所謂熟悉化方法,就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時,要設法把它化為曾經解過的或比較熟悉的題目,以便充分利用已有的知識、經驗或解題模式,順利地解出原題。

  一般說來,對於題目的熟悉程度,取決於對題目自身結構的認識和理解。從結構上來分析,任何一道解答題,都包含條件和結論***或問題***兩個方面。因此,要把陌生題轉化為熟悉題,可以在變換題目的條件、結論***或問題***以及它們的***上多下功夫。

  常用的途徑有:

  ***一***、充分聯想回憶基本知識和題型:

  按照波利亞的觀點,在解決問題之前,我們應充分聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型,充分利用相似問題中的方式、方法和結論,從而解決現有的問題。

  ***二***、全方位、多角度分析題意:

  對於同一道數學題,常常可以不同的側面、不同的角度去認識。因此,根據自己的知識和經驗,適時調整分析問題的視角,有助於更好地把握題意,找到自己熟悉的解題方向。

  ***三***恰當構造輔助元素:

  數學中,同一素材的題目,常常可以有不同的表現形式;條件與結論***或問題***之間,也存在著多種***。因此,恰當構造輔助元素,有助於改變題目的形式,溝通條件與結論***或條件與問題***的內在聯絡,把陌生題轉化為熟悉題。

  數學解題中,構造的輔助元素是多種多樣的,常見的有構造圖形***點、線、面、體***,構造演算法,構造多項式,構造方程***組***,構造座標系,構造數列,構造行列式,構造等價性命題,構造反例,構造數學模型等等。

  簡單化方法

  所謂簡單化方法,就是當我們面臨的是一道結構複雜、難以入手的題目時,要設法把轉化為一道或幾道比較簡單、易於解答的新題,以便通過對新題的考察,啟迪解題思路,以簡馭繁,解出原題。

  簡單化是熟悉化的補充和發揮。一般說來,我們對於簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。

  因此,在實際解題時,這兩種策略常常是結合在一起進行的,只是著眼點有所不同而已。

  解題中,實施簡單化策略的途徑是多方面的,常用的有: 尋求中間環節,分類考察討論,簡化已知條件,恰當分解結論等。

  1、尋求中間環節,挖掘隱含條件:

  在些結構複雜的綜合題,就其生成背景而論,大多是由若干比較簡單的基本題,經過適當組合抽去中間環節而構成的。

  因此,從題目的因果關係入手,尋求可能的中間環節和隱含條件,把原題分解成一組相互聯絡的系列題,是實現複雜問題簡單化的一條重要途徑。

  2、分類考察討論:

  在些數學題,解題的複雜性,主要在於它的條件、結論***或問題***包含多種不易識別的可能情形。對於這類問題,選擇恰當的分類標準,把原題分解成一組並列的簡單題,有助於實現複雜問題簡單化。

  3、簡單化已知條件:

  有些數學題,條件比較抽象、複雜,不太容易入手。這時,不妨簡化題中某些已知條件,甚至暫時撇開不顧,先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題,對於解答原題,常常能起到穿針引線的作用。

  4、恰當分解結論:

  有些問題,解題的主要困難,來自結論的抽象概括,難以直接和條件聯絡起來,這時,不妨猜想一下,能否把結論分解為幾個比較簡單的部分,以便各個擊破,解出原題。

  直觀化方法

  所謂直觀化方法,就是當我們面臨的是一道內容抽象,不易捉摸的題目時,要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題,以便憑藉事物的形象把握題中所及的各物件之間的聯絡,找到原題的解題思路。

  ***一***、圖表直觀:

  有些數學題,內容抽象,關係複雜,給理解題意增添了困難,常常會由於題目的抽象性和複雜性,使正常的思維難以進行到底。

  對於這類題目,藉助圖表直觀,利用示意圖或表格分析題意,有助於抽象內容形象化,複雜關係條理化,使思維有相對具體的依託,便於深入思考,發現解題線索。

  ***二***、圖形直觀:

  有些涉及數量關係的題目,用代數方法求解,道路崎嶇曲折,計算量偏大。這時,不妨藉助圖形直觀,給題中有關數量以恰當的幾何分析,拓寬解題思路,找出簡捷、合理的解題途徑。

  ***三***、圖象直觀:

  不少涉及數量關係的題目,與函式的圖象密切相關,靈活運用圖象的直觀性,常常能以簡馭繁,獲取簡便,巧妙的解法。